Системный анализ

Системный анализ

Курс лекций

от числа противолодочных кораблей, находящихся на данном участке. В общем случае, на каждом из участков данная веро­ ятность зависит еще и от его размеров и гидрографических условий. Вероятность Л_, обнаружения (и уничтожения) под­ водной лодки в 7-м районе определяется по формуле:

где го, — зависит от специфики участка, щ — число поисковых кораблей в ]-м участке. На основе (5.12) составляется матрица выигрышей. Например, если участков 2, поисковых кораблей 2, а матрица выигрышей I игрока (поиск и уничтожение) равна

0,84 0,00

Н= 0,60 0,40 0,00 0,64

Тогда с вероятностью 16/21 в каждом районе поиск осу­ ществляет по одному кораблю, и с вероятностью 5/21 — оба корабля во втором районе. В свою очередь подводная лодка с вероятностью 2/7 выбирает первый район и с вероятностью 5/7 — второй район.

Врезультате вероятность обнаружения и уничтожения будет равна 16/35.

Вданном примере мы не раскрываем методов решения игры, а только иллюстрируем какого рода результаты получа­ ются в подобного рода задачах.

Вэкономике проблемы, решаемые с помощью матрич­ ных антагонистических игр, связаны в основном с задачами, которые условно можно назвать задачами разорения конку­ рентов.

92

Обзор математических методов системного анализа

При этом собственные затраты ведущего игру на разо­ рение конкурента являются ограничивающим фактором (как, например, число поисковых кораблей в предыдущем приме­ ре). Однако минимизация этих затрат не входит в цели игры.

Целью игры является максимизация потерь конкурирую­ щей фирмы. Конечными антагонистическими играми в дан­ ном случае моделируются ситуации, когда затраты игрока ве­ дущего игру на разорение конкурента бывают дискретными. Например, если в соответствии со спецификой проблемы со­ ответствующий товар должен выбрасываться на рынок только в начале определенного сезона или месяца и только опреде­ ленными партиями.

Особым видом экономических проблем, формализуемых с помощью теории игр, являются проблемы так называемых игр с природой, когда капризы стихии рассматриваются в ка­ честве действий некоего игрока, стремящегося нанести урон хозяйственной деятельности в области природопользования.

Примером такого рода задач является задача о планиро­ вании посевов. Ее смысл заключается в следующем.

Допустим, существует несколько однолетних сельскохо­ зяйственных культур, урожайность которых существенно зави­ сит от погодных условий. Кроме того, допустим, что реакцию

93

Системный анализ

Курс лекций

данных культур на погодные условия можно схематизированно представить через урожайность в 1) аномально засушливый год, 2) год с нормальными климатическими условиями, 3) год

саномально высоким увлажнением. Вероятность тех или иных погодных условий известна.

Прибыль от продажи урожая в зависимости от его объема тоже известна. Допустим, она пропорциональна урожайности

сгектара, которая приведена в табл. 5.1.

Тогда можно построить матрицу выигрышей I игрока (агронома). Вид этой матрицы будет следующий:

Легко установить, что условие (5.11) не выполняется и ре­ шение игры надо искать в смешанных стратегиях. Это реше­ ние будет в данном случае иметь следующий вид. С вероят­ ностью 22/45 следует сеять первую культуру, с вероятностью 18/45 — вторую, и с вероятностью 5/45 третью.

Данный пример допускает возможность заменить вероят­ ностный подход нахождения смешанной стратегии его физи- ческой реализацией. Иными словами, вероятности посева той или иной культуры заменить долей площади, занятой данной культурой.

В этом случае мы максимизируем не математическое ожи­ дание дохода, а гарантированный доход.

Задача о планировании посевов очень интересна как ил­ люстрация. Если в данной задаче мы заменим схематизацию погодных условий неким реальным параметром, характеризу­ ющим степень увлажненности, то получим бесконечное число возможных чистых стратегий «второго игрока» — природы.

94

Обзор математических методов системного анализа

Лекция 5

Такого типа игра, когда хотя бы у одного игрока есть бес­ конечное множество чистых стратегий, будет уже относится к классу бесконечных антагонистических игр.

Бесконечные антагонистические игры по своей сути близ­ ки к конечным, поэтому в этих играх игроки также стремятся действовать по' тем же принципам оптимальности, которые свойственны конечным играм. Однако реализовать эти прин­ ципы в бесконечном случае труднее, а нахождение решения игры требует более изощренных и громоздких приемов.

Помимо упомянутого примера задачи о планировании по­ севов в его бесконечном варианте, с помощью бесконечных антагонистических игр могут исследоваться стратегии разо­ рения конкурента, в случае если усилия соответствующего игрока (платежи, поставки товаров и т. п.) могут осуществ­ ляться непрерывно во времени и в произвольных объемах, ограниченных только возможностями этого игрока.

Кроме того, с помощью данных игр могут решаться задачи о распределении финансирования между отдельными регио­ нами или между отдельными исследовательскими программа­ ми. Например, ранее упомянутая задача, решаемая в рамках исследования операций (выражение (5.6)) может быть решена с помощью бесконечных антагонистических игр в том случае, если возможно распределение средств между несколькими ис­ следовательскими проектами в любых пропорциях.

Примерами бесконечных антагонистических игр являют­ ся также известные в военном деле всевозможные задачи, свя­ занные с поиском противника, локализация которого в про­ странстве не ограничена какими-то дискретными участками, а может быть произвольна.

Рассмотрим дальнейшее усложнение примера задачи о планировании посевов. Допустим, что планируется не посев текущего года, а выбор севооборота. То есть необходимо рас­ пределить площади под несколько культур на несколько лет.

95

Системный анализ

Курс лекций

Вероятность тех или иных погодных условий известна. Эффективность возделывания тех или иных культур в зависи­ мости от погодных условий и культуры-предшественника тоже известна. Эту задачу можно решать с помощью антагонистиче­ ской матричной игры. Только при этом будут рассматриваться не варианты погодных условий отдельного года, а варианты многолетнего погодного режима в течение всего периода се­ вооборота.

Например, в случае четырехлетнего севооборота, вариант 1 [сухой год, влажный год, нормальный год, нормальный год], вариант 2 [сухой год, сухой год, нормальный год, нормальный год], вариант 3 [сухой год, нормальный год, нормальный год, нормальный год] и т. п.

Однако подобная постановка задачи очевидно нерацио­ нальна, ибо на второй год будут уже известны условия пер­ вого года, на третий — первых двух и т. д. Исходя из данных обстоятельств мы можем соответственно корректировать рас­ пределение площадей.

Иными словами, мы в каждый следующий год можем кор­ ректировать наши стратегии, используя информацию преды­ дущего года. Неопределенность при принятии очередной стратегии уменьшается.

Подобные задачи решаются с помощью аппарата мно­ гошаговых игр. Одной из разновидностей многошаговых игр являются конечные позиционные игры типа тех, ко­ торые были упомянуты нами в примере с планированием севооборотов.

К многошаговым играм относится очень много военны задач, когда в процессе противоборства противники пол) чают все больше информации о силах и возможностях друг друга. К проблемам, решаемым с помощью многошаговых игр относятся также проблемы завоевания рынков сбыта, когда

96

Обзор математических методов системного анализа

Лекция 5

в процессе конкурентной борьбы соперничающие фирмы по­ следовательно уточняют данные друг о друге и соответственно корректируют свои стратегии.

Все выше рассмотренные случаи являются антагонисти­ ческими конфликтами, когда выигрыш одной стороны обора­ чивается проигрышем другой. В реальности это не всегда так. Игроки могут преследовать различные, однако не обязатель­ но антагонистические цели.

В этом случае игра носит название бескоалиционной, ес­ ли игроки не могут обмениваться информацией о намерениях друг друга и заключать коалиции для выбора устраивающей обоих стратегии. Формально бескоалиционную игру можно представить в виде:

где I — множество игроков, ж, — множество чистых стратегий, Я,- — функция выигрышей г-го игрока, заданная на прямом произведении чистых стратегий всех игроков. В случае двух игроков Н{ из (5.13) представляет собой матрицу. Такая игра называется биматричной, ибо матриц две.

По аналогии с матричными антагонистическими играми, бескоалиционные игры могут быть конечными и бесконеч­ ными. Также по аналогии с антагонистическими играми мож­ но составить смешанные стратегии бескоалиционных игр. В теории бескоалиционных игр доказывается существование ситуации равновесия в смешанных стратегиях для конечных бескоалиционных игр.

Важное значение в теории бескоалиционных игр имеет понятие стратегически эквивалентных игр. Стратегически эквивалентными называются такие игры, в которых умноже­ ние функции выигрыша любого игрока на положительную константу и прибавление к этой функции любой констан­ ты не изменяют оптимальных стратегий игроков. Множества

97

Системный анализ

Курс лекций

ситуаций равновесия в стратегически эквивалентных играх совпадают.

Играми с постоянной суммой называются игры, суммы выигрышей в которых во всех ситуациях равны одному и то­ му же числу. Нетрудно увидеть, что все игры с постоянной суммой эквивалентны игре с нулевой суммой, которая явля­ ется не чем иным, как антагонистической игрой.

Таким образом, антагонистические игры есть по сути некоторый частный случай бескоалиционных игр. Однако не все бескоалиционные игры стратегически эквивалентны играм с постоянной суммой.

Наиболее ярким примером бескоалиционной игры явля­ ется теоретико-игровая модель эколого-производственных конфликтов следующего типа.

Допустим, несколько предприятий пользуются водой из одного водоема, в который одновременно сливают свои от­ ходы. С одной стороны, предприятие заинтересовано в как можно более чистой воде, ибо на ее предварительную очистку оно тратит средства. Средства также тратятся и на штрафы за выбросы. С другой стороны, каждое предприятие стре­ миться экономить на фильтрах при сбросе отходов. При этом каждое предприятие не заинтересовано в обмене объектив­ ной информацией с соседями, стремясь переложить на них бремя очистки своих стоков.

Вэтой ситуации в общем случае существуют две ситуации равновесия, — условно говоря, «хищническая» и «экологич­ ная». Теория игр позволяет определить минимальную норму штрафов, делающих «хищническую» ситуацию неприемлемой.

Вэтом случае будет существовать только одна ситуация рав­ новесия — «экологичная».

Вданном примере игроки не были заинтересованы в об­ мене информацией о своих намерениях при планировании

98

Обзор математических методов системного анализа

Лекция 5

соответствующих стратегий. Однако в реальности такое пове­ дение не всегда соответствует интересам игроков.

Ситуации, когда игроки могут увеличить свой выигрыш, информируя друг друга о своих планах, моделируются так на­ зываемыми кооперативными играми. В кооперативных иг­ рах для игроков наилучшим способом поведения является сле­ дование условию индивидуальной рациональности, соглас­ но которому, участвуя в коалиции, игрок получает по меньшей мере столько же, сколько он получал бы, действуя самостоя­ тельно вне коалиции.

Вектор стратегий, удовлетворяющих условию индивиду­ альной рациональности, называется дележом. Условие груп­ повой рациональности требует превышения суммы выигры­ шей всех игроков коалиции по сравнению с суммой их выиг­ рышей в ситуации отсутствия коалиции.

Теория кооперативных игр занимается поиском деле­ жей, отвечающих условию групповой рациональности. При­ чем ищется такое решение игры, чтобы суммарный выигрыш был наибольший.

Иллюстрациями повышения выигрыша при кооперации могут служить многочисленные примеры согласованного де­ ления рынков сбыта, регулирования объемов поставляемых товаров и тому подобные ситуации, в каждой из которых с по­ мощью теоретико-игровых методов можно доказать индивиду­ альную и групповую рациональность такого рода поведения.

И в методах исследования операций, и в большинстве разделов теории игр, как можно понять из вышесказанного в этой лекции, ищется решение в основном статических задач (например, задач выбора вариантов проектов, выбора вари­ антов стратегий и т. п.). Предполагается (или прямо следует из физической сути задачи), что в результате подобного вы­ бора будет достигнуто желаемое состояние и непрерывного,

99

Системный анализ

Курс лекций

постоянного дальнейшего вмешательства в процесс управле­ ния рассматриваемым процессом не требуется.

Близкими по математической постановке к исследова­ нию операций, однако существенно иными, «непрерывны­ ми» по физическому смыслу, являются задачи автоматическо­ го управления (автоматического регулирования). Эти задачи возникли из практики проектирования и эксплуатации техни­ ческих систем.

Возможность описания функционирования этих систем

ввиде некой динамической модели, очевидно, предусматри­ вается исходя из самой сути задачи. Теория автоматического регулирования первоначально касалась исследования работы устройств типа регуляторов, стабилизаторов, автопилотов. Суть задач автоматического регулирования поясним на следу­ ющем примере.

Допустим, мы описываем полет самолета в режиме авто­ пилота. Движение самолета при этом формально представимо

ввиде:

где х — вектор, описывающий фазовое состояние системы, т. е. координаты, высоту и скорость самолета, / — некая функция, р — вектор параметров автопилота, ^ — случай­ ный вектор. Зная расчетную траекторию, мы можем выбрать координаты таким образом, чтобы этой траектории при от­ сутствии внешних возмущений отвечали нулевые значения фазовых переменных. Иными словами, на расчетной траек­ тории х — 0. Но при нахождении самолета на расчетной траектории корректировка его движения не нужна. Это зна­ чит, что

100

Обзор математических методов системного анализа

Лекция 5

Если вследствие некоего возмущения (например, поры­ ва ветра), самолет уклонился от расчетной траектории, то автопилот должен рано или поздно вернуть его на нее. Это означает, что

Условие (5.16) означает, что движение самолета обладает

асимптотической устойчивостью. Теория автоматического регулирования как раз и позволяет искать такие парамет­ ры р автопилота, которые бы делали движение самолета асимптотически устойчивым. В задачи нашего курса не вхо­ дит рассматривать проблемы исследования систем уравнений типа (5.14) на асимптотическую устойчивость.

Это задачи соответствующих спецкурсов по математике. Заметим лишь, что методы подобных исследований разрабо­ таны и имеются только чисто технические трудности решения данных задач при большой размерности системы (5.14).

Заметим, что требование асимптотической устойчивости движения, выполняемого с помощью некоего регулятора, есть условие необходимое, но недостаточное для выполнения прак­ тических запросов регулирования. Так, в нашем случае воз­ вращение на расчетную траекторию должно осуществляться за конечное время Т. Однако на практике требование асимпто­ тической устойчивости достаточно для тех случаев, когда вре­ мя эксплуатации системы в заданном режиме (в нашем случае, время полета) намного больше времени затухания колебаний.

Для тех технических систем, которые проектировались и исследовались с помощью методов теории автоматическо­ го регулирования, вышеназванное требование было выпол­ нимо. Однако с появлением ракетной техники и тому по­ добных видов технических изделий задачи управления ими вышли за рамки классической теории автоматического регу­ лирования.

101