Переменные ставки Примечания

В коммерческих сделках иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. В этом случае наращенная сумма определяется следующим образом:

S = P(1 + n1·i1 + n2·i2 + … + nm·im) = P(1 + ),

(4)

где i_k – ставка простых процентов для периода ;

n_k – продолжительность периода.

Графическая схема наращения по переменным ставкам приведена на рис. 3.

Пример 5.

Соглашение промышленного предприятия с банком предусматривает выдачу кредита в 10 млн. руб. на 5 лет по базовой процентной ставке в 10%. За второй и третий годы ставка последовательно увеличивается на 2%; за четвертый год – на 5%, но относительно к базовой, а за пятый год ставка увеличивается каждый квартал на 1% по отношению к ставке за четвертый год. Определить возвращаемую сумму.

Дано: Решение:

Р = 10 млн.р. Определяем величину процентных

n = 5 лет ставок:

i_m – изменяю-

щаяся ставка

S - ?

i₁ = 10%; i₂ = 10 + 2 = 12%; i₃ = 12 + 2 = 14%; i₄ = 10 + 5 = 15%; i₅ = 15 + 1 = 16%; i₆ = 16 + 1 = 17%; i₇ = 17 + 1 = 18%; i₈ = 18 + 1 = = 19%,

т

Примечания

огда, согласно формуле(4) получим:

S = 10(1+1·0,1+1·0,12+1·0,14+1·0,15+1/4·0,16+1/4·0,17+1/4·0,18+

+1/4·0,19) = 10 · 1,685 = 16,85 (млн. руб.)

P = 10млн. руб.

S = ?

наращение

i₅ i₆ i₇

n = 5

0 1 2 3 4 5

i₁ i₂ i₃ i₄

i₈

Реинвестирование

Примечания

В практике инвестирования средств в краткосрочные депозиты иногда прибегают к неоднократному последовательному повторению наращения по простым процентам в пределах общего заданного срока, т.е. реинвестированию полученных на каждом этапе наращения средств. Рассмотрим этот процесс подробнее (для упрощения примем, что процентные ставки и величина периода наращения не меняются). Графическая иллюстрация процесса реинвестирования приведена на рис.

Обозначим первоначальную сумму депозита (вклада и т.п.) через «Р₁», процентную ставку через «i» и срок через «n».

- для первого периода наращения получим (рис. )

S₁ = P₁ + I₁ = P₁ + P₁ · i = P₁ · (1 + i)

- для второго периода наращения (рис. ) наращенная за первый период сумма S₁ принимается равной первоначальной сумме депозита за второй период, т.е. S₁ = Р₂, тогда наращенная сумма за второй период определяется как:

S₂ = S₁ + I₂ = P₁ · (1 + i) + S₁ · i

или

S₂ = P₁ · (1 + i) + [P₁ · (1 + i)] · i = P₁ · (1 + i)²

Эта сумма принимается за первоначальную сумму на третьем периоде наращения и т.д.

- для n-ого периода получаем аналогично

S_n = P₁ · (1 + i)ⁿ (5)

Возвращаясь к принятым обозначениям это выражение можно переписать:

S = P · (1 + i*n)^m, где m – количество реинвестиций.

В общем случае наращения сумма будет рассматриваться:

S = P · (1+i₁ · n₁) · (1+i₂ · n₂) · (1+i₃ · n₃) ·…· P· (1+i_m · n_m), (6)

где m – количество реинвестиций

Р

Примечания

ассмотрим пример:

S₁ = P₁ + I₁ = P₁ + P₁ · i = P₁ · (1 + i) = P₂

I₁ = P₁ · i

P₁

0

1

а) после первого периода наращения

S

P₂ = S₁

₂ = P₃ = P₁ · (1 + i)²

I₂ = S₁ · i = P₂ · i = P₁ · (1 + i) · i

1

2

б) после второго периода наращения

S

n

S_n-1 = P_n

Примечания

_n = P₁ · (1 + i)ⁿ

I_n = S_n-1 · i =

P_n · i

n-1

в) после n-го периода наращения

Рис. 4 Процесс реинвестирования

S_n = P · (1 + i₁n₁) · (1+ i₂n₂) … (1 + i_mn_m)

S₂ = P · (1 + i₁n₁) · (1 + i₂n₂)

P₃

P₂

P₃

S₁ = P (1 + i₁n₁)

P₂

P

i₁

i₂

i_m

0

1

2

n

Рис. 5 Схема реинвестирования средств

П

Примечания

ример 6.

Сумма 100 тыс. руб. вложена на один квартал с ежемесячным реинвестированием. Рассчитать накопленную сумму, если месячная ставка соответственно 10%, 15%, 20%.

Дано: Решение:

Р = 100 тыс. руб. Представим задачу в графической форме:

n – один квартал

m – 3

i₁ = 10%

i₂ = 15%

i₃ = 20%

S - ?

P = 100 т.р.

S = ?

n = 1

i = 10%

n = 1

i = 10%

n = 1

i = 10%

0 1 м 2 м 3 м

1 кв

S = 100 · (1 + 1·0,1)(1 + 1·0,15)(1 + 1·0,2) = 100 · 1,1 · 1,15 · 1,2 =

= 100 · 1,518 = 151,8 тыс. руб.