60. Стаціонарні та нестаціонарні часові ряди. Основні характеристики часових рядів.

Динамічні ряди, характер яких не змінюється з часом, мають назву стаціонарних.

Стаціонарність часового ряду пов’язана з вимогою того, що він має стале середнє значення, і його рівні коливаються навколо цього середнього зі сталою дисперсією, тобто для стаціонарних рядів справджується рівність m(t) = const; D(t) = const; автокореляційна функція r(τ) визначається як

тобто вона в стаціонарному процесі є функцією одного аргументу - проміжку τ між двома моментами часу, не розрізняючи, де за часом розташовується цей проміжок.

Отже, властивості стаціонарного ряду не змінюються з часом, за яким починається рахунок його рівнів.

Припустимо, що нам потрібно змінити значення ряду y_t на y_t+s, де s - стале число. Якщо ряд вважається стаціонарним, то середнє, дисперсія і значення варіації ряду дисперсії y_t+m мають бути такими ж, як і для y_t. Якщо ж ці показники змінюватимуться з часом, то ряд буде нестаціонарним. Його легко зводять до стаціонарного, застосовуючи певні математичні перетворення, наприклад оператор різниць.

61. Тест Дікі-Фулера.

Критерій Дікі-Фулера.

Діагностика стаціонарності: простий (DF) та розширений (ADF) тест Дікі-Фулера

Основа тесту – регресія виду

∆Yt = a0 + a1t + bYt-1 + Sum(ci∆Yt-i) + ei, де

∆Yt = Yt - Yt-1.

Якщо всі сі = 0, то DF-тест, інакше – ADF-тест.

На практиці к-сть лагів для ADF-тесту не більше 10% від спростережень.

Гіпотези:

Н0: b = 0, часовий ряд є нестаціонарним, Yt ~ I(d), d>0 (d – порядок інтеграції);

H1: b < 0, часовий ряд є стаціонарним, Yt ~ I(0), тобто має порядок інтеграції 0.

Гіпотеза Н0 відкидається, якщо отриманий коефіцієнт b < 0 та t-статистика по модулю більша за абсолютну величину критичного значення статистики МакКіннона для тестування наявності одиничного кореня при заданому рівні значимості α.

| t-stat | = | b/SE(b) |;

| t-stat | > | tcritical | - Н0 відкидається, дані є стаціонарними.

Критерій Дікі-Фуллера фактично припускає, що спостережуваний ряд описується моделлю авторегрессії першого порядку (можливо, з виправленням на лінійний тренд).

Критичні значення залежать від того, яка статистична модель оцінюється і яка ймовірнісна модель в дійсності породжує значення, що спостерігаються. Якщо ряд має детермінований лінійний тренд

SM: Δx_t=φx_t-1+ά+βt+ε_t, t=2,.....,T

DGP: Δx_t= ά+ε_t, t=2,.....,T ά≠0

В обох випадках ε_t незалежні випадкові величини, що мають однаковий нормальний розподіл з нульовим матиметичним очікуванням. Методом найменших квадратів оцінюються параметри даної SM і обчислюється значення звичайної t-статистики t_φ для перевірки гіпотези H0:φ=0. Отримане значення порівнюється з критичним рівнем t_crit, розрахованим у припущенні, що ряд, що спостерігається, у дійсності породжується даною моделлю DGP (випадкове блукання зі зносом). DS-гіпотеза відкидається, якщо t_φ < t_crit.

62. Авторегресійні моделі ( ar(p)- процеси).

Модель авторегресії описує стаціонарний процес, де значення показника є лінійною комбінацією обмеженої кіль­кості своїх попередніх значень і випадкової складової. Наприклад, процес можна відобразити таким чином:

, (2.3.1)

де випадкова складова - білий шум. Модель містить () невідомі параметри: - дисперсію випадкової складової та коефіцієнтів моделі.

Необхідною та достатньою умовою стаціонарності процесу є те, що всі корені характеристичного рівняння для процесу перебувають у межах кола одиничного радіусу.

Процеси та мають певну схожість. Але процес завжди стаціонарний, і умова обернена лише забезпечує йому певну корисну властивість. Для ця умова дуже жорстка: або процес стаціонарний і зводиться до , або він не стаціонарний.

Умова, що всі корені рівняння за модулем не перевищують одиницю, еквівалентна тій, що граничні значення та прагнуть до нуля за необмеженого зростання .

Для одержання співвідношень для основних характеристик моделі помножимо ліву та праву частини (2.3.1) на :

і взявши математичне сподівання, одержимо рекурентне співвідношення для автоковаріацій:

(2.3.3)

Поділивши всі складові (2.3.3) на , побачимо, що автокореляції задовольняють аналогічне співвідношення:

або , , (2.3.4)

а дисперсія процесу має вигляд:

.

Зазначимо, що рівняння для подібне до рівняння, яке задовольняє сам процес . Із цих рівнянь виходить, що всі автокореляції у моделі визначаються першими автокореляціями ; також ними визначаються параметри . Щоб виразити через , візьмемо рівняння (2.3.4) для і, враховуючи, що (кореляція часового ряду із самим собою) та для будь-якого , побудуємо лінійну систему для обчислення коефіцієнтів моделі:

або в матричній формі ,

де R — невироджена автокореляційна матриця часового ряду

, , .

Отриману систему рівнянь називають системою Юла-Вокера. З неї визначають параметри -моделі:

.