- •В.Н. Краев Практикум по финансовой математике
- •Владимир 2006 в Примечанияведение
- •Инвестиционная деятельность
- •Глава 1 знакомит читателя с сущностью и задачами финансово-экономических расчетов, оценкой финансово-экономических платежей, планированием погашения задолженности.
- •Раздел 1. Простые и сложные проценты
- •В Примечанияремя как фактор в финансовых расчетах. Виды процентных ставок
- •1 Примечания.2. Простые проценты
- •Переменные ставки Примечания
- •Реинвестирование
- •Расчет процентов для краткосрочных ссуд
- •1 Примечания.3 Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам основные понятия
- •Первоначальная сумма Наращение Наращенная сумма
- •Процентная ставка (Возвращаемая сумма)
- •Математическое дисконтирование
- •Банковский или коммерческий учет (учет векселей)
- •Дисконтирование с использованием простой учетной ставки
- •Ставка наращения и учетная ставка. Эквивалентные ставки
- •Ставки Прямая задача Обратная задача
- •Эквивалентные ставки
- •Финансовые вычисления на основе сложных процентов
- •В конце n-го года наращенная сумма будет равна
- •Переменные ставки
- •Начисление процентов при дробном числе лет
- •Рост по сложным и простым процентам
- •Срок ссуды и формулы удвоения
- •1.7. Номинальная и эффективная ставки номинальная ставка
- •Эффективная ставка
- •Дисконтирование с использованием сложных процентов
- •Наращение по сложной учетной ставке
- •Мажорантность множителей наращения и дисконтных множителей
- •Эквивалентный переход от одной ставки к другой
- •4.1 Финансовая эквивалентность обязательств
- •Консолидирование задолженности
- •Постоянные финансовые ренты
- •Основные понятия. Классификация рент
- •Определение наращенной суммы постоянных рент постнумерандо
- •Годовая рента
- •2.4. Определение современной стоимости постоянных рент постнумерандо
- •Годовая рента
- •Определение параметров постоянных рент постнумерандо
- •Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент
- •Конверсии рент
- •Изменение параметров рент
Наращение по сложной учетной ставке
Метод определения величины наращенной суммы с помощью сложных процентов (когда начисление процентов осуществляется по ставке i) не является единственным. Определение наращенной суммы возможно и с помощью учетной ставки по формулам:
(42)
(43)
Такой способ называется также наращением денег, капитала по сложным учетным ставкам.
Пример 30.
Какую сумму необходимо проставить в векселе, если заемщику предоставлен кредит в 500 тыс. руб. со сроком погашения 1,5 года, а наращение процентов производится по сложной годовой учетной ставке 20%.
По (42) определяем:
Если в условия данного примера внести дополнения: наращение по учетной ставке производить не один раз в год, а ежеквартально, тогда:
f = 20%, m = 4, N = 4 ∙ 1,5 = 6
Мажорантность множителей наращения и дисконтных множителей
При сопоставлении различных условий контрактов практический интерес представляет сравнение интенсивности процессов наращения и дисконтирования по различным процентным и учетным ставкам.
Для расчета наращенных сумм и дисконтирования, мы рассматривали различные виды ставок:
iп , iс, j, dп, dс, f.
Все они используются для практических финансовых расчетов, но при прочих равных условиях приводят к различным финансовым результатам. Так как финансовые результаты, т. е. обязательства сторон зависят от числа периодов начисления процентов, то при условии, что iп = ic = dп = dс множители наращения будут представлять следующий мажорантный ряд.
При n < 1
(1 + iс)n < (1 + iп·n) < (1 – n·dп)-1 < (1 – dс)-n.
При n > 1
(1 + iп·n) < (1 + iс)n < (1 – dс)-n < (1 – n·dп)-1.
При n = 1
(1 + iп·n) = (1 + iс)n < (1 – n·dп)-1 = (1 – dс)-n.
Аналогично можно получить систему неравенств для дисконтных множителей.
При n < 1
(1 – dс)n < (1 – n·dп) < (1 + n·iп)-1 < (1 + iс)-n.
При n > 1
(1 – n·dп) < (1 – dс)n < (1 + iс)-n < (1 + n·iп)-1.
При n = 1
(1 – n·dп) = (1 – dс)n < (1 + n·iп)-1 = (1 + iс)-n.
Эти соотношения между множителями наращения и дисконтными множителями используются, в частности, для выбора стратегии в финансовом менеджменте, которой следует банк или коммерческая структура.
Финансовые вычисления и отношения сторон при использовании ставок j и f зависят от принятого значения m, которое может значительно варьировать.
Расчет срока ссуды и процентных ставок
В ряде практических задач начальная (Р) и конечная (S) суммы заданы контрактом, требуется определить либо срок платежа, либо процентную ставку, которая в данном случае может служить мерой сравнения с рыночными показателями и характеристикой доходности операции для кредитора. Указанные величины можно найти из формул наращения или дисконтирования, так как в обоих случаях необходимо решить обратную задачу.
Рассмотрим задачу расчета срока ссуды для различных ставок.
1. При наращении по сложной годовой ставке i из исходной формулы наращения
S = P (1 + i)n
следует, что срок ссуды (в годах) рассчитывается по формуле
(43)
где логарифм можно взять по любому основанию, поскольку он изменяется как в числителе, так и в знаменателе.
2. При наращивании по номинальной ставке процентов m раз в году из формулы
получаем: (44)
3. При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d из формулы
Р = S (1 - dсл)n
имеем:
(45)
4. При дисконтировании по номинальной учетной ставке m раз в году из выражения
находим:
(46)
Расчет процентных ставок.
Из тех же исходных формул, что рассматривали ранее, получим выражения для процентных ставок.
1. При наращивании по сложной годовой ставке i из исходной формулы наращения следует
(47)
2. При наращивании по номинальной ставке процентов m раз в году
(48)
3. При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке
(49)
4. При дисконтировании по номинальной учетной ставке m раз в году
(50)
Пример 31.
Финансовый инструмент размещен на срок 2 года по цене 1 млн. руб., а погашается по цене 1,2 млн. руб.
Вычислить доходность в виде ставки сложных процентов.
Дано: Решение:
P = 1000000 руб. Используя выражение (47) находим
S = 1200000 руб.
n = 2 года или 9,54%
i - ?
Пример 32.
Решим предыдущую задачу в предположении, что известна ставка сложных процентов и необходимо найти срок погашения.
Дано: P = 1000000 руб. S = 1200000 руб. i = 9,54% |
Решение: Используя выражение (43) получим года |
n - ? |