Срок ссуды и формулы удвоения

Различия в процессах наращения исходной суммы по простым и сложным процентам наиболее четко проявляются в периодах, приводящих к удвоению, утроению и т.д. или конкретному росту исходной суммы депозита, кредита.

Представим множители наращения:

- для простых процентов (1 + n∙l) = N раз

Отсюда, (29)

- для сложных процентов (1 + l)ⁿ = N раз

Отсюда, (30)

Проследим изменения периода удвоения исходной суммы депозита.

По простым процентам из (28) (31)

По сложным процентам из (29) (32)

Исходные ставки и результаты расчетов представим в таблице 6

Таблица 6

Процентная ставка	Число лет «n» для удвоения исходной суммы
	Простые проценты	Сложные проценты	Во ск. раз «N» по простым больше «N» по сложным
4 6 12 20 30 40	25 16,7 8,3 5,0 3,3 2,5	17,7 11,9 6,12 3,0 2,64 2,06	1,4124 1,4033 1,3562 1,3158 1,25 1,21

По результатам табл. 6 можно сделать следующие выводы:

1. Удвоение суммы вклада по сложным процентам происходит быстрее, чем по простым.

2. При увеличении процентной ставки разрыв во времени периода удвоения сокращается.

1.7. Номинальная и эффективная ставки номинальная ставка

В современных условиях проценты капитализируются обычно не один, а несколько раз в году – по полугодиям, поквартально, помесячно, ежедневно или непрерывно.

В этом случае можно воспользоваться основной формулой наращения по сложным процентам, считая, что n – это число периодов наращения, а под ставкой i следует понимать ставку наращения за один период.

Например, при поквартальном начислении процентов по квартальной сложной ставке процентов – 8% в течение 5 лет число периодов начисления n составит 5 X 4 = 20. Тогда множитель наращения (1 + i)ⁿ равен (1 + 0,08)²⁰ = 4,6609. На практике, как правило, в контракте или договоре фиксируется не ставка за период, а годовая ставка, одновременно указывается и число периодов начисления.

Пусть годовая ставка равна j, а число периодов начисления процентов в году – m. Таким образом, каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставку j называют номинальной ставкой. При этом формула наращения выглядит следующим образом:

^{, (33)}

где N – общее количество периодов начисления (N = n∙m).

Из этой формулы видно, что чем чаще начисляются проценты, тем больше накопленная сумма, т.е. тем быстрее идет процесс наращения.

Возьмем для примера ставку процентов 12% годовых, денежную сумму в 1 д.е. и относительно года m = 1, 2 ,4 (ежеквартально), 12 (ежемесячно), тогда FV, согласно (1.9) составит соответственно:

Капитализация (число раз в году начисления процентов)	Наращенная за год стоимость суммы в 1 д.е.
1 2 4 12	1,1200 1,1236 1,1255 1,1268

Пример 21.

Клиент внес в банк депозит 10 млн. руб. В заключенном договоре указывается, что банк производит поквартальное начисление и капитализацию процентов. Срок депозита три года. Номинальная процентная ставка 60%.

Дано: Решение:

Р = 10 млн.руб. Находим общее количество периодов наращения:

m = 4 n ∙ m = 3 ∙ 4 = 12

n = 3 Определяем наращенную стоимость:

j = 60%

S - ?

Представим, что в рассматриваемой ситуации проценты начисляются и капитализируются ежемесячно, а не ежеквартально, т.е. N = 12 ∙ 3 = 36

Определяем наращенную стоимость:

Результаты показывают, что ежемесячное начисление процентов за три года и их капитализация по сравнению с ежеквартальным дает дополнительный пророст депозита:

∆S = 57,918 – 53,502 = 4,416 млн.руб.

или около 44% исходной суммы (4,4 : 10).