Системный анализ

Системный анализ

Курс лекций

Для решения задач более «быстрого» управления тео­ рия автоматического регулирования была развита и допол­ нена. В результате была создана теория автоматического уп­ равления.

Теория управления решает задачи следующего типа. Пусть задана модель динамики некой технической системы в виде:

где X — п-мерный вектор описывающей фазовое состояние си­ стемы, / — некая функция, и = и(1) — некая вектор-функция размерности тп ^ п, ^ — ^-мерный случайный вектор (к ^ п), характеризующий внешние воздействия. Вектор-функция и(Ь) свободно (однако в рамках некоторых ограничений) задается некоторым субъектом и называется управлением, или управ­ ляющим вектором.

На х и и существуют некие ограничения. Физический смысл этих ограничений и математические способы их фор­ мализации зависят от специфики задачи.

Цели управления задаются неким функционалом типа:

Функционал (5.18) может быть различен в зависимости от специфики задачи. В качестве примера можно упомянуть известную задачу о быстродействии, суть которой состоит в необходимости за минимальное время перевести систему (5.17) из состояния, характеризующегося ж<) в состояние Жу.

Способы решения задач типа (5.18) изучаются в соответ­ ствующих специальных математических курсах. Некоторым специальностям читаются, в частности, курсы оптимального управления, целиком посвященные решению подобных задач. Не касаясь подробно упомянутой проблематики, заметим, что

102

Лекция 6

Конструктивное применение системной методологии для решения задач математического моделирования. Системная динамика и интегральное моделирование

Практически все рассмотренные в предыдущей лекции ма­ тематические методы относятся к системному анализу в силу сложившейся традиции (от которой попытались не отступить и мы).

Данная традиция обусловлена тем, что упомянутые ма­ тематические методы (исследование операций, ряд методов обеспечения принятия решений в условиях уникального вы­ бора, теория игр, автоматическое управление и т. п.) зачастую разрабатывались теми же специалистами, которые активно занимались и задачами структуризации неструктуризованных или слабо структуризованных проблем.

При этом первые конструктивные результаты и в приклад­ ном системном анализе, и в рассмотренных отраслях матема­ тики были получены только с развитием ЭВМ. Поэтому-то дан­ ные отрасли, развиваясь параллельно с методологией систем­ ного анализа, стали рассматриваться как его составная часть.

104

Применение системной методологии для решения задач

Лекция 6

Знание этих методов помогло становлению системно­ го анализа, показывая возможности решения ряда проблем по мере их структуризации. Вместе с тем сама методология системного анализа, приемы предмодельного и предпроектного рассмотрения проблем мало помогали развитию данных математических методов.

Таким образом, их влияние на системный анализ было односторонним. Это позволило развиться в научных кругах мнению о том, что системный анализ сам по себе не суще­ ствует и является просто неким философским «украшением» совершенно определенных математических методов, которые объединялись под обобщенным названием исследования опе­ раций в широком значении этого термина.

Однако существует ли вообще некая специфическая «сквоз­ ная» методика структуризации проблем и последующего мо­ делирования, которую можно рассматривать как наиболее адекватный математический аппарат решения задач систем­ ного анализа?

Ведь эти задачи, напомним еще раз, касаются прежде всего слабо структурированных проблем. Такая методика мо­ делирования должна не только использоваться в системных исследованиях, но и активно опираться на системное пред­ ставление изучаемых объектов и явлений. И такая методика существует. Это так называемая системная дицамика.

Системная динамика была разработана в Массачусетсом технологическом институте в конце 1950-х гг. профессором Форрестером на базе комплекса идей из теории автоматиче­ ского управления, теории информации и кибернетики, а так­ же теории управления организациями (или, согласно при­ нятой у нас, в России, терминологии, теории управления в социальных и экономических системах).

Наиболее полно и четко на русском языке концепция си­ стемной динамики изложена А. С. Саркисовым в работе [21].

105

Системный анализ

Курс лекций

Системная динамика является ярким примером применения принципов имитационного моделирования. Первые модели Дж. Форрестера, изложенные в работе [25], были очень про­ сты, хотя и ставили задачу моделирования динамики глобаль­ ного развития.

По сути, первые системнодинамические модели были не­ кой разновидностью уже упоминавшихся нами балансовых моделей. Они опираются на представление объектов в виде систем различных резервуаров (компартментов), связанных между собой сложной сетью каналов массо-энергообмена. Эти модели имитируют массо-энергообмен при отсутствии струк­ турных перестроек в сети каналов обмена.

В этом случае соответствующие процессы описывают­ ся непрерывно дифференцируемыми функциями, что соот­ ветствует механизму протекания массо-энергообмена в био- и экосистемах, находящихся в ненарушенном состоянии. Ма­ тематическим аппаратом системнодинамических моделей бы­ ли системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Непрерывная дифференцируемость правых частей соответ­ ствующих уравнений исключала какие-либо принципиальные проблемы в их решении, в частности численном.

Интенсивность массо-энергообмена в классических балан­ совых, и в частности компартментальных, моделях определя­ ется прежде всего чисто физическими предпосылками типа известных в классической физике понятий «разности уров­ ней» в сообщающихся сосудах или разности потенциалов. При этом компартментальные модели имитируют миграцию конкретных веществ.

Системнодинамические модели с самого начала несколько отличались от классических балансовых.

Во-первых, они оперировали с некоторыми обобщенны­ ми характеристиками, типа «общего объема загрязнителей» в глобальном хозяйственном комплексе.

106

Применение системной методологии для решения задач

Лекция 6

Во-вторых, системнодинамические модели предусматри­ вали имитацию эффектов «информационного влияния» на по­ ведение объектов. Так называемые переменные «информаци­ онного типа» влияли на пропускную способность соответству­ ющих каналов.' Мало того, они могли иногда даже влиять на знак величины соответствующего материального потока, включая механизмы положительных обратных связей.

Иными словами, информационные переменные помимо физических предпосылок определяли внутреннюю динамику изучаемых систем.

Поясним вышеприведенные рассуждения на примере. Наиболее простым типом компартментальной модели являет­ ся модель системы сообщающихся сосудов. Вода всегда течет из сосуда с более высоким уровнем воды в сосуд с меньшим уровнем (если между ними есть связь). Такая простая модель, тем не менее, может имитировать довольно сложные процес­ сы. Допустим, сосудов несколько десятков, связаны они не все одновременно, а по двое — по трое, пропускная способность каналов существенно различается.

Подобная модель может быть довольно сложна. Однако она никогда не будет имитировать процессы, которые условно можно представить как перекачку воды из сосуда с меньшим уровнем в сосуд с большим уровнем. Для процессов массоэнергообмена это невозможно. Но представим себе, что мо­ делируются не потоки конкретных веществ, а потоки денег.

Тогда сплошь и рядом могут возникать ситуации, когда «деньги к деньгам липнут», т.е. из «сосудов» с более низкими уровнями самопроизвольно «перекачиваются» в «сосуды» с бо­ лее высоким уровнем. Именно такие «правила игры» и их кор­ ректировка имитируются информационными переменными.

Необходимость имитации подобных эффектов вызвала определенные математические затруднения. Правые части систем дифференциальных уравнений стали переменными,

107

Системный анализ

Курс лекций

и не всегда непрерывно дифференцируемыми. Как извести из курса дифференциальных уравнений, отсутствие непрерыв­ но дифференцируемой правой части не позволяет во многих случаях проводить корректные исследования таких уравне­ ний и определять возможности аппроксимации их решений разностными схемами.

Между тем системнодинамические модели сразу предпо­ лагались именно для их численного решения. Поэтому они зачастую и не рассматривались как численные аппроксимации некоторых систем дифференциальных уравнений, а фигури­ ровали в качестве алгоритмов «как таковых».

Этот принцип в дальнейшем оправдал себя, и многие исследователи стали строить модели сразу в виде разностных схем [12,27].

В рамках системнодинамической парадигмы моделирова­ ния был, в частности, создан специальный язык программиро­ вания «ДИНАМО», позволяющий сразу строить соответству­ ющие модели.

Таким образом, ограничения аппаратно-математического характера при подобном подходе были преодолены. Систем­ нодинамические модели стали весьма гибким инструментом исследования закономерностей строения и динамики сложных систем.

В результате были сформулированы свои специфические правила построения, эксплуатации и интерпретации ре­ зультатов системнодинамических моделей, которые состоят в следующем.

Первое. При построении системнодинамических моде- ] лей основное внимание уделяется выявлению структуры си­ стемы. Именно структура систем, как выяснилось в результате опыта построения системнодинамических моделей, определя­ ет основные черты поведения системы. Так, например, если

108

Применение системной методологии для решения задач

Лекция 6

всистеме имеется положительная обратная связь между некими элементами, то система обязательно будет вести себя или по типу экспоненциального затухания, или по типу экспоненциального роста. То есть, говоря обыденным языком, «пойдет в разнос».

При этом совершенно все равно, какими будут внешние воздействия, инициирующие данную обратную связь. Систему

вэтой ситуации достаточно лишь незначительно «подтолкнуть».

Однозначно проявляются также действия отрицательных обратных связей, когда система, скрепленная такими связями, «гасит» внешние воздействия. Здесь для составителя модели также важно лишь правильно определить контур соответству­ ющей связи и адекватно передать его в модели.

В процессе построения и эксплуатации системнодинамических моделей показано, что при этом параметры самих зависимостей, характеризующих соответствующую связь, мо­ гут задаваться с большими погрешностями без существенного влияния на результаты моделирования.

Второе. Особое место занимает в практике построения и эксплуатации системнодинамических моделей так называе­ мый процесс идентификации. В других типах моделей про­ цесс идентификации сводится к следующему. Допустим, у нас есть классическая балансовая модель:

где х — вектор характеристик системы, и — вектор внеш­ них воздействий, / — некая функция, р — вектор параметров этой функции. Как правило, в классических «физикалистских» балансовых моделях вид функции / определяется из фунда­ ментальных физических закономерностей типа законов со­ хранения. Тогда построение модели сводится в основном к нахождению параметров р. Эта процедура и называется идентификацией модели.

109

Системный анализ

Курс лекций

Для идентификации модели типа (6.1) необходимо иметь по возможности более длительный ряд наблюдений, в кото­ ром фигурировали бы значения х(1{), и(Ц), где г — номер наблюдения в момент 1{. Задача идентификации сводится к тому, чтобы подобрать такое р, чтобы в рамках некоторой выбранной метрики суммарное расхождение расчетных и на­ блюденных х { 1 { ) было минимальным.

Следует отметить, что каждому ряду наблюдений соответ­ ствует определенный вектор р. Зачастую применение различ­ ных рядов влечет за собой довольно существенные изменения р. Выходом из этого тупика является максимальное увеличе­ ние длины рядов. Однако очень часто для этого просто не хва­ тает информации.

В системнодинамических моделях процесс идентифика­ ции иной. Допустим, системнодинамическая модель также записана в виде (6.1). Тогда идентификация модели сводится

кнахождению таких параметров р, чтобы:

1)модель выходила на все равновесные состояния, свой­ ственные данной системе;

2)модель адекватно имитировала время перехода из одного состояния в другое;

3)модель адекватно передавала динамику системы в состо­ яниях равновесия — стабильность или некий колебатель­ ный режим, в последнем случае необходима адекватная передача амплитуды и частоты колебаний.

Отметим, что необходимая для такой идентификации ин­ формация (о равновесных состояниях, характерных временах и характеристиках гомеокинеза), в отличие от данных дли­ тельных рядов наблюдений, почти всегда имеется в наличии.

Требования пункта 1) особенно важны с точки зрения понимания различий между классическим и системнодинамическим подходом к идентификации.

110

Применение системной методологии для решения задач

Лекция 6

Р и с . 6.1. Пример соотношений натурной и расчетных траекторий:

расчётная траектория, удовлетворительная в рамках классических требований к идентификации и неудовлетворительная с точки зрения системнодинамической парадигмы моделирования;

расчетная траектория, неудовлетворительная в рамках классических требований к идентификации и удовлетворительная с точки зрения системнодинамической парадигмы моделирования;

натурная траектория

На рис 6.1 для случая скалярного х представлены ситу­ ации соотношения расчетной и натурной траекторий, соот­ ветствующих требованиям системнодинамической парадигмы и требованиям классической идентификации. Первая кривая рис. 6.1 хотя довольно близка к натурной, тем не менее имеет отчетливую тенденцию, не характерную для натурной траек­ тории. И, кроме того, амплитуда колебаний расчетной траек­ тории больше, чем натурной.

Вторая кривая, хотя и не совпадает с натурной, но аде­ кватно передает амплитуду и период колебаний, а также от­ сутствие тенденций в состоянии гомеокинеза.

Заметим, что в силу специфики системнодинамических моделей все перечисленные особенности поведения изучае-

111