Системный анализ

Системный анализ

Курс лекций

математической задачи. Одним из первых классов подобных задач было исследование операций, возникшее в конце Вто­ рой мировой войны и бурно развившееся в первые послево­ енные годы.

Термин операция означает любое целенаправленное дей­ ствие. При этом обязательно наличие некоторого субъекта (оперирующая сторона), который формулирует цель опера­ ции. Выделяется также исследователь операции, который ищет способ, используя возможности оперирующей стороны, добиться достижения поставленной цели. По своей сути ис­ следование операций перекликается с задачами системной инженерии и принятием решений в условиях уникального выбора, о которых мы будем говорить ниже [12, 36].

Иными словами, исследователю операций необходимо ли­ бо выбрать наилучшее из нескольких предлагаемых ему (либо возможных) решений, либо самому составить некий проект, который будет наилучшим среди других проектов такого ти­ па. Однако, в отличие от упомянутых разделов системного подхода, исследование операций имеет дело только с хорошо структуризованными проблемами, и решение соответствую­ щей математической задачи однозначно указывает на предпо­ чтительное решение.

Этапами исследования операции являются:

1.Построение модели процесса (динамики объекта). При этом следует учесть, что с помощью данной модели могут изучаться разные операции (исследоваться возможности достижения разных целей).

2.Постановка задачи (описание операции). На этом этапе должна быть формализована цель операции и сформули­ рована оптимизационная задача типа:

82

Обзор математических методов системного анализа

Лекция 5

где х — элемент некоего нормированного пространства Е, определяемого природой модели, С — подмножество Е. Принадлежность х к С формализует ограничения, на­ лагаемые на решение оптимизационной задачи. Заметим, что выражение (5.1) может быть сформулировано и в ви­ де /(ж) -> т т .

3.Решение оптимизационной задачи. Работы на этом этапе относятся к области прикладной математики. В нашем курсе они не будут рассматриваться.

Покажем на ряде примеров, какого типа проблемы могут быть сведены к исследованию операций, и кратко укажем на методологические и математические ограничения этой исследовательской парадигмы.

Транспортная задача. Пусть в пунктах а\,а%,... ,ап на­ ходятся склады, в которых размещены товары в объемах Х\,Х%,... ,Хп соответственно. В пунктах ЬьЪ%,...,Ьт находят­ ся потребители, которым надо поставить эти товары в коли­ чествах не меньших У\,У%,... ,Ут соответственно. Обозначим через й{4 стоимость перевозки единицы груза между а, и Ьу.

Удовлетворение запросов на указанные товары в ]-м пунк­ те выразится неравенством:

(5.2)

Ограничение поставок с г-го склада выразится неравен­ ством:

(5.3)

Составить план перевозок, удовлетворяющий ограниче­ ниям (5.2) и (5.3), можно бесконечным числом способов. Чтобы выбрать наилучший, надо сформулировать критерий

83

Системный анализ

Курс лекций

отбора, конкретизирующий в данной ситуации принцип (5.1). Таким критерием будет:

(5.4)

1

где Ац — стоимость перевозок между соответствующими пунк­ тами.

Тогда задача исследования этой операции будет сформу­ лирована:

(5.5)

Близкими к транспортной задаче по постановке и сути ограни­ чений являются известная задача распределения удобрений, более сложная задача об ирригации и складировании и тому подобные, ставшие классическими в исследовании операций, задачи, более подробное описание которых содержится в ра­ боте Н.Н.Моисеева [15].

В упомянутых задачах исследователь операций, выбирая оптимальное решение, практически составляет проект опре­ деленного мероприятия.

Приведем пример другого типа исследования операций, когда необходимо выбирать из ограниченного числа зара­ нее предложенных вариантов решений [12]. Допустим, некой фирме предложены несколько проектов научных исследова­ ний. Разумеется, финансовые возможности фирмы ограни­ чены, и ей надо выбрать проект, наиболее перспективный в финансовом отношении. Критерием выбора будет показа­ тель прибыльности — ПП, вычисляемый по формуле:

84

Обзор математических методов системного анализа

Лекция 5

где ВНУ — вероятность научного успеха, ВКУ — вероятность коммерческого успеха, ГОП — годовой объем продаж, ЦЕП — цена единицы продаж, ПУС — период устойчивого сбыта (лет), СИ — стоимость исследований и разработок, ИПО — издерж­ ки производственного освоения, ИПР — издержки от про­ движения нового товара на рынок. В данном случае с чисто математической точки зрения задача сводится к тривиально­ му выбору максимального из нескольких чисел, оценивающих ПП конкурирующих проектов.

Существует еще множество задач исследования операций. Для их решения применяются иногда тория графов, отдель­ ные разделы теории вероятностей (например, теория игр), однако содержательный смысл и тип характерных задач ис­ следования операций достаточно хорошо иллюстрируется уже приведенными примерами.

В рамках нашего курса мы не рассматриваем чисто мате­ матические проблемы исследования операций. Но нам важно показать содержательные ограничения этого метода. Они сво­ дятся к двум большим группам проблем — а) неопределенности целей и б) неполноте моделей и критериев выбора.

Неопределенность целей. Задача типа (5.1) представля­ ет собой самый простой вид целеполагания. Гораздо чаще в реальной жизни встречаются задачи, когда необходимо:

/ 1 ( 1 ) ->• птах, /2(х) —> птах, . . . , /„(ж) тах,

(5.7)

х принадлежит С.

Иными словами, необходимо достичь выполнения сразу не­ скольких целей. Наиболее простым путем преодоления этой неопределенности выступают методы сведения задачи типа (5.7) к задаче типа (5.1). Например, часть целей редуцируются в ограничения типа &(х) ^ С, (г = 1,..., тп, тп < п), где С,- — некие константы. Другая же часть свертывается, например,

85

Системный анализ

Курс лекций

по типу взвешенной суммы. Тогда задача (5.7) преобразуется к виду:

ж принадлежит С,

где щ — некие коэффициенты, большие нуля. Существуют и другие, более сложные приемы сведения задачи (5.7) к за­ даче (5.1). Однако они не всегда приемлемы. В общем случае решение задачи типа (5.7) не гарантировано. В этой ситуации возможности собственно математических методов сводятся К нахождению так называемого множества Парето.

Цель построения этого множества — отсечение всех заве­ домо плохих решений, когда еще можно увеличить какое-либо Л(ж), не уменьшив при этом ни одного другого //(ж) (] ф г). Таким образом, остаются только наилучшие решения, когда уже невозможно дальнейшее увеличение какого-либо /,(ж) без '1 ущерба для остальных целей.

Выбор среди этих решений осуществляется уже нефор­ мальными методами. Построение множество Парето — зада­ ча математически достаточно трудная, но в целом решаемая численными методами (хотя и здесь есть масса чисто тех- ! нических проблем). Примеры построения множества Парето приводятся в специальных курсах прикладной математики. Для интересующихся этими вопросами можно порекомендо­ вать фундаментальную работу Н. Н.Моисеева [15].

Неполнота моделей и критериев выбора. Как, навер­ ное, уже понятно из вышесказанного, несмотря на наличие соответствующей модели исследуемого процесса (объекта), мы не можем априорно быть уверенными, что эта модель достаточно адекватна. И, следовательно, можем сомневаться,

86

Обзор математических методов системного анализа

Лекция 5

не изменится ли найденное оптимальное решение, если зада­ ча будет исследована с помощью более детальной модели.

Например, в варианте транспортной задачи, если соот­ ветствующие перевозки осуществляются воздушным транс­

том влияния метеоусловий можно только с определенной степенью достоверности.

Вдругих случаях, например в рассмотренном выше случае

свыбором научно-исследовательских проектов, мы не можем быть уверены, что учли все факторы, влияющие на прибыль­ ность проекта в формуле (5.6), или корректно оценили все составляющие формулы, ту же вероятность научного успеха.

Подобные неопределенности значительно ограничивают применение исследования операций. В конечном итоге выбор модели и выбор критериев оптимизации в значительной сте­ пени остаются неформальными или полуформальными про­ цедурами.

Сказанное отнюдь не значит нашего отрицания рассмат­ риваемого метода. Однако мы должны понимать его есте­ ственные ограничения и не стремиться во что бы то ни стало свести любую задачу по выбору решения, проектированию или планированию к исследованию операций.

С другой стороны, предварительное рассмотрение любой проблемы на предмет ее возможного решения методом ис­ следования операций, проведенное с участием математиков, помогает:

1)существенно увеличить ее структуризованность;

2)выделить те подзадачи, которые можно решить строго формальными методами;

3)сосредоточить творческий потенциал исследователей на неформализованных аспектах данной проблемы.

87

Системный анализ

Курс лекций

Поэтому априорный отказ от попыток представить и ре­ шить соответствующие сложные проблемы как проблемы структуризованные не конструктивен и противоречит прин­ ципам системного подхода.

Вместе с тем задача системолога состоит не столько в том, чтобы решить соответствующую задачу (это функция матема­ тика), а в том, чтобы выбором адекватной модели и целевых функций представить проблему в максимально структуризованном виде.

Очень близки по постановке к задачам исследования опе­ раций задачи, решаемые с помощью тории игр. Очень ча­ сто теория игр включается в курсы исследования операций. Однако можно сказать, что теория игр есть довольно спе­ цифическая часть исследования операций, заслуживающая отдельного рассмотрения. Наиболее полно и в то же время понятно и компактно прикладная теория игр изложена в кни­ ге Г. Н. Дюбина и В. Г. Суздаля [7].

Целью исследований в рамках теории игр является выбор некоторого проекта, плана действий, стратегии поведения из нескольких возможных вариантов. Предполагается, что итог подобного выбора можно предсказать и количественно оценить его «полезность» для каждого участника игры. Эта оценка той или иной стратегии и составляет понятие выигрыша.

Целью теоретико-игрового исследования является выбор наилучшей (с точки зрения некоторых критериев) стратегии.

Характерной чертой ситуаций, рассматриваемых с помо­ щью теории игр, является наличие нескольких участников взаимодействия — игры. Цели этих участников, как прави­ ло, различны. Наиболее простыми примерами игр являются

конечные антагонистические игры. На их примере мы и рас­ смотрим базовые понятия теории игр. В конечных антагони­ стических играх выигрыш одного игрока равен проигрышу

88

Обзор математических методов системного анализа

Лекция 5

другого. Игра задается тройкой:

где X, у — конечные множества, Н — функция от двух пе­ ременных, ж из* х и у из у. Множества х н у называются множеством стратегий. Элементы х из х называются чи­ стыми стратегиями I игрока, элементы у из у называются чистыми стратегиями П игрока, Н — функцией выигрыша I игрока, а пара (ж, у) — ситуацией в чистых стратегиях.

Игра состоит в том, что игроки независимо друг от дру­ га выбирают стратегии. Результатом выбора будет ситуация (х,у). Соответственно выигрыш первого игрока будет равен Н(х, у). Той же величине, Н(х, у) будет равен проигрыш вто­ рого игрока. Величина проигрыша с обратным знаком — Н будет называться выигрышем игрока П.

Пусть число чистых стратегий первого игрока равно тп,

ачисло стратегий второго игрока п. Тогда Н пред ставима

ввиде матрицы размером тп на п. Таким образом, всякую конечную антагонистическую игру можно задать матрицей выигрыша, а такая игра иначе называется матричной.

Для матричных игр сформулировано понятие максимииной чистой стратегии. Его смысл состоит в том, чтобы при любых действиях противника минимальный выигрыш при­ держивающегося данной стратегии игрока был наибольшим.

Минимаксной чистой стратегией называется стратегия, при которой при любых действиях противника максимальный проигрыш придерживающегося данной стратегии игрока был наименьшим.

Допустим, что х* и у* соответственно максиминная и ми­ нимаксная стратегии I и II игроков. Тогда при выполнении для любых ж из ж и у из у двойного неравенства:

89

Системный анализ

Курс лекций

ситуация (х*,у*) называется ситуацией равновесия в чистых стратегиях. Ситуация равновесия приемлема для обоих игро­ ков, ибо отклонение от нее увеличивает возможный проиг­ рыш П игрока и уменьшает выигрыш I игрока.

В этом смысле ситуация равновесия является устойчи­ вой. Если каждый из игроков стремиться достичь ситуации равновесия, то принцип, которому они следуют, называется

принципом равновесия.

Можно показать, что существование ситуации равновесия в чистых стратегиях возможно в случае, если:

где Л,у — элементы матрицы Н.

Очевидно, что возможность выполнения условия (5.11) можно вывести из вида матрицы И, сравнивая ее столбцы и строки.

Сделать это важно, ибо не все игры имеют ситуацию рав­ новесия в чистых стратегиях. В этом случае игроки, применяя свои максиминную и минимаксную чистые стратегии, создают ситуацию, которую один из игроков может изменить с выго­ дой для себя. В то же время осторожным игрокам ничего другого, кроме следования данным стратегиям, порекомендо­ вать нельзя.

Для выхода из этого положения в теории игр разра­ ботаны так называемые смешанные стратегии. Суть этого метода состоит в том, что игроки выбирают некоторые чи­ стые стратегии случайно, определяя при этом распределение вероятностей на множестве чистых стратегий. Задача игрока в этом случае несколько модифицируется.

Так, придерживаясь максиминной смешанной стратегии, он максимизирует не минимальный гарантированный выиг­ рыш, а математическое ожидание минимального гарантиро-

90

Обзор математических методов системного анализа

Лекция 5

ванного выигрыша. В теории игр доказывается, что в смешан­ ных стратегиях любая матричная игра имеет по крайней мере одну ситуацию равновесия, отклоняться от которой не выгод­ но ни одному из игроков.

При этом выигрыши во всех ситуациях равновесия оди­ наковы. Они равны величине, которая называется значени­ ем игры.

Целью применения теории игр на практике является как раз отыскание стратегий, обеспечивающих достижение ситуации равновесия в чистых или смешанных стратегиях, или иначе — найти решения игры.

Для нахождения решения игры применяются различные методы. Иногда отыскание данного решения сводится к реше­ нию задачи линейного программирования. Существуют также различные приемы упрощения соответствующих задач, напри­ мер, исключения из рассмотрения некоторых стратегий.

Рассмотрение этих приемов, как, впрочем, и строгие дока­ зательства некоторых вышеупомянутых утверждений, не вхо­ дит в цели нашего курса. Эти вопросы рассматриваются в от­ дельных курсах теории игр или спецкурсах по прикладной математике. Нам, однако, интересно рассмотреть, какие прак­ тические проблемы можно решить, формализуя их с помощью теории игр.

Очевидно, что антагонистические противоречия между игроками (противниками) наиболее четко проявляются в во­ енном деле. Здесь, как правило, потери (проигрыш) одной из сторон являются выигрышем другой. Примером такой за­ дачи является задача о распределении поисковых усилий.

Суть этой задачи состоит в следующем. Необходимо рас­ пределить усилия г противолодочных кораблей по п участкам акватории для нахождения и уничтожения подводной лодки противника. Вероятность уничтожения данной лодки в одном из участков, при условии, что лодка находится там, зависит

91