
- •В.Н. Краев Практикум по финансовой математике
- •Владимир 2006 в Примечанияведение
- •Инвестиционная деятельность
- •Глава 1 знакомит читателя с сущностью и задачами финансово-экономических расчетов, оценкой финансово-экономических платежей, планированием погашения задолженности.
- •Раздел 1. Простые и сложные проценты
- •В Примечанияремя как фактор в финансовых расчетах. Виды процентных ставок
- •1 Примечания.2. Простые проценты
- •Переменные ставки Примечания
- •Реинвестирование
- •Расчет процентов для краткосрочных ссуд
- •1 Примечания.3 Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам основные понятия
- •Первоначальная сумма Наращение Наращенная сумма
- •Процентная ставка (Возвращаемая сумма)
- •Математическое дисконтирование
- •Банковский или коммерческий учет (учет векселей)
- •Дисконтирование с использованием простой учетной ставки
- •Ставка наращения и учетная ставка. Эквивалентные ставки
- •Ставки Прямая задача Обратная задача
- •Эквивалентные ставки
- •Финансовые вычисления на основе сложных процентов
- •В конце n-го года наращенная сумма будет равна
- •Переменные ставки
- •Начисление процентов при дробном числе лет
- •Рост по сложным и простым процентам
- •Срок ссуды и формулы удвоения
- •1.7. Номинальная и эффективная ставки номинальная ставка
- •Эффективная ставка
- •Дисконтирование с использованием сложных процентов
- •Наращение по сложной учетной ставке
- •Мажорантность множителей наращения и дисконтных множителей
- •Эквивалентный переход от одной ставки к другой
- •4.1 Финансовая эквивалентность обязательств
- •Консолидирование задолженности
- •Постоянные финансовые ренты
- •Основные понятия. Классификация рент
- •Определение наращенной суммы постоянных рент постнумерандо
- •Годовая рента
- •2.4. Определение современной стоимости постоянных рент постнумерандо
- •Годовая рента
- •Определение параметров постоянных рент постнумерандо
- •Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент
- •Конверсии рент
- •Изменение параметров рент
Срок ссуды и формулы удвоения
Различия в процессах наращения исходной суммы по простым и сложным процентам наиболее четко проявляются в периодах, приводящих к удвоению, утроению и т.д. или конкретному росту исходной суммы депозита, кредита.
Представим множители наращения:
- для простых процентов (1 + n∙l) = N раз
Отсюда, (29)
- для сложных процентов (1 + l)n = N раз
Отсюда, (30)
Проследим изменения периода удвоения исходной суммы депозита.
По простым процентам
из (28)
(31)
По сложным процентам
из (29)
(32)
Исходные
ставки и результаты расчетов представим
в таблице 6
Таблица 6
Процентная ставка |
Число лет «n» для удвоения исходной суммы | ||
Простые проценты |
Сложные проценты |
Во ск. раз «N» по простым больше «N» по сложным | |
4 6 12 20 30 40 |
25 16,7 8,3 5,0 3,3 2,5 |
17,7 11,9 6,12 3,0 2,64 2,06 |
1,4124 1,4033 1,3562 1,3158 1,25 1,21 |
По результатам табл. 6 можно сделать следующие выводы:
Удвоение суммы вклада по сложным процентам происходит быстрее, чем по простым.
При увеличении процентной ставки разрыв во времени периода удвоения сокращается.
1.7. Номинальная и эффективная ставки номинальная ставка
В современных условиях проценты капитализируются обычно не один, а несколько раз в году – по полугодиям, поквартально, помесячно, ежедневно или непрерывно.
В этом случае можно воспользоваться основной формулой наращения по сложным процентам, считая, что n – это число периодов наращения, а под ставкой i следует понимать ставку наращения за один период.
Например, при поквартальном начислении процентов по квартальной сложной ставке процентов – 8% в течение 5 лет число периодов начисления n составит 5 X 4 = 20. Тогда множитель наращения (1 + i)n равен (1 + 0,08)20 = 4,6609. На практике, как правило, в контракте или договоре фиксируется не ставка за период, а годовая ставка, одновременно указывается и число периодов начисления.
Пусть годовая ставка равна j, а число периодов начисления процентов в году – m. Таким образом, каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставку j называют номинальной ставкой. При этом формула наращения выглядит следующим образом:
, (33)
где N – общее количество периодов начисления (N = n∙m).
Из
этой формулы видно, что чем чаще
начисляются проценты, тем больше
накопленная сумма, т.е. тем быстрее идет
процесс наращения.
Возьмем для примера ставку процентов 12% годовых, денежную сумму в 1 д.е. и относительно года m = 1, 2 ,4 (ежеквартально), 12 (ежемесячно), тогда FV, согласно (1.9) составит соответственно:
Капитализация (число раз в году начисления процентов) |
Наращенная за год стоимость суммы в 1 д.е. |
1 2 4 12 |
1,1200 1,1236 1,1255 1,1268 |
Пример 21.
Клиент внес в банк депозит 10 млн. руб. В заключенном договоре указывается, что банк производит поквартальное начисление и капитализацию процентов. Срок депозита три года. Номинальная процентная ставка 60%.
Дано: Решение:
Р = 10 млн.руб. Находим общее количество периодов наращения:
m = 4 n ∙ m = 3 ∙ 4 = 12
n = 3 Определяем наращенную стоимость:
j = 60%
S
- ?
Представим, что в рассматриваемой ситуации проценты начисляются и капитализируются ежемесячно, а не ежеквартально, т.е. N = 12 ∙ 3 = 36
Определяем наращенную стоимость:
Результаты показывают, что ежемесячное начисление процентов за три года и их капитализация по сравнению с ежеквартальным дает дополнительный пророст депозита:
∆S = 57,918 – 53,502 = 4,416 млн.руб.
или около 44% исходной суммы (4,4 : 10).