Системный анализ

Системный анализ

Курс лекций

Комментируя же пункт 3, важно подчеркнуть, что клас­ сические качественные методы прогнозирования в неявном виде опирались на некоторые принципы системного подхода. Осознание ограниченности данных методов, отсутствие уни­ версальной общенаучной методологии, которая бы сделала результаты качественных прогнозов настолько же убедитель­ ными, как результаты расчетов, и послужило одной из пред­ посылок к возникновению системного анализа.

Системный анализ помимо всего прочего подводит обще­ научную базу под вышеупомянутые качественные методы про­ гнозирования. Поэтому применение системной методологии к решению вопросов прогнозирования, даже если это не за­ канчивается построением той или иной количественной моде­ ли, позволяет значительно улучшить результативность и каче­ ство интуитивных прогнозов, «объективизировать» во многом субъективные результаты соответствующих исследований. Мы коснемся соответствующих вопросов в конце данной лекции, а пока вернемся к рассмотрению методов прогнозирования.

Количественные методы прогнозирования в общем виде можно отождествить с моделированием. Функцией моделиро­ вания является «замещение» изучаемого оригинала. Посколь­ ку прогнозируются всегда явления, в данный момент на дан­ ном объекте непосредственно не наблюдаемые, прогностика всегда имеет дело с некоторой моделью. Количественный прогноз — это результат работы с количественной (математи­ ческой) моделью.

Эту модель в самом общем виде можно представить как набор правил для вычисления предсказываемых значений не­ ких характеристик моделируемого объекта. Следовательно, данная модель должна имитировать динамику объекта во вре­ мени. Поэтому все прогностические модели можно назвать динамическими, хотя ряд авторов подобное название приме­ няют только к балансовым моделям [ 6 ] .

62

Возможности и ограничения традиционных методов моделирования

Лекция 4

Рассмотрим же основные методы моделирования динами­ ки сложных систем, исключив пока из рассмотрения так на­ зываемые имитационные модели. При этом сосредоточимся сейчас в основном на двух моментах: аппарате моделирования и математической специфике эксплуатации соответствующих моделей.

Отметим, что мы в данном случае рассматриваем не мате­ матические модели вообще, которые так или иначе возможно применять в задачах системного анализа, а наиболее часто встречающиеся в экологии, экономике, медицине, демогра­ фии и тому подобных отраслях динамические модели. Наибо­ лее распространены сейчас:

1)матричные модели,

2)«диффузные» модели,

3)балансовые динамические модели,

4)модели, применяющие аппарат статистической физики,

5)статистические модели,

6)оптимизационные модели,

7)специфические индивидуальные модели отдельных явле­ ний и процессов, наподобие экологических моделей типа «хищник — жертва», или «паразит — хозяин», или моделей динамики потерь сторон в военном деле.

Матричные модели представимы в виде:

где а < + 1 — вектор характеристик моделируемого объекта в мо­ мент времени I + 1, А — квадратная матрица, а< — вектор характеристик моделируемого объекта в момент времени Ь. Размерности матрицы и вектора должны быть согласованы. В общем виде матрица А может быть переменной и ее эле­ менты в этом случае будут зависеть от времени. Матричные

63

^

Системный анализ

Курс лекций

модели применяются для исследования проблем популяционной динамики (в экологии), проблем межотраслевого баланса (в экономике) и ряда других задач.

Матричные модели удобны тем, что они позволяют про­ водить аналитические исследования соответствующих про­ цессов.

Однако матричные модели применимы только тогда, ко­ гда каждая характеристика моделируемой системы в очеред­ ной момент времени представима в виде линейной комбина­ ции характеристик системы в предыдущий момент времени.

Очевидно, что данное правило применимо только для относительно простых систем и только для ограниченного числа режимов функционирования этих систем. В частности, с помощью матричных моделей практически невозможно пе­ редать смену состояний сложных систем. Поэтому матричные модели можно считать лишь важным этапом в развитии мо­ делирования. Они имеют определенную научную ценность, но не могут претендовать на широкое применение в практике.

«Диффузные» модели, как видно из их названия, исполь­ зуют в качестве математического аппарата уравнения диффу­ зии. Эти модели применяются для исследования динамики водных экосистем, динамики развития селитебных террито­ рий, динамики развития транспортной сети и тому подобных задач пространственной динамики.

Успешное применение данных моделей возможно только для имитации внутренней динамики гомогенных систем. На­ личие пространственных неоднородностей в самой системе или в среде ее обитания существенно снижают возможности применения диффузных моделей.

Но именно подобные ситуации наиболее интересны и с теоретической, и с прикладной точек зрения. Действительно, и развитие планктона в водоемах, и развитие городов проис­ ходят в неоднордном пространстве.

64

Возможности и ограничения традиционных методов моделирования

Лекция 4

Поэтому, если мы хотим учесть эти реально существую­ щие неоднородности, диффузные модели будут неприемлемы. С другой стороны, пространственное «расползание» струк­ турно однородных гомогенных систем есть только частный случай их динамики, изучение которого далеко не исчерпыва­ ет проблем моделирования сложных систем.

Имеются еще и чисто математические трудности решения уравнений в частных производных, каковыми являются урав­ нения диффузии. Так, весьма нетривиальным остается выбор шага интегрирования численного решения соответствующих уравнений.

Балансовые динамические модели представляют моде­ лируемый объект как совокупность потоков вещества и энер­ гии, баланс которых рассчитывается на каждом шаге моде­ лирования. Математическим аппаратом балансовых моделей являются системы обыкновенных дифференциальных урав­ нений.

Важнейшими частными случаями балансовых динамиче­ ских моделей являются системнодинамические модели, о ко­ торых мы будем подробнее говорить в следующей лекции, и так называемые компартментальные модели. Последние опираются на представление объектов в виде систем различ­ ных резервуаров (компартментов), связанных между собой сложной сетью каналов массо-энергообмена.

Эти модели имитируют массоэнергообмен при отсутствии структурных перестроек в сети каналов обмена. В этом случае соответствующие процессы описываются непрерывно диф­ ференцируемыми функциями, что соответствует механизму протекания массо-энергообмена в био- и экосистемах, находя­ щихся в ненарушенном состоянии. Таким образом, чисто мате­ матических проблем при использовании компартментальных моделей не возникает.

65

Системный анализ

Курс лекций

Компартментальные модели широко используются в ме­ дицине и фармакологии (модели фармакинетики), а также в экологии и экономике (модели межотраслевого баланса).

Обширная библиография по компартментальному модеЛированию [31,33-35,37-40] говорит в пользу исключитель- \ ной результативности данного метода в решении целого клас-] са задач. Однако важнейшая проблема прогнозного модели­ рования сложных систем — предсказание смены состояний — ! компартментальными моделями не решается в принципе.

Вообще балансовые динамические модели являются наи­ более развитым инструментом изучения динамики сложных гетерогенных систем. Вместе с тем именно в указанном ме­ тоде моделирования как в фокусе сконцентрированы почти все проблемы, присущие моделированию вообще. Это и во­ прос о различиях характерных времен изменения разных параметров, и проблема оптимальной размерности моделей, и проблемы информационного обеспечения моделей, и про­ блемы адекватной передачи смены состояний системы, кото­ рым должны соответствовать изменения правых частей соот­ ветствующих дифференциальных уравнений.

Указанные проблемы мы рассмотрим ниже. Здесь лишь заметим, что традиционно в соответствующих областях мате­ матики, занимающихся задачами численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений большой раз­ мерности (а их аналитическое решение в подавляющем боль­ шинстве случаев невозможно), упомянутые проблемы далеки] от разрешения.

Модели, применяющие аппарат статистической физи­ ки. Модели построенные на основе этих методов, не следует смешивать со статистическими моделями, так как здесь по­ ведение системы в целом не является случайным процессом. Система в данном случае рассматривается как статистический ансамбль взаимодействующих элементов.

66

Возможности и ограничения традиционных методов моделирования

Лекция 4

В модель вводится функция распределения этих элемен­ тов и определяются глобальные характеристики системы — энергия, энтропия и т.д. Данный подход позволяет успешно применять в таких моделях хорошо разработанный аппарат статистической, физики. Однако этот аппарат можно приме­ нять только в случае слабых взаимодействий между элемен­ тами, т. е. для целей моделирования неструктурированных гомогенных систем.

Более интересные с теоретической и практической точек зрения ситуации развития гетерогенных систем и предсказа­ ния наступления их кризисов с помощью данного аппарата не могут быть рассмотрены.

Статистические модели строятся при допущении, что моделируемый процесс случаен и может быть исследован с по­ мощью статистических методов анализа систем, в частности, методов Монте-Карло. Статистические модели математиче­ ски могут быть оформлены весьма разнообразно. Это и так называемые марковские цепи, это и регрессионные модели, когда какая-либо характеристика (у) определяется как линей­ ная комбинация нескольких факторов, например:

где Д) — константа, /ЗьДг. ••• >$р ~* постоянные коэффици­ енты, Х{,х%,... ,хр — переменные, е — случайная величина с нулевым матожиданием и заданной дисперсией. С помощью модели (4.2) можно, зная соответствующие изменения факто­ ров, оценить новые значения характеристики у с ошибкой е.

Другим вариантом статистической модели может быть следующий:

где х — вектор неких характеристик системы, значения ко­ торых моделируются, / — некая функция, и(1) — вектор

67

Системный анализ

Курс лекций

внешних воздействий, 7(2) — случайный вектор. Модель (4.3), если исключить 7(2), может быть динамической балансовой моделью (если, например, компоненты вектора х представ­ ляют собой оценки объемов некоего вещества в нескольких компартментах). Присутствие 7(2) в (4.3) делает эту модель статистической.

К статистическим моделям относятся известные в эконо­ мике эконометрические модели.

Существует мнение, что статистические модели эффек­ тивны только при условии неполной информации о соответ­ ствующем объекте. Вероятностный подход, согласно такому мнению, призван лишь частично компенсировать наше незна­ ние. Однако есть и другое мнение, что закономерности функ­ ционирования сложных систем существенно вероятностны. Следовательно, при построении соответствующих моделей не обойтись без вероятностных компонентов.

При построении и использовании статистических моде­ лей возникают следующие проблемы.

Во-первых, необходим обширный фактический естествен­ ный материал, позволяющий провести его корректную стати­ стическую обработку. Такого материала во многих предметных областях просто нет. Действительно, зачастую требуются вре­ менные ряды наблюдений длиной в десятки и даже сотни лет. Но в тех же науках о Земле соответствующие инструменталь­ ные наблюдения ведутся не более, чем 130-140 лет, а гораздо чаще вообще 10-20 лет.

Во-вторых, даже имея достаточно продолжительный вре­ менной ряд соответствующих наблюдений, мы зачастую не мо­ жем им воспользоваться, ибо зафиксированные наблюдения относятся к качественно различным ситуациям. Такие пробле­ мы возникают, в частности, в эконометрии [22,23].

Действительно, определяя, например, зависимость выпус­ ка какого-нибудь изделия от объема затрачиваемых ресурсов,

68

Возможности и ограничения традиционных методов моделирования

Лекция 4

мы, стремясь удлинить временной ряд, можем одновременно анализировать процессы в индустриальном и постиндустри­ альном обществе.

Но ведь соответствующие зависимости в этих двух случа­ ях будут существенно иными. Временной ряд даже в 20-30 лет уже может быть отнесен к качественно различным ситуаци­ ям. Например, с начала 50-х гг. XX в. на Западе произошла революция в сельском хозяйстве (так называемая зеленая ре­ волюция), научно-техническая революция 60-х гг., активное внедрение энергосберегающих технологий в 70-х гг., компью­ теризация конца 70-х - начала 80-х гг.

Каждое из этих событий существенно меняло конъюнк­ туру на рынке основных видов сырья и товаров, ресурсо- и энергоемкость производства. Поэтому, если мы в эконометрических исследованиях для целей улучшения статистической обоснованности той или иной зависимости воспользуемся длинным временным рядом, то это приведет к существенным погрешностям.

Общих решений упомянутых проблем пока не найдено. Однако совершенно очевидно, что для успешного применения статистических методов особую важность приобретает аде­ кватная постановка задачи на концептуальном уровне, и толь­ ко затем уже решение чисто математических задач. Кроме того, совершенно очевидно, что для целого ряда предметных областей статистические модели просто невозможно приме­ нить ввиду полного отсутствия необходимых количественных данных при одновременном наличии большого объема тради­ ционных натурных исследований.

Оптимизационные модели используют методы, которые позволяют решать задачи оптимального управления модели­ руемым объектом. Их построение основано на использовании методов линейного и динамического программирования при исследовании систем, описанных дифференциальными урав-

69

Системный анализ

Курс лекций

нениями. Такой подход получил название математического программирования.

Другим видом оптимизационных моделей являются модели, построенные с помощью теории игр. В общем случае их построение и эксплуатация базируется на вероятностном подходе.

Данный класс моделей позволяет ставить и решать задачи оптимального управления моделируемым объектом, что очень I ценно. С другой стороны, решение оптимизационной задачи само по себе не всегда возможно.

Поэтому для использования модели в задачах оптимиза­ ции ее необходимо максимально упростить. Причем упроще­ ние должно быть гораздо более радикальным, чем в моделях, которые призваны просто имитировать поведение изучаемо­ го объекта.

Подобное стремление упростить соответствующую мо­ дель «во что бы то ни стало» с целью получения возможно­ сти решения оптимизационной задачи зачастую приводит ис­ следователей к радикальному огрублению моделируемой дей­ ствительности. Эта общая для любого моделирования пробле­ ма особенно остро стоит при построении оптимизационных моделей, что делает их применение неприемлемым в боль­ шинстве случаев исследования реальных больших сложных систем.

Таким образом, в реальных задачах природопользования, хозяйственного планирования, медицины и т. п., в отличие от инженерных задач, оптимизационные модели имеют, ско­ рее, сугубо теоретическое значение.

Специфические индивидуальные модели. Это модели типа классической модели Вольтерра («хищник — жертва» и «паразит — хозяин») или модели боевых действий, постро­ енной английским инженером и математиком Ф. У. Ланчестером.

70

Возможности и ограничения традиционных методов моделирования

Лекция 4

Само название этих моделей говорит о том, что они со­ зданы для имитации динамики конкретных процессов. Мате­ матический аппарат упомянутых моделей подобран адекватно < формулированным задачам. Вместе с тем усложнение и «уни­ версализация» соответствующей задачи резко ограничивают возможности применения данного типа моделей. Например, использование модели типа «хищник — жертва» существенно затрудняется с ростом участников взаимодействия до пяти

иболее видов.

Взавершение нашего обзора можно утверждать, что в каж­ дом из перечисленных типов моделей используется хорошо разработанный формальный аппарат. Однако применение указанного аппарата к проблеме моделирования реальных сложных объектов в подавляющем большинстве случаев не­ возможно.

Решить проблему моделирования сложных систем при­ званы были имитационные модели, которые должны были соответствовать методологии от объекта к модели в про­ тивовес принципу от математического аппарата к модели.

Имитационное моделирование представляет собой попытки формализации с помощью современных ЭВМ любых эмпи­ рических знаний о рассматриваемом объекте. Имитацион­ ная модель — формализованное описание изучаемого явления во всей его полноте на грани нашего понимания [14].

Слова на грани нашего понимания фиксируют важное положение о том, что в процессе имитационного моделиро­ вания причинно-следственные связи не обязательно просле­ живаются «до последнего гвоздя». Для построения модели достаточно знать лишь внешнюю сторону каких-либо связей типа: «если А, то Б».

Врезультате чего произошло событие Б, из-за какихто сдвигов в балансе вещества, либо по другим причинам, знать не обязательно. Это дает возможность на порядок более

71