Начисление процентов при дробном числе лет

Часто срок для начисления процентов не является целым числом. В ряде коммерческих банков для некоторых операций в этом случае проценты начисляются только за целое число лет (или других периодов начисления). В большинстве же случаев учитывается полный срок. При этом применяются два метода начисления процентов:

- по формуле сложных процентов

, (27)

- на основе смешанного метода

, (28)

где n = a + b – период сделки;

a – целое число лет;

b – дробная часть года.

При выборе метода следует иметь ввиду, что множитель наращения по смешанному методу оказывается несколько больше, чем по общему методу, так как для n < 1 справедливо соотношение . Наибольшая разница наблюдается приb = 1/2.

Пример 20.

Клиент банка вносит депозит 30 млн. руб. на 3,5 года под 40% годовых. Определим величину депозита в конце периода двумя методами.

Дано: Решение:

Р = 30 млн. руб. Для первого способа (по формуле сложных

n = 3,5 года процентов) получаем:

i= 40%Р = 30 наращение S - ?

S

n = 3,5 года

i = 40%

- ?

0 1 2 3 3,5

S = 30 (1 + 0,4)^3,5 = 97,38 (млн. руб.)

Для второго способа (по смешанной схеме):

Р = 30 наращение наращениеS - ?

0 1 сложные % 2 3 простые % 3,5

S = 30 (1 + 0,4)³ (1 + 0,5 ∙ 0,4) = 98,784 (млн. руб.)

Рост по сложным и простым процентам

Для того чтобы сопоставить результаты наращения по разным процентным ставкам, достаточно сравнить соответствующие множители наращения. Нетрудно убедиться в том, что при одинаковых уровнях процентных ставок соотношение этих множителей существенно зависит от срока.

Пример 21.

Исходная сумма депозита 100 тыс. руб. Ставка 30% годовых. Определим наращенную стоимость по простым и сложным процентам заряд периодов. Результаты представим в табл. 5

Таблица 5

Проценты	Периоды наращения суммы
	180 дн.	1 год	2 года	5 лет	10 лет	20 лет
Простые Сложные	115 114,02	130 130	160 169	250 285,61	400 482,68	700 2329,81

Обобщая, можно сделать выводы:

1. при периоде менее года простые проценты более выгоднее кредитору, банку.

2. При периоде в 1 год испотзование простых и сложных процентов приводит к равным результатам.

3. При периоде более года использование сложных процентов приводит к более интенсивному росту наращенной суммы, т.е. выгоднее кредитору, банку.

Как видно, различия в финансовых вычислениях на основе простых и сложных процентов могут быть весьма существенными.

Графически эти механизмы можно представить следующим образом:

S

Р

Рис. 6. График роста по сложным и простым процентам.

Для того чтобы различать сложные и простые процентные ставки, введем индекс «c» для ставки сложных процентов, тогда получим:

если n > 1, то ,

если n = 1, то ,

если n < 1, то .