Lections_V

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Запишем скалярное волновое уравнение:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.03.2015

Размер:

1.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Вопрос № 44

Дифракция света на амплитудной решётке.

Дифракционная решетка представляет собой непрозрачный экран со множеством щелей шириной d,

расположенных на расстоянии а одна от другой рис. 17.1. Полное число щелей N+1 заполняет область экрана шириной имеет место соотношение:

D = a(N+1)

(17.1)

В дальнейшем будем предполагать, что

– целое число k – волновой вектор распространения волны, ki – вектор

падающей волны. Пусть вектор ki

направлен перпендикулярно поверхности экрана, k 0 – соответствует

k2 k1

d			N/2

Рис. 17.1. Дифракционная решетка,

состоящая из многих щелей в непрозрачном экране.

части волны, которая продолжает распространяться в том же направлении, что и падающая волна. Чтобы решить задачу о

дифракции на решётке, надо сложить поля, рассеянные каждой щелью. Воспользуемся формулой (14.22) для расстояния при дифракции в дальней зоне:

rn	= z ¢ +	( x¢ - xn ) 2	= r0 -	x¢xn	+	xn2	(17.2)
		2 z ¢		z ¢		2 z ¢

Пренебрегая в (17.2) членом x02 / zz¢ , получаем дифракцию Фраунгофера. Координата xn = n× a – центр n-ой щели. Предположим, что полный размер решётки значительно

меньше того расстояния, на котором наблюдается дифракция. Воспользуемся формулой (16.23) и (17.2), запишем поле на больших расстояниях от дифракционной решетки в приближении Фраунгофера:

ψ ( x

′, z′) =

iπ

ψ 0

, где

r » r -

x′xn

= r - αx

= r

z¢

x′

z′

Р(x`,y`);

α ≈ tg α =

≈

z′

щей волны и точкой наблюдения;

e− ikr		0 sin	πd		α	N / 2
e− ikr		0 sin		λ	α	N / 2	ikαna
						å e
			α
	r0						(17.3)
						n = − N / 2	(17.3)
						n = − N / 2

- αn × a - расстояние от центра каждой щели до точки

- угол между первоначальным направлением падаю-

	x ′xn	= α na .
	z ′	= α na .
	z ′

Сумма в (17.3) есть сумма геометрической прогрессии.

N / 2	= e-ika	N	α × e	ikα ( N +1) a			- 1
å eikαna
		2		e	ikαa
n = - N / 2						- 1

. Докажем это соотношение:

Sn =

a1(qn −1)

;

qn = (eikαa )N +1 = eik ( N +1)aα

q −1

Введем обозначение: x = knα, тогда:

N +1

ei ( N +1) x − 1

− 1

−i

= e

− i

eix

− 1

e 2 e

x ei

N +1

x ei

N +1

xe−i

N +1

sin

N +1

−i

= e

− ei

sin

Выражение для поля на больших расстояниях запишется:

πd

4 e − ikr0

ç sin

iπ

( x

¢, z ¢) =

ψ 0 e

÷ ç

÷ (17.4)

ç sin

ø1

ø 2

Выражение (17.4) содержит два характерных сомножителя в скобках. Первый

sin π

α ÷

– характеризует распределение поля при дифракции на отдельной щели, а

ø1

второй член описывает влияние собственно решетки. Этот член имеет вид:

	sin π			D		α
F (α ) =	sin π			λ		α		(17.5)
				λ
	sin π			a	α


				λ
				λ
График этих функций приведен на рис. 17.2. Функция (рис. 17.2, б) быстро осцил-
лирует с частотой		D	. При π				a	α = mπ (m – целое число) синус в числителе и знаменателе
лирует с частотой		2λ	. При π				λ	α = mπ (m – целое число) синус в числителе и знаменателе
		2λ					λ
обращается в нуль, а F(α) стремится к максимальному значению. В этих точках:

F max	Þ	D	= N + 1 (17.6) , где	lim	sin ax	= a . Т.е. величи-
		a			sin x
				x→0

на пика решётки пропорциональна числу щелей.

sin рd б	F(α)
л	F(α)
л
б	0	1
-1		1

-d/λ	d/λ	α	-λ/α	0	λ/α	α
а)			б)
Рис. 17.2. Картина при дифракции от одной щели (а). Представление функции F(α), определяющей
	дифракционную картину дифракционной решетки (б).
В целом, учитывая действие первого и второго сомножителя, имеем картину
			I
					α
Рис. 17.3. Суммарнаяфункцияотдвухсомножителей,определяющаядифракционнуюкартину дифракционнойрешетки.

распределения интенсивностей на экране от дифракционной решетки (рис. 17.3). Угловая полуширина решётки определяется так же, как и в случае одной щели,

точкой в которой функция F = 0 при N = 1. Угловая полуширина для решетки равна:

α =	λ	=	1 æ		λ ö	(17.7)
				ç	÷
	D
			N +1è a ø

Полуширина лепестка для решетки обратно пропорциональна числу щелей. При α = 0 имеем лепесток нулевого порядка, который соответствует полю, которое проходит через решетку, не дифрагируя.

Лепесток m-го порядка: π	a	αmax = mπ , следовател ьно :	α m = m	λ	(17.8)
	λ			a

, где его относительная полуширина равна:

α m	=	1	(17.9)
		m ( N + 1 )
α m

Из формулы (17.7) видно, что положение каж- дого максимума лепестка зависит от длины вол- ны λ.

Спектральные разрешения решётки найдём из уравнений (17.7) и (17.9).

λ1 λ2

Р и с . 17 .4 . Кр и те р и й Р э ле я .

Будем считать, что две спектральные линии ещё различимы, если максимум одной из них приходится на минимум другой. Это положение носит название критерий Рэлея. Та-

ким образом, при изменении λ на λ +			λ максимум сдвигается на полуширину αm .
Итак, для л1 условие максимума:				λ2
αm1 = m λ1 ;	λ2 →α m 2		= m
				a
a
или ( α )λ = α m1 − α m 2	=	λ m =	λ1 − λ2		m .
		a	a

Исходя из критерия Рэлея и уравнения (17.7), получаем:

λ	m =	1 æ		λ ö	λ	=	1
			ç	÷	или: λ				(17.10)
a							m ( N	+ 1)
		N + 1 è		a ø

Увеличение штрихов решётки увеличивает её разрешающую способность.

Вопрос №45
Дифракция Брэгга на объёмной решётке.
Современная оптика - это прежде всего го-		D
лография и лазеры. Чтобы понять каким об-	n ( r )	D
лография и лазеры. Чтобы понять каким об-	n ( r )
разом восстанавливается голографические
изображения необходимо изучить дифрак-		r
цию света на объёмных дифракционных ре-		r
цию света на объёмных дифракционных ре-
шётках. Рассмотрим случай дифракции на
фазовых дифракционных решётках.	Рис. 18.1. Показа тель преломления
Пусть показатель преломления плоской пла-		диэле ктрика синусоида льно
стины диэлектрика изменяется по закону		модулирован в пространс тве.
стины диэлектрика изменяется по закону

(рис. 18.1):

n =

(18.1), где n – показатель преломления сину-

n0 + η cos( β × r + φ )

соидально модулирован в пространст-

ве, β – вектор решётки, D – расстояние

между двумя последовательными мак-

симумами n.

Области постоянного показателя пре-

ломления n лежат в плоскостях пер-

Рис. 18.2. Иллюстрация переотражения световой

пендикулярных вектору решетки в .

волны на синусоидальной решетке.

Расстояния между последовательными

максимумами n равно D.

Λ =

2π

D =

2π

, где β - модуль вектора в , Λ - постоянная решетки. (18.2)

| β |

Например, (18.1) можно рассмат-

ривать как мгновенный снимок звукового поля или распределение n в доменных магнитных решёт- ках (голограммах). 2d

Представим геометрию задачи на рис. 18.3.

ki – вектор падающей волны, kS – вектор рассеянной назад

Z n0

ki ks

волны. Считаем, что это плоские Рис. 18.3. Схема дифракции Брэгга. волны. Заштрихованная полоса

показывает область с периодически меняющимся показателем преломления. Будем счи-

тать, что глубина модуляции показателя преломления η:
η << 1	(18.3)
	r	+φ) = n02	+ ε (18.4)
Тогда квадрат показателя преломления: n2 » n02 + 2ηn0 cos(β × r

Будем решать задачу в скалярном приближении. Запишем волновое уравнение в систе-

ме СИ: Ñ 2ψ + n 2 k 02ψ = 0		k0 = ω		=	ω
ме СИ: Ñ 2ψ + n 2 k 02ψ = 0	, где	k0 = ω	ε 0 μ0	=	ω	.(18.5)
					c
		ψ i =			r	r
Пусть на решётку падает плоская волна:			Ae	- ik i ×r
Пусть на решётку падает плоская волна:			Ae			(18.6)

, где ki = n0k0 , а n 0 – среднее значение модулированного показателя преломления.

Очевидно, что кроме падающей волны, имеется рассеянная волна ψ S , которую пред- ставим в виде суммы плоских волн имеющих широкий спектр направлений распростра-

нения kS , Т.е. запишем интеграл-Фурье:

		¥	r			r	× rr			r
ψ S	=	ò				r
				) e	-	i k S		d	3		(18.7)
			B ( k S	) e				d		k S	(18.7)
		- ¥
где d 3 k S	= dk SX dk SY dk SZ										(18.8)
Будем считать, что все компоненты kS							изменяются независимо друг от друга во

всей области интегрирования от − ∞ до + ∞ .

Полное поле является сумой падающей и отражённой волны: ψ = ψ i +ψ S

(18.9)

Подставим (18.4), (18.6) и (18.7) в волновое уравнение (18.5) получим выражение:

(n2k 2			r				r	+
		− k 2 ) Ae-iki ×r		+ εk 2 Ae-iki ×r
0	0	i	r		r	0	r
						r
+ ò(n02k02 − kS2 )B(kS )e-ikS ×r d 3kS +
+ ò			r	r		= 0 .
	εk02 B (k S )e - ik S			×r d 3 k S				(18.10)

Так как падающая волна является решением волнового уравнения, то первый член в

(18.10) равен нулю. Вообще говоря,	ε и B(kS ) является малыми величинами и в
первом приближении можно пренебречь членами, содержащими их произведения Де × B .
Найдём сначала величину коэффициента B(kS ) :
r r	r r
ε(βr)k02 Ae-iki ×r + ò(n02k02	− kS2 )B(kS )e-ikS ×r d3kS = 0	(18.11)

Умножим (18.11) на exp(ikS' × r ) и проинтегрируем по всему пространству. Уч-

тем, что:

r r

−kSX )δ(kSY'

−kSY )δ(kSZ' −kSZ ) =

òei(kS −kS )r d

3r = (2π)3δ(kSX'

= (2π )3δ (kS' − kS ) .

(18.12)

+φ )

ei ( βr

e − i ( βr

Поскольку:

ε ≈

cos( βr

+ φ )

из (18.11) следует:

η k

× ò

r r

B ( k S )

( e i [( k S + β − k i r ) + φ ] +

( 2π )

( k S

− n 0

k 0 )

б)

	r	r	r r			3 r
e	i[( k S − β − k i r )−φ ]				) d		(18.13)
						r ,
где учтено, что:				ò f (x)δ (x − x0 )dx = f (x0 ) .
	В уравнение (18.13) подставлено выражение для ε , а интегрирование ведётся
только по области, где				ε ¹ 0 .
	Под знаком интегрирования стоит быстро осциллирующая функция, которая даёт
существенный вклад в интеграл, если аргументы экспонент обращаются в нуль:
	kS = ki ± β						(18.14)

Уравнение (18.14) - условие Брэгга.

Предположим, что объём взаимодействия простирается до бесконечности в на- правлениях x и y. Тогда интегрирование по x и y приведёт к δ -функциям.

Уравнение (18.13) можно представить в виде:

r	ηk02 A
B(k S ) =		[δ (k SX	+ β X − kiX )δ (k SY + βY − kiY ) ×
B(k S ) =	π (kS2 − n02 k02 )	[δ (k SX	+ β X − kiX )δ (k SY + βY − kiY ) ×
	π (kS2 − n02 k02 )


×	sin(kSZ + βZ −kiZ )	eiφ +δ(k		−β	X	−k	)δ(k	SY	−β −k )×
×		eiφ +δ(k		−β		−k	)δ(k		−β −k )×
	kSZ + βZ −kiZ		SX			iX			Y iY
	kSZ + βZ −kiZ
	sin( k SZ - k iZ - β iZ )			ù
´	sin( k SZ - k iZ - β iZ )		e − iφ ú			(18.15)
	k SZ - k iZ - β Z )			û

Поскольку для x и y ограничений нет, то интегрирование даёт

раничена от 0 до d , поэтому получаем			r
функцию вида:	sin x	.	ki
	x		α
Условие Брэгга (18.14) показывает				в
резонансную связь направления рассея-			ks−
ния, направление падения и отражения

решётки рис. 18.4. Оба знака (±) допус-			а)
тимы, так как	β – всегда направлен

д-функцию, но ось z ог-

ks+

перпендикулярно плоскостям n = const.	Рис. 18.4.	Условие Брэгга для случаев: (а) -
Оба случая соответствуют падению на	Рис. 18.4.	Условие Брэгга для случаев: (а) -
Оба случая соответствуют падению на		когда используется знак минус; (б)
решётку волны сверху или снизу.		- когда используется знак плюс.

Характерная черта дифракции Брэгга – рассеяние происходит как отражение света от диэлектрических плоскостей.

Однако резонансное рассеяние происходит не под всеми углами, а только в случае если

волна падает на решётку под углом

sin

(из условия равнобедренного

2ki

2Λ

треугольника).

sin

– условие Брэгга.

2Λ

Точная теория Брэгга показывает, что имеются дополнительные порядки дифракции:

k S = ki ± m β

, где m – порядок дифракции ( m = 1,2,...). (18.16)

Теория дифракции Брэгга применима к рассеянию света звуковыми волнами в жидко- стях и твердых телах. Этот процесс рассеяния известен как рассеяние Бриллюэна. Па- дающий световой фотон испускает (поглощает) фонон и излучает оставшуюся энергию в виде рассеянного фотона. Рассеяние Бриллюэна – фотон – фононное взаимодействие:

ω Sm = ωi ± mΩ β

(18.17)

, где ωsm , ωi , Ωβ - круговые частоты рассеянного фотона, падающего фотона и фо-

нона. С точки зрения квантовой механики условие (18.17) является следствием сохра- нения энергии частиц, участвующих в процессе.

Вопрос № 51

Лазерные пучки

Лазерный пучок имеет выделенное направление распространения, скажем вдоль оси z.

Поэтому поле этого пучка будет не симметрично относительно замены координат

x → y ,	y → z , z → x . С другой стороны, Ñ2 º	¶2	+	¶2	+	¶2	– оператор, симметричный
		¶x2		¶y2		¶z2

относительно такой замены. Следовательно, уравнение (19.1) не имеет простого (эле- ментарного) решения для полей лазерных пучков. Обычными способами это уравнение можно решить для гауссова пучка, только как сумму элементарных полей, скажем, пло- ских волн. Тем не менее, когерентное лазерное излучение имеет состояния поля, вполне напоминающее состояние атома водорода, которое описывается простыми волновыми функциями. Попробуем такое поле описать приближёнными методами.

Запишем поле в виде: E = ψ (r , z )e i (ω t − kz )

¶2 E = -ω 2 E

¶t 2


¶	2	E		æ	2			¶ψ		ö	i(ωt − kz )
¶		E		ç	¶ ψ		- 2ik	¶ψ	2	÷	i(ωt − kz )
¶z			2	= ç	¶z	2	- 2ik	¶z	- k ψ ÷e
¶z				è	¶z			¶z		ø

(19.2)

(19.3)

(19.4)

Предположим, что:		∂ 2ψ	<<			∂ ψ		(19.5)
					k
		∂ z 2				∂ z

Пренебрежём второй производной в уравнении (19.4). Тогда волновое уравнение
запишется в виде:	Ñ ψ = 2ki			¶ψ			(19.6)
				¶z

–параболическое волновое уравнение в параксиальном приближении.

Спомощью этого уравнения описывается весь спектр мод излучения лазеров - пучки Лагерра-Гаусса и пучки Эрмита-Гаусса.

(Дать классификацию пучков).

Остановимся на изучении свойств поля только одного такого пучка, поле которого в

поперечном сечении описывается функцией гаусса:ψ » exp(-αr2 ) . Pz , Pr , Pц – пу-

чок имеет все компоненты вектора					P	,если Pц	¹ 0 – оптический вихрь.
			Дифракция гауссова пучка.
Предположим, что в плоскости z = 0 амплитуда
пучка описывается выражением:							w0
ì	x2 + y2 ü
ψ (x, y,0) = Aexpí-				ý	(19.7)
	w	2

î				þ			Z
	0
Параметр w0 – половина ширины пучка, изме-							z = 0
ренная, когда его амплитуда уменьшается в е-

	раз по сравнению с амплитудой на оси.	Рис. 19.1. Лазерный гауссов пучок.
	Чтобы узнать распределение поля в плоскости с

	произвольной координатой z надо записать дифракционный интеграл:

– длина Рэлея.

∞

−x2 +y2

′ ′ ′

ikz

òò

w02

[(x

- x)

ψ(x, y ,z ) =

expí-i

+ (y - y) ]ýdxdy (19.8)

λz

−∞

Поскольку в двойном интеграле по х и по у, каждый из интегралов одинаков, достаточ- но рассмотреть только один интеграл, скажем, по х:

¥	-	x2	æ	k	(x¢-x)2	ö
			-iç			÷


Ix = òe w02 e			è 2z			ødx	(19.9)

-¥

Это табличный интеграл, если представить показатель экспоненты в виде −(ax+b)2 +c и

ввести новую переменную u = ax + b , то Ix перепишется в виде:

2kzx 2

(kw 0 x¢)2

2 z

I x

= π

- i

exp í

ý exp í

(19.10)

4 z

)

4 z

+ ikw

2 z

+ ikw 02

+ (kw0

Второй интеграл аналогичен, если произвести замену x′ → y′ , тогда волновая функция запишется в виде:

¢ ¢ ¢

kr2

−ikz

r2 ü

ψ(x , y ,z ) =ψ(r,z) = A

expí-i

-arctg

ý´e

´ expí-

(19.11)

w(z)

2R(z)

(z)þ

Можно показать что (19.11) является точ- ным решением уравнения (19.6), где

w2 (z) = w02 (1+ z2 / z02 ) ,

R(z) =	z2 + z02	, r2 = x¢2 + y¢2	(19.12)
	z

= kw2

z0 0

Найдём угол расходимости пучка в точках, удалённых от оси z = 0, как

θ = lim	ω(z)	(19.13)
z→∞	z

R(z)	X

	nz

		θ
		Z

	2w(z)
	z = 0

Рис.19.2. Гауссовпучоквнутрилазерного резонатора.

z02

Тогда:θ = lim

w 1 + z2 / z 2

= w0 / z0 =

= = lim

kw0 /2

z → ∞

z→∞

;Или: θ =

, где R(z) – радиус кривизны волнового фронта.

kw0

2π

πw

(19.14)

η(z) = arctg z / z0 – фаза Гуи. (19.15)

w2 (z) = r2

= w02 (1+ z2 / z02 )

x2 + y2 − (z2 / z02 )w02 = w02

(19.16)

Форма пучка имеет вид однополостного гиперболоида вращения.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.08.20192.3 Mб42Laboratornaya_rabota_13.doc
#
27.08.2019946.69 Кб9Laboratornaya_rabota_7.doc
#
27.08.2019196.61 Кб7Laboratornaya_rabota__12.doc
#
01.07.20252.71 Mб0Laboratornye.docx
#
23.08.201962.99 Кб6landshafty.docx
#
20.03.20151.21 Mб16Lections_V.pdf
#
01.04.2025260.61 Кб0Lectures1+2.doc
#
20.03.2015735.23 Кб130Lectures_Оn_Lexicology.pdf
#
09.11.201965.54 Кб2Lecture_1.doc
#
09.11.2019129.54 Кб4Lecture_3.doc
#
09.11.2019158.21 Кб1Lecture_4.doc