Лекция 4. Математическое обеспечение

САПР (Продлж.)

• Анализ чувствительности:

–Цель определение коэффициентов чувствительности - коэффициентов влияния.

– Sij = dYi / dXj (чувствительность переменной Y к изменению параметра Х)

– Применение:

1. Задачи оптимизации градиентными методами

F = grad (dY/dX1, dY/dX2, ..., dY/dXn). 2. Анализ допусков

ΔXi = ΔY / Si.

3. Анализ отклонений

ΔY = Si * ΔXi.

Лекция 4. Математическое обеспечение

САПР (Продлж.)

• Анализ чувствительности (продолж.):

– Метод малых приращений – наиболее универсальный метод (замена дифференциалов приращениями)

Sij = dYi / dXj ≈ ΔY / ΔX.

-Алгоритм:

1)Анализ при номинальном значении

Хном => Уном

2) Анализ при приращении: Хi ном + ΔХ => Yi 3) Расчет: Si = (Yi –Yном) / ΔХ

Пункты 2 и 3 повторяются N раз, i=1,,,,N, N - число параметров, по которым

вычисляется чувствительность.

Лекция 4. Математическое обеспечение

САПР (Продлж.)

• Анализ чувствительности (продолж.):

Метод малых приращений:

-Достоинства

1.Универсальность (применимость к любым объектам)

2.Простота реализации.

-Недостатки

1.Низкая точность (из-за использования приближения)

2.Большие вычислительные затраты, т. к. требуется N+1 анализов, если N велико, то очень большие вычислительные затраты.

Лекция 4. Математическое обеспечение

САПР (Продлж.)

• Статистический анализ:

– Цель - получить оценки рассеяния выходных параметров У при заданных параметрах рассеяния Х.

– Причинами рассеяния параметров: нестабильность внешних факторов, случайность и разброс внутренних параметров.

– Результаты анализа: гистограммы, мат. ожидания, максимальн. отклонения и т.д.

– Исходные данные: стат. сведения о рассеянии внутренних параметров, диапазоны изменения, законы распределения.

– Применяют: для оценки процента выхода годных, серийнопригодности, учет разбросов.

– 2 метода:

• метод наихудшего случая

• метод статистических испытаний.

Лекция 4. Математическое обеспечение

САПР (Продлж.)

• Статистический анализ, метод

наихудшего случая:

– Получение диапазона возможного рассеяния выходных параметров без оценки плотности распределения этого рассеяния.

– Известны только допуски.

– Определение самых неблагоприятных значений У.

– Алгоритм: анализ выполняется дважды, когда все параметры принимают самые наихудшие значения:

1.При Хimax = Xном + ΔХi, если ðY/ðXi > 0 (Ymin) или ðY/ðXi < 0 (Y max)

2.При Хimin = Xном - ΔХi, если ðY/ðX < 0 (Ymin) или ðY/ðX > 0 (Y max).

Лекция 4. Математическое обеспечение САПР (Продлж.)

•Статистический анализ, метод наихудшего случая (продолж.):

– Анализ дает завышенную

оценку (обычно 0.6 - 0.7 max оценки).

–Достоинства:

•Простота реализации.

•Малые вычислительные затраты

•Не требуются законы распределения, только отклонение ΔХ.

–Недостатки:

•грубость оценок

•нет возможности получения закона распределения

Лекция 4. Математическое обеспечение

САПР (Продлж.)

• Статистический анализ, метод статистических испытаний (метод Монте-Карло):

– Позволяет получить более полные статистические данные.

– Алгоритм:

1. Задание случайной величины Хi по заданному закону распределения.

2. Расчет Уi при заданных Хi путем анализа.

3. Накопление статистики.

4. Построение гистограмм, обработка.

– Достоинства:

• Полнота получаемых статистических результатов

• Универсальность.

– Недостатки:

• Большие вычислительные затраты (тысячи испытаний)

• Необходимы полные данные о статистических параметрах Х.

Лекция 4. Математическое обеспечение

•САПР (Продлж.)

Методы оптимизации в САПР, общие определения:

–Любая задача проектирования - это выбор оптимального в каком-то смысле решения.

–Цель оптимизации - выражается в критерии оптимальности (правило предпочтения одного варианта перед другим).

–Основу критерии составляет - целевая функция F(X), вектор Х - вектор варьируемых параметров .

–Классификация:

1.По порядку метода оптимизации

1.нулевого порядка (случайные)

2.1-го порядка (градиентные и квази-градиентные)

3.2-го порядка (типа метода Ньютона).

2.По учету ограничений

1.условные (есть ограничения на параметры)

2.безусловные (ограничений нет).

3.По числу варьируемых параметров

1.многомерной оптимизации (функция нескольких переменных)

2.одномерной оптимизации (функция одной переменной).

4.По виду искомого оптимума

1.глобальной оптимизации (поиск минимума минимумов)

2.локальной оптимизации (поиск одного локального минимума).

Лекция 4. Математическое обеспечение

САПР (Продлж.)

• Методы оптимизации, постановка задач в САПР:

Лекция 4. Математическое обеспечение

САПР (Продлж.)

• Методы оптимизации, постановка задач в САПР (продолж.):

– Выводы:

1.Большинство задач оптимизации в САПР относится к группе нелинейного динамического программирования. Характерна высокая степень универсализации и проработки. Есть большое число отлаженных программ.

2.Меньшая группа задач относится к методам структурной оптимизации, для которых характерно разнообразие критериев, преобладание эвристических методик и отсутствие стандартных программ и алгоритмов. Низкая степень универсализации.