Системный анализ

Системный анализ

Курс лекций

Для преодоления подобных нежелательных эффектов в аксиоматической теории полезности вводится целый ряд вспомогательных построений. Так, например, вводится от­ ношение строгого частичного упорядочивания, где эквива­ лентность двух альтернатив может определяться не непосред­ ственно, а из их эквивалентности некой третьей альтернативе.

Еще одним приемом является введение интервальной упорядоченности, опирающейся на понятие интервалов без­ различия. О смысле данных построений говорит сама терми­ нология. Так или иначе, целью этих конструкций является преодоление неопределенности в оценке двух альтернатив.

Итогом всех построений той или иной конструкции по упорядочиванию множества альтернатив является дока­ зательство возможности построения на соответственно упо­ рядоченном множестве альтернатив функции полезности /. Тогда, если и, V, го — некие альтернативы, то для функций полезности любых альтернатив и и V имеет место одно из сле­ дующих отношений:

1) /(и) = / ( о ) , /(и) > /(!>), /(«) > /(и);

2) из /(и) > /(«) и /(г>) > /(го), следует что /(и) > /(го).

Вторая группа аксиом касается исключения так называе­ мых ненормальностей в предпочтениях.

Пусть и, V, ю — некие альтернативы. Тогда:

1)из /(и) > /(го) > /(«) следует существование такого 0 <

а< 1, что а • /(и) + (1 - а) • /(«) = /(ю), эта аксиома называется аксиомой растворимости;

2)из /(ю) > /(г>) > / ( и ) следует существование такого 0 <

а< 1, что /(г>) > а • / ( и ) + (1 - а) • /(го), эта аксиома называется архимедовой аксиомой.

Третья группа аксиом касается независимости оценок функций полезности альтернатив, зависящих от одного из

132

Системный анализ и проблемы принятия решений

Лекция 7

факторов, от оценок по другим факторам. При этом чаще всего фигурируют два свойства:

1)слабой условной независимости, когда предпочтения од­ ной из двух альтернатив по шкале только одного из кри­ териев не зависят от оценок этих альтернатив по другим критериям;

2)совместной независимости, когда предпочтения одной из двух альтернатив по некой группе критериев не зависят от оценок этих альтернатив по другим группам критериев.

Итогом использования упомянутых аксиом является стрем­ ление доказать существование функции полезности различ­ ных альтернатив. При этом наиболее желательным случаем является представление данной функции в виде суммы

х ; /<(*,),

:=1,ЛГ

где ж, — оценка по г-му критерию, — функция полезности по г-му критерию. При этом функции / непрерывны и одно­ значны.

Аксиоматические методы оценки альтернатив в услови­ ях неопределенности (принятие решений в условиях риска) в целом весьма похожи. Основой подобных математических конструкций является использование множества распределе­ ния вероятностей К на множестве альтернатив. Каждому рас­ пределению Р из Я можно приписать определенное числовое значение ожидаемой полезности II(Р).

Для этих полезностей доказываются аксиомы, аналогич­ ные приведенным аксиомам для функций полезности в де­ терминированном случае. Так, свойство транзитивности в ве­ роятностном варианте будет выглядеть следующим образом: если П(Р) > 17(3), 11(С}) > V(Ж), тогда 17(Р) > П(№).

133

Системный анализ

Курс лекций

Витоге доказывается возможность представления II(Р)

ввиде:

щр) = 2 РШ**У>

где р< — вероятность осуществления 1-й альтернативы, ж, — вектор многокритериальных оценок.

Весьма интересным представляется одна из групп аксио­ матических методов оценки альтернатив в условиях неопре- ! деленности (принятие решений в условиях риска) с использованием концепции состояний. В рамках данной методики ] определяются:

а) пространство состояний, б) пространство действий (множество альтернатив), в) пространство результатов.

Из определенного состояния в результате некоторого действия следует определенный результат из пространства результатов (множества возможных результатов). В общем случае при принятии решения (выборе альтернативы) неиз­ вестно, в каком исходном состоянии находится принимающий решение.

Известно только соответствующее распределение веро­ ятностей. Иными словами, для каждого состояния известна I вероятность того, что ситуация соответствует данному состоя­ нию. Кроме того, на пространстве результатов задана функция полезности.

Примером подобной задачи выбора решения может быть I следующий.

Пространство состояний — 1) грибы съедобные, 2) грибы ядовитые.

Пространство действий — 1) грибы приготовить, 2) грибы выбросить.

134

Системный анализ и проблемы принятия решений

Лекция 7

Пространство результатов — 1) получить гастрономиче­ ское удовольствие, 2) получить гастрономическое удоволь­ ствие и отравиться, 3) не получить гастрономического удо­ вольствия и не отравиться.

Аксиоматические методы оценки альтернатив в рассмат­ риваемом классе задач сводятся к формулировке определен­ ных требований к вероятностным мерам, заданным на про­ странстве состояний, и к функциям полезности на простран­ стве результатов.

Удовлетворение этим требованиям позволяет доказать су­ ществование возможности количественной оценки предпо­ чтительности выбора той или иной альтернативы.

Интересно отметить, что подобный класс задач решается с помощью экспертных систем и теоретико-игровых моделей. Аксиоматические методы в данном случае позволяют строго доказать только существование решений, но далеко не всегда способствуют отысканию соответствующих решений.

Подытоживая рассмотрение аксиоматических методов, необходимо отметить следующее.

Аксиоматические методы наиболее разработаны и попу­ лярны среди исследователей. Имеется даже мнение, что это единственный, по настоящему научный, теоретически кор­ ректный метод многокритериальной оценки альтернатив.

Эта теоретическая корректность касается обоснованно­ сти построения определенной функции полезности. Говоря несколько упрощенно, проверка любых правил оценки по­ лезности на соответствие их аксиомам позволяет устранить внутренние противоречия в системе данных правил и упоря­ дочить наши представления о проблеме.

Однако непосредственно в применении аксиоматических методов имеются весьма существенные трудности. Они состо­ ят в следующем:

135

Системный анализ

Курс лекций

1) Трудность проверки выполнимости соответствующих аксиом. Обычно считается достаточно очевидным выполне­ ние первой группы аксиом. Однако, как мы показали в задаче о несладком кофе, это далеко не так просто. Поэтому за" труднения могут возникнуть в ситуациях, когда необходимо прибегать к исследованиям в условиях частичного упорядочивания предпочтений.

Что касается аксиом второй и третьей группы, то зач стую они вообще невыполнимы. В частности при балльно (дискретной) оценке функции полезности предполагается целочисленность этой функции. Но в этом случае не выполня­ ются аксиома растворимости и архимедова аксиома.

Еще сложнее обстоит дело с аксиомами независимости, ведь в практических ситуациях сплошь и рядом оценки по од­ ному из критериев зависят от оценок по другому. Например, дом в ближнем Подмосковье может быть предпочтительнее квартиры в Москве (оценка по одной группе критериев) лишь в случае наличия вблизи станции электрички (оценка по дру­ гому критерию). В противном случае оценки по первой группе критериев существенно меняются.

2) По существу на второй план отодвигается сам процесс сравнения и выбора альтернатив перед чисто теоретически­ ми исследованиями доказательства существования функции полезности, выраженной в определенной форме.

Все это позволяет считать аксиоматические методы ско­ рее изящной теоретической конструкцией, нежели работаю­ щей прикладной методикой.

Прямые методы многокритериальной оценки альтерна­ тив по своей сути являются некой «противоположностью» аксиоматическим методам. Действительно, в рамках прямых методов директивно задается вид функции полезности по мно-

136

Системный анализ и проблемы принятия решений

Лекция 7

гим критериям в зависимости от величины оценок по каждому из критериев.

Это задание делается без каких-либо теоретических об­ оснований и проводится либо самим лицом, принимающим решение, либо экспертом.

Очевидно, что возможно сконструировать очень много вариантов прямых методов. Однако в рамках любого из этих вариантов придется однозначно определяться по следующему кругу вопросов:

1)вид функции полезности;

2)параметры функции полезности;

3)вероятностные оценки составляющих функции полезно­ сти, в случае если решение принимается в условиях не­ определенности.

На каждый из поставленных вопросов ответ может давать­ ся исходя из некоторого научного обоснования. Тогда принято говорить, что ответ на данный вопрос постулируется исходя из общих соображений, или, иначе, априорно постулируется. В другом варианте ответы на заданные вопросы дает само лицо, принимающее решение (ЛПР).

Сочетание указанных вариантов ответа на приведенные вопросы дает большое число возможных прямых методов. Приведем некоторые примеры.

1. ЛПР задает наилучшее значение характеристик, оце­ нивающих качество выбираемого проекта. Тогда функция по­ лезности II будет вычисляться по формуле:

(7.1)

где Х{ — оценка г-й характеристики, х] — наилучшая оценка 1-й характеристики. В общем случае характеристика может быть

137

Системный анализ

Курс лекций

как некоторой физической величиной, объективно фигури ющей в каждом из вариантов решения (проекта), наприм[ер предполагаемая емкость кузова проектируемого транспорт­ ного средства, так и некоторой предполагаемой, возможно достаточно абстрактной, оценкой. В последнем случае такую оценку каждому из вариантов также может давать либо ЛПР, либо независимый эксперт.

Оценка, вычисляемая по формуле (7.1), имеет достаточ­ но понятный смысл. Сама формула имеет аналогии в различ­ ных областях прикладной математики, где оцениваются такие характеристики, как «точность аппроксимации» «суммарная величина отклонения» и т. п. Однако соответствует ли эта по­ нятная форма зависимости (7.1) специфике процесса выбора наилучшего решения?

Вопрос остается открытым.

2. Допустим, некое решение А имеет результатом три вероятных исхода — 1, 2, 3. Каждый из этих исходов характе­ ризуется вероятностью его реализации р, и оценкой прибыль­ ности Их. Тогда 11а — оценка функции полезности варианта А — будет вычисляться по формуле:

3

Оценки вероятности р^ в этом случае дает ЛПР, величина Д может также оцениваться либо ЛПР, либо рассчитываться по некоторым формулам, объективно отражающим специфи­ ку реализации данного проекта. Заметим, что в данной ситу­ ации определение р{ довольно трудная задача, для решения которой разработаны специальные методики, реалистичность результатов которых, увы, остается неподтвержденной.

3. Общий вид функции полезности постулируется, исходя из общих соображений. Параметры же самой функции зада-

138

Системный анализ и проблемы принятия решений

Л е к ц и я 7

ются ЛПР, но не прямо, а с помощью вычислений (такой метод носит название интерполяции функций полезности).

Для этого ЛПР предъявляются различные альтернативы, функцию полезности которых он оценивает сам. Потом ре­ шается обычная-задача определения неизвестных параметров функциональной зависимости по ее значениям. В этом слу­ чае оценки полезности по отдельным критериям в каждой из предложенных альтернатив могут задаваться либо самим ЛПР, либо носить некий объективный характер.

Завершая характеристику прямых методов, следует отме­ тить, что их применение предъявляет высокие требования к ЛПР на этапе формулировки функции полезности и опре­ деления ее параметров. Фактически с помощью этих методов формализуется опыт данного ЛПР в принятии решений.

Наверное, идеальным случаем является участие в соот­ ветствующих исследованиях «удачливого» и опытного ЛПР. Однако даже в идеальном случае остаются нерешенными стан­ дартные в данной проблематике вопросы: а) достаточно ли универсален опыт данного ЛПР для его тиражирования, б) адекватно ли выбрана исходная структура формулы функции полезности, в) все ли критерии были учтены при конструи­ ровании функции полезности, г) действительно ли учтенные критерии независимы, д) правильно ли определены вероят­ ности для случаев неопределенности.

Методы компенсации. В отличие от ранее рассмотрен­ ных методов идея метода компенсации достаточно прозрачна и, если так можно сказать, житейски обоснована.

Действительно, очень часто в жизни мы миримся с не­ кими неудобствами, чтобы получить некие преимущества. Го­ воря научно, мы допускаем некоторое ухудшение ситуации по одному из критериев, для того чтобы добиться улучшения по другому критерию. Но данное противоречие типа «ухуд-

139

Системный анализ

Курс лекций

шение — улучшение» не носит абстрактный характер, а даже на житейском уровне оценивается количественно.

Например, человек готов перейти со свободного режи­ ма на строгий режим работы и раннее начало рабочего дня в случае, если его зарплата увеличиться не меньше, чем на со­ вершенно определенную сумму.

Подобная понятность и прозрачность идеи компенсации не могла не найти своего научного оформления в методах оценки альтернатив. Особенно привлекательной выглядит идея построить в многомерном пространстве критериев се­ рии кривых безразличия, соединяющих все эквивалентные альтернативы.

Для построения таких кривых вначале выбираются неко­ торые «опорные точки» — альтернативы, эквивалентность ко­ торых известна заранее. Затем задается некоторое ухудшение по одному из критериев и с помощью ЛПР или независимых экспертов определяется, каким улучшением другого критерия может компенсироваться заданное ухудшение.

Реально с помощью экспертов и ЛПР строится не кри­ вая (ибо оценивать бесконечно малые изменения критериев затруднительно), а некоторая «пила», которая затем сглажи­ вается.

Нетрудно убедиться, что метод компенсации, и в част­ ности построение кривых безразличия, базируется на апри­ орном предположении возможности количественно оценить изменения функции полезности по каждому из критериев и вклад этих изменений в общую оценку полезности.

Это в некотором роде теоретически сближает его с пря­ мыми и аксиоматическими методами. Но в рамках аксиома­ тических или прямых методов чаще всего делаются попытки восстановить функцию полезности, уже имея информацию о предпочтительности той или иной альтернативы. Это мож­ но условно назвать путем сверху, для понимания сути которого

140

Системный анализ и проблемы принятия решений

Лекция 7

достаточно вспомнить описанный выше метод интерполяции функций полезности.

В противоположность этому подходу в рамках методов компенсации строят функцию полезности «снизу», определяя вклад каждого из критериев. Тогда разница функций полезно­ сти двух альтернатив А и В А11а,в будет вычисляться по фор­ муле:

где I/, — функция полезности по по г-му критерию, ф( — функция, определяющая влияние разностей оценок по г-му критерию на результат сравнения двух альтернатив. В случае если Ы1а,в > 0, альтернатива А предпочтительнее.

Доказано, что если верно (7.3), то транзитивность альтер­ натив в случае N ^ 3 будет иметь место в том и только в том случае, если все ф{ — линейны.

Заметим, что при применении методов компенсации для установления функции полезности необходимо проводить по­ парные сравнения двух альтернатив, что может стать весьма громоздкой процедурой. Так, в случае .ЛГ критериев таких сравнений должно быть

В итоге методы компенсации оказывается довольно труд­ но реализовать чисто математически при .ЛГ ^ 3. Вместе с тем в качестве инструмента предварительных исследований они оказываются довольно результативными, позволяя иногда со­ кратить количество критериев или количество альтернатив.

Еще одним моментом, определяющим в основном вспомо­ гательный характер методов компенсации, является тот факт, что в большинстве наиболее сложных задач выбора компен­ сация невозможна в принципе. Так, практически невозможно

141