- •В.Н. Краев Практикум по финансовой математике
- •Владимир 2006 в Примечанияведение
- •Инвестиционная деятельность
- •Глава 1 знакомит читателя с сущностью и задачами финансово-экономических расчетов, оценкой финансово-экономических платежей, планированием погашения задолженности.
- •Раздел 1. Простые и сложные проценты
- •В Примечанияремя как фактор в финансовых расчетах. Виды процентных ставок
- •1 Примечания.2. Простые проценты
- •Переменные ставки Примечания
- •Реинвестирование
- •Расчет процентов для краткосрочных ссуд
- •1 Примечания.3 Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам основные понятия
- •Первоначальная сумма Наращение Наращенная сумма
- •Процентная ставка (Возвращаемая сумма)
- •Математическое дисконтирование
- •Банковский или коммерческий учет (учет векселей)
- •Дисконтирование с использованием простой учетной ставки
- •Ставка наращения и учетная ставка. Эквивалентные ставки
- •Ставки Прямая задача Обратная задача
- •Эквивалентные ставки
- •Финансовые вычисления на основе сложных процентов
- •В конце n-го года наращенная сумма будет равна
- •Переменные ставки
- •Начисление процентов при дробном числе лет
- •Рост по сложным и простым процентам
- •Срок ссуды и формулы удвоения
- •1.7. Номинальная и эффективная ставки номинальная ставка
- •Эффективная ставка
- •Дисконтирование с использованием сложных процентов
- •Наращение по сложной учетной ставке
- •Мажорантность множителей наращения и дисконтных множителей
- •Эквивалентный переход от одной ставки к другой
- •4.1 Финансовая эквивалентность обязательств
- •Консолидирование задолженности
- •Постоянные финансовые ренты
- •Основные понятия. Классификация рент
- •Определение наращенной суммы постоянных рент постнумерандо
- •Годовая рента
- •2.4. Определение современной стоимости постоянных рент постнумерандо
- •Годовая рента
- •Определение параметров постоянных рент постнумерандо
- •Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент
- •Конверсии рент
- •Изменение параметров рент
Эквивалентные ставки
Ставка % |
n
| |||||
0,2 (72 дн.) |
0,5 (180 дн.) |
1 |
2 |
3 |
5 | |
d i |
10 10,02
|
10 10,05 |
10 11,11 |
10 12,50 |
10 14,28 |
10 20,0 |
Пример 17.
Коммерческий дисконтный вексель со сроком погашения 30.06 учитывается за 18 дней до срока по учетной ставке – 10%. Определить эквивалентную ставку простых процентов.
Дано: Решение:
d = 10%
t = 18 дн.
к = 360 дн.
i - ?
Р d = 10% S
n = 18 дн.; i - ?
Используя выражение (21) получим:
Финансовые вычисления на основе сложных процентов
Вфинансовой практике широко используется и другой механизм наращения денег, известный как «процент за процент». При этом проценты присоединяются к исходной сумме и, следовательно, база для определения наращенной суммы меняется. Такая практика широко используется при среднесрочных и долгосрочных операциях. Это – сложные проценты. Механизм наращения денег по сложным процентам называют также капитализацией процента. По существу этот механизм подобен реинвестированию процентных денег.
Используя введенные ранее обозначения, имеем: к концу 1-го периода наращения сумма равна S1 = P + P·i = P(1 + i),
к концу 2-го периода S2 = P(1 + i) + P(1 + i)i = P(1 + i)2 и т.д.
В конце n-го года наращенная сумма будет равна
S = P(1 + i)n. (24)
Проценты за этот же период равны
I = S – P = P{(1 + i)n – 1}. (25)
Величину q = (1 + i)n называют множителем наращения по сложным процентам. Как видим, величина множителя наращения зависит от двух параметров – i и n. следует отметить, что при большем сроке наращения даже небольшое изменение ставки заметно влияет на величину множителя и, следовательно, на величину наращенной суммы. Графическая иллюстрация наращения по сложным процентам представлена на рис. 5.
n
In = P{(1 + i)n – 1}
I1
P
1 n
Рис. 5 График роста по сложным процентам
Наращение по сложным процентам применяется при:
исчислении возросшей на проценты суммы задолженности, если проценты начисляются и присоединяются к основной сумме долга;
неоднократном учете ценных бумаг (учете и переучете на одинаковых условиях);
определении арендной платы при лизинговом обслуживании;
оценке бескупонных облигаций;
определении изменения стоимости денег под влиянием инфляции;
дисконтировании денежных сумм за ряд периодов в проектном анализе.
Пример 18
Ссуда 2 млн. руб. выдана под сложные проценты на 3 года. Проценты (10% годовых) начисляются ежегодно и присоединяются к основной сумме долга. Определим сумму задолженности к погашению.
Дано: Решение:
Р= 2 млн..р. Представим задачу графически:
n = 3 г. Р = 2 млн.р. наращение S = ?
i= 10 %
S- ?
0 1 2 3
S = P (1 + i)n = 2 (1 + 0,1)3 = 2,662 (млн. руб.)
Переменные ставки
Формула (23) предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Однако неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модернизировать «классическую» схему, например с помощью применения плавающих ставок. В этом случае, а также тогда, когда значения переменных ставок фиксируются в контракте, общий множитель наращения определяется как произведение частных множителей:
. (26)
Пример 19.
Банк взимает за ссуду 5 млн.руб. 40% годовых. За 2-ой год установленная банком маржа составляет 2%, за каждый последующий год – 3%. Срок ссуды 5 лет.
Дано: Решение:
Р = 5млн.руб. Маржа – это надбавка к базовой процентной ставке.
i = 40% В нашем случае:
∆2 = 2% - ставка за второй год – 40 + 2 = 42%
∆3=∆4=∆5= 3% - ставка за 3,4 и 5 года – 40 + 3 = 43%
S - ?
Графическая иллюстрация:
Р= 5млн.руб. наращение S - ?
n = 5 лет
0 i = 40% 1 i = 42% 2 i = 43% 3 i = 43% 4 i = 43% 5
S = 5 (1 + 0,4)(1 + 0,42)(1 + 0,43)3 = 29,066548 (млн. руб.)