Системный анализ

Системный анализ

Курс лекций

результативно использовать весь объем традиционных знаний описательных естественных и гуманитарных наук, что было невозможно при других подходах.

К сожалению, имитационное моделирование чаще всего не оправдывает своего назначения. По большей части имита­ ционные модели представляют собой динамические балансо­ вые модели, иногда дополненные вероятностными подмоделя­ ми отдельных подсистем описываемого объекта. Математиче­ ским аппаратом имитационных моделей являются в больший-! стве случаев обыкновенные дифференциальные уравнения.

Итак, в рамках имитационного моделирования, каким оно сформировалось к настоящему времени, не удалось пока ре-1 шить проблемы моделирования сложных систем. Перечислим эти проблемы, общие для всех модельных методов.

1.Недостаток информации. Для построения моделей и их идентификации требуются значительные объемы натур­ ных экспериментов, зачастую охватывающих большие пространства и длительных во времени. Рассчитывать на получение такой массы наблюдений по любому рас­ сматриваемому объекту в обозримом будущем не пред­ ставляется возможным. В то же время большая часть качественной информации, накопленной в рамках тради­ ционных описательных наук, не может быть использована в существующих моделях.

2.Требование значительных упрощений при попытке опи­ сать реальный объект специфическими математическими методами типа уравнения диффузии либо моделями типа «хищник — жертва». Зачастую при этом из-за упрощений теряется объект.

3.Проблема размерности и шага численного моделиро­ вания. В традиционном имитационном моделировании при попытке во избежание упрощений описать объект

72

Возможности и ограничения традиционных методов моделирования

Лекция 4

с наибольшей подробностью возникают проблемы раз­ мерности и шага численного интегрирования. Реально ли решить эти проблемы (при условии получения необходи­ мой информации)?

Рассмотрим это на примере моделей, записанных в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Очевидна невозможность получения в общем случае ана­ литического решения произвольной системы большой раз­ мерности. В случае же численного решения «шаг интегриро­ вания навязывается быстрой переменой» [15].

Уменьшение шага численного интегрирования хотя и со­ здает некоторые затруднения в процессе реализации моде­ ли на ЭВМ (увеличение времени счета), все-таки на первый взгляд не представляется принципиальным ограничением ме­ тода. Однако при написании системы уравнений, описываю­ щих сложный объект, мы, очевидно, принципиально не можем н правых частях избавиться от параметров, определение ко­ торых предусматривает использование неких эмпирических данных.

Последние, как известно, в любом случае имеют пусть незначительную, но все же не нулевую погрешность. Для этого случая А. Н. Ворощуком [4] доказана теорема, глася­ щая, что для разностной схемы, аппроксимирующей систему обыкновенных дифференциальных уравнений, правые части которых заданы с некой ошибкой, существует оптимальный шаг интегрирования, уменьшение которого ведет к резкому (экспоненциальному) падению точности.

Следует отметить, что здесь идет разговор не о разнице решений «записанного неточно» уравнения и решения его численной аппроксимации, а о разнице решения «правильно­ го» уравнения и решения разностной схемы, аппроксимирую­ щей «неточно записанное» уравнение.

73

Системный анализ

Курс лекций

Очевидно, что с увеличением размерности системы уве­ личивается как возможность появления все «более быстрых» переменных, так и вероятность большей ошибки при описа­ нии правых частей. Следовательно, возможности численного решения такой системы будут принципиально ограничены изза взаимоисключающих требований к величине шага числен­ ного интегрирования.

Из вышесказанного очевидно, что для решения проблем моделирования сложных систем надо искать принципиально новые приемы формализации и алгоритмизации их динамики.

Упомянутые нами ранее трудности моделирования име­ ют одну общую причину, а именно — попытку применить уже имеющийся конкретный математический аппарат к опи­ санию объектов, которые ранее математикой не изучались. Следствием такого подхода являются попытки описать зако­ номерности функционирования самих объектов в терминах наук, имеющих соответствующие математические методы, т. е. в нашем случае сведение биологии, географии, экологии, ме­ дицины и т. п. к механике, физике и отчасти к химии, иными словами, — редукционизм.

Последовательный редукционизм применительно к эко­ логии, например, означает попытки с помощью биофизики клетки описать функционирование глобальной экосистемы. Очевидна нелепость подобных попыток.

Специалист по системному анализу в биологии Дж. Джефферс [6] упоминал, что существующий математический аппа­ рат создавался в основном для решения специфических задач классической физики XIX и начала XX столетий, поэтому решение проблем экологического моделирования потребует, в первую очередь, определенных усилий от математиков. Это, кстати, соответствует внутренней логике развития самой ма­ тематики, бурное развитие которой в связи с появлением

74

Возможности и ограничения традиционных методов моделирования

Лекция 4

кибернетики дало основание для утверждения о «разных ма­ тематиках» [3], т.е. о сильной дифференциации математики.

Методологическая схема «аппаратного» подхода через ре­ дукционизм приводит к ситуации, когда и сам аппарат приме­ нять затруднительно — формальное описание либо невообра­ зимо громоздко и не поддается исследованию, либо недопу­ стимо огрубляет явления, сводя их изучение к тривиальным случаям, когда все очевидно и без всякой формализации.

Кроме того, отсутствует информация, ибо конкретные науки все время «работали не так, как хотелось бы» специали­ стам по моделированию.

Однако следует заметить, что не науки существуют для возможностей применения формального аппарата, а формаль­ ный аппарат — для решения задач конкретных наук. В против­ ном случае его применение не имеет смысла.

Попытками решить указанные проблемы динамического моделирования были уже упоминаемое нами ранее системнодинамическое моделирование и интегральное моделиро­ вание. В рамках концепции интегрального моделирования удалось решить практически все основные проблемы динами­ ческого моделирования сложных систем.

Однако это направление пока еще не нашло всеобщего признания, и несмотря на достаточно долгий период разви­ тия (с начала 1980-х гг.) продолжает оставаться неким «новым словом» в моделировании. Ряд решений, предложенных в ин­ тегральном моделировании, достаточно принципиальны для всей методологии моделирования. Поэтому данное направле­ ние будет рассмотрено нами позже в отдельной лекции.

Итак, мы кратко охарактеризовали возможности различ­ ных методов прогнозирования и моделирования сложных систем. Как видно из вышесказанного, реальные сложные системы не поддаются последовательной редукции, разбору

75

Системный анализ

Курс лекций

до мельчайших деталей. Именно поэтому и возникают пробле­ мы построения их количественных динамических моделей. В данной связи имеют место три возможные ситуации инфор­ мационной обеспеченности изучения, управления и констру­ ирования сложных систем:

1.Возможность построения динамической количественной модели объекта (явления, процесса) на основе последова­ тельного редукционизма. В этом случае проблемы иссле­ дования, прогнозирования, конструирования или управ­ ления соответствующим объектом относятся к так назы­ ваемым хорошо структуризованным проблемам.

2.Невозможность построения динамической количествен­ ной модели объекта (явления, процесса) на основе по­ следовательного редукционизма, при одновременной воз­ можности построения количественной модели на основе принципов системного анализа.

Подобная модель может быть динамической. Однако это не обязательно. Важно, чтобы объект может быть так или иначе описан количественно, однако эти количественные описания могут быть и недостаточны для построения ди­ намических моделей. В этом случае проблемы исследова­ ния, прогнозирования, конструирования или управления соответствующим объектом относятся к так называемым

слабо структуризованным проблемам.

3.Отсутствие возможности построения какой-либо количе­ ственной модели объекта (явления, процесса). В этом случае проблемы исследования, прогнозирования, кон­ струирования или управления соответствующим объек­ том относятся к так называемым неструктуризованным проблемам.

Заметим, что применение термина «структуризованность» в данном случае носит несколько условный характер,

76

Возможности и ограничения традиционных методов моделирования

Лекция 4

ибо относится только к проблемам, как таковым, а не к соот­ ветствующим системам.

Могут быть слабо структуризованные проблемы управле­ ния гетерогенными системами, имеющими четкую структуру, моделирование динамики которых сопряжено с существен­ ными принципиальными трудностями. К таким проблемам относятся большинство медико-биологических и экологиче­ ских проблем. В то же время могут быть хорошо структури­ зованные проблемы управления гомогенными неструктуриро­ ванными системами, динамика которых адекватно передается с помощью моделей макрокинетики трансформации веществ, например.

Наверное, уже ясно, что хорошо структуризованные про­ блемы целесообразнее изучать методами классической мате­ матики и физики. Неструктуризованные проблемы лучше изу­ чать методами классического описательного естествознания или классическими методами гуманитарных наук.

Методы системного анализа наиболее эффективны при изучении слабо структуризованных проблем.

Мы не можем утверждать, что со временем все сла­ бо структуризованные проблемы станут структуризованными. Собственно это противоречило бы всей системной теории. Однако мы можем утверждать, что все большее число неструк- |уризованных проблем по мере роста наших знаний перехо­ дит в разряд слабо структуризованных и успешно решается с помощью системной методологии.

Мы уверены, что в недалеком будущем большинство прак­ тически значимых неструктуризованных проблем перейдет в разряд слабо структуризованных. При этом роль системно­ го подхода будет только возрастать.

Покажем, как это делается, на примере прогнозирования поведения сложных систем при отсутствии соответствующих

77

Системный анализ

Курс лекций

математических (количественных) моделей. Ранее среди мето­ дов качественного прогноза мы упоминали метод экспертных оценок. Самая простая процедура перевода экспертных за­ ключений в численную форму известна всем — это балльная оценка того или иного явления.

При процедуре балльной оценки эксперту надо оценить в баллах качество того или иного явления. Далее подсчитывается средний балл. Для отсечения крайних взглядов мини­ мальная и максимальная оценки могут исключаться из рас­ смотрения.

Еще более объективизирует оценку придание мнениям экспертов неких весовых коэффициентов, когда вклад более опытных экспертов в среднюю оценку берется с большим «весом». Большинство этих процедур известны большинству слушателей непосредственно из жизни. Это, например, судей­ ские оценки выступлений гимнастов и фигуристов. Однако пока мы не показали, как подобные процедуры могут рабо­ тать в рамках решения прогнозных задач.

Примером такого использования является метод дере­ ва целей. Прогноз какого-либо сложного события зачастую не может быть дан сразу. В этом случае экспертам ставит­ ся задача разбить последовательность событий на несколько более простых этапов. Например, «полет на Марс может про­ изойти только при условии: а) создания двигателя с такимито характеристиками, б) создания системы жизнеобеспече­ ния, отвечающей таким-то требованиям...». Эти этапы далее разбиваются на подэтапы и т. д. В конечном итоге строится дерево целей (событий).

Затем экспертам ставятся вопросы типа: «Какова вероят­ ность, что событие Ах+\ произойдет после события за вре­ мя I ^ Т?». Ответы экспертов «объективизируются» согласно изложенной выше процедуре с отсечением «экстремистских»

78

Возможности и ограничения традиционных методов моделирования

Лекция 4

оценок и, возможно, с введением весовых коэффициентов, для оценок значимости мнений.

Витоге мы получаем прогноз развития событий (реали­ зации того или иного проекта и т. п.) в деталях и с оценками времени наступления тех или иных этапов.

Вданном случае системный подход помогает, во-первых, поставить саму задачу прогноза, не имея никаких исходных количественных данных, что немыслимо в рамках редукцио­ нистского механистического мышления, а во-вторых, коррект­ но произвести декомпозицию задачи, выдерживая иерархию проблем (задач, событий) в соответствии с реально существу­ ющим разбиением изучаемой (прогнозируемой, проектируе­ мой) системы на подсистемы.

Одругом типе использования экспертных знаний для по­ строения алгоритмов экспертных систем мы уже говорили выше, в предыдущей лекции. Напомним, что в основе постро­ ения экспертных систем лежит использование фундаменталь­ ного свойства сложных систем эволюционировать, проходя через определенные состояния.

Тогда динамика поведения сложных систем может быть представлена в виде траектории в «пространстве состояний». Прогноз поведения системы в этом случае представим в виде схемы: «интегральные показатели —> определение состояния системы —> задание воздействия на систему —> отклик на за­ данное воздействие, зависящий от состояния, выражающийся

всмене (сохранении) состояния».

Подчеркнем, что вне системной научной парадигмы, утверждающей дискретный характер динамики сложных систем, построение экспертных систем просто невозможно.

Классическим случаем экспертных систем являются ме­ дицинские экспертные системы, когда на основе анализов и наблюдений ставится диагноз, затем рассматриваются воз­ можные методы лечения и прогнозируются их результаты.

79

Лекция 5

Обзор математических методов системного анализа.

Исследование операций. Теория игр. Теория автоматического управления

Всовременной математике существует несколько при­ кладных разделов, которые иногда объединяются как «мате­ матические методы системного анализа». Эти отрасли при­ кладной математики появились в XX в., и их становление по времени совпало с развитием системного анализа. К то­ му же они были разработаны для целей изучения поведения сложных систем.

Поэтому в курсе системного анализа нельзя обойти дан­ ные разделы вниманием.

Впредыдущей лекции мы ввели понятие хорошо структуризованных проблем. Исходя из специфики рассматриваемо­ го в прошлой лекции материала, мы делали упор на возмож­ ности построить прогнозную динамическую модель соответ­ ствующего объекта.

Однако понятие хорошо структуризованной проблемы (задачи) можно расширить. В самом общем виде хорошо струк­ турированная проблема позволяет формулировать ее в виде

81