42. Узагальнений метод найменших квадратів для моделі з гетероскедастичністю залишків.

Економетрична модель, якій притаманна гетероскедастичність, є узагальненою моделлю, і для оцінювання її параметрів слід скористатися узагальненим методом найменших квадратів.

Нехай задано економетричну модель

коли

Розрахункова модель запишеться так:

Базуючись на особливостях матриць Р і S,можна записати співвідношення між цими матрицями та оберненими до них.

Оскільки S — додатно визначена матриця, то її можна записати як добуток , де матриця P є невиродженою, тобто:

коли і .

Помноживши рівняння (7.12) ліворуч на матрицю дістанемо:

Позначимо:

Тоді модель матиме такий вигляд:

7.17) , тобто модель (7.17) задовольняє умови, коли параметри моделі можна оцінити на основі 1МНК.

Звідси (7.18)

Ця оцінка є незміщеною лінійною оцінкою вектора , який має найменшу дисперсію і матрицю коваріацій

(7.19)

Незміщену оцінку для дисперсії можна дістати так: (7.20)

Оцінка параметрів , яку знайдено за допомогою (7.18), є оцінкою узагальненого методу найменших квадратів (методу Ейт­кена).

43. Зважений метод найменших квадратів.

Припустимо, що гетероскедастичність має форму Зазначимо, що така трансформація еквівалентна застосуванню зваженого методу найменших квадратів (ЗМНК), який є особливим випадком узагальненого методу найменших квадратів (УМНК). Суть ЗМНК полягає в мінімізації зваженої суми квадратичних відхилень:

Зазначимо також, що ЗМНК, застосований до початкової моделі, дає такі самі результати, що й МНК, застосований до трансформованої моделі.

44. Суть та наслідки автокореляції стохастичної складової.

Автокореляція - це наявність взаємозв’язку між послідовними елементами часового чи просторового ряду даних.

В економетричних дослідженнях часто виникають такі ситуації, коли дисперсія залишків є сталою, але спостерігається їх коваріація. Це явище називають автокореляцією залишків.

Автокореляція залишків найчастіше спостерігається тоді, коли економетрична модель будується на основі часових рядів. Якщо існує кореляція між послідовними значеннями деякої пояснювальної змінної, то буде спостерігатись і кореляція послідовних значень залишків.

Автокореляція може бути також наслідком помилкової специфікації економетричної моделі, зокрема наявність автокореляції залишків може означати, що необхідно ввести до моделі нову незалежну змінну.

Знехтувавши автокореляцією залишків і оцінивши параметри моделі 1МНК, дійдемо таких трьох основних наслідків.

1. Оцінки параметрів моделі можуть бути незміщеними, але неефективними, тобто вибіркові дисперсії вектора оцінок можуть бути невиправдано великими.

2. Оскільки вибіркові дисперсії обчислюються не за уточненими формулами, то статистичні критерії t- і F-статистики, які знайдено для лінійної моделі, практично не можуть бути викорис­тані в дисперсійному аналізі при автокореляції.

3. Неефективність оцінок параметрів економетричної моделі призводить, як правило, до неефективних прогнозів, тобто прогнозів з доволі великою вибірковою дисперсією.