Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lections_V

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.03.2015

Размер:

1.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

S2 = S0 cos 2χ sin 2ψ

S3 = S0 sin 2χ

Геометрическое представление параметров Стокса на сфере Пуанкаре для состояния поляризации монохро- матической волны рис. 10.2. Каждому возможному со-

стоянию поляризации плоской монохроматической волны интенсивностью S0 соответствует одна точка на сфере и наоборот. Точка на сфере задаёт состояние по- ляризации света.

Угол χ может быть положителеным или отрицате- леным в зависимости от того, имеем ли мы дело с пра- вой или левой поляризацией. На сфере Пуанкаре пра- вая поляризация представляется точками, лежащими выше экваториальной плоскости (XY), а левая – точка- ми, лежащими ниже этой плоскости. На экваторе лежат точки, соответствующие линейному состоянию поля- ризации. Правая круговая поляризация представляется точкой северного полюса, а левая – точкой южного по- люса. При обходе вдоль экватора, ориентация линейно- го состояния поляризации меняется, поворачиваясь дважды вокруг своей оси.

Вопрос№31

Среднее значение оператора физической величины. Матрица Паули.

В оптике мы совершаем действие над световым пучком и измеряем результат этого действия – среднее значение оператора физической величины. Это действие переводит функцию состояния пучка из состояния ψ1 в состояние ψ2.

Среднее значение физической величины:

	1	T
.	1	òψ (t)dt =< ψ >			Для измеряемых величин:
.	T	òψ (t)dt =< ψ >			Для измеряемых величин:
	T	0
		1		òT ψψ ∙ dt =< \|ψ \|2 > .
			T	òT ψψ ∙ dt =< \|ψ \|2 > .
			T	0
				r	æ E	ö
Введём вектор – столбец ψ =					ç	x ÷	= \|ψ >	– кэт – вектор и сопряжённый к не-
Введём вектор – столбец ψ =					ç	÷	= \|ψ >	– кэт – вектор и сопряжённый к не-
					è Ey ø

му:ψ * =< ψ | – бра-вектор, где bracket – скобка < >. Тогда среднее значение физиче- ской величины: <|ψ |2 >=< ψ |ψ > . Или:

x ÷

òψ|

ò (E x E y )ç

÷dt

E y ø

Тогда параметр Стокса S0 запишется:

)

æE x ö

òdt | S0 = E x Ex + E y E y = (E x E y ) у0

èE y ø

	)	0	æ1		0	ö
где матрица σ0 - матрица Паули:	σ	0	= ç			÷
где матрица σ0 - матрица Паули:			ç	0	1	÷ .
			è	0	1	ø

				æ1		0öæE x	ö
(E		E		)ç		ç	÷
(E		E		)ç	0	÷	÷ , (11.1)
	x		y	ç	0	1÷çE y	÷ , (11.1)
				è		ø	ø
						è	ø

(11.2)

)

Тогда нулевой параметр Стокса представляется в виде: S0 =<S0 >=<ψ |σ0 |ψ >.

(11.3)

Аналогично можно представить S1:

				* *	æ	1	0 öæE	ö
				* *	ç		÷ç	y ÷	> , (11.4)
S1 =< E x E x - E y E y >=< (E x E y )ç						0	÷ç	÷	> , (11.4)
					è	0	-1øèE x ø
	)	æ	1	0	ö
где σ1 матрица Паули: σ1		ç			÷				(11.5)
где σ1 матрица Паули: σ1		=ç	0		÷				(11.5)
		è	0	-1ø

Тогда параметр Стокса S1 можно представить через матрицу Паули:

S	)		\|ψ >		(11.6) Аналогично запишем выражение для S :
S	=< ψ \| σ	1	\|ψ >		(11.6) Аналогично запишем выражение для S :
1		1						E x ö	2
	∙		∙		*	æ 0	1 ö æ	E x ö	)
S 2	∙		∙		*	ç	÷ ç	÷	>=< ψ \| σ 2 \|ψ > ,
S 2	=< E x E y	+ E x		E y >=< (E x		E y )ç	÷ ç	÷	>=< ψ \| σ 2 \|ψ > ,
						è 1	0 ø è	E y ø

где σ :	)	æ0		1	ö	(11.7)	Для параметра Стокса S :
где σ :	σ 2	= ç			÷ .	(11.7)	Для параметра Стокса S :
2		ç	0	0	÷		3
		è	0	0	ø

		æ 0	- i ö		)
S3 = i < Ex	E y - Ex E y	ç		÷	ψ >=< ψ \| σ 3 \|ψ > ,
S3 = i < Ex	E y - Ex E y	>=< ψ ç	0	÷	ψ >=< ψ \| σ 3 \|ψ > ,
		è i	0	ø

	)		æ0	- iö
где σ3 – матрица Паули:	σ	3	= ç		÷	(11.8)
где σ3 – матрица Паули:		3	ç	0	÷	(11.8)
			è i	0	ø

)	)	)	)
σ	0 ,σ	1,σ	2 ,σ 3 – матрицы Паули, введённые Вольфгангом Паули в 30-х годах для
описания спина электрона. S0, S1, S2, S3 - являются средними значениями оператора
)	(i = 0,1,2,3). В квантовой механике средние значения оператора физической вели-
уi

чины являются физически наблюдаемые величины. Определим способ их измерения.

Матрица плотности

E y

ф а з о в а я

E A

п л а с т и н к а с ε

E y

E x

а н а л и

з а то р

Р и с . 1 1 .1 . О р и е н та ц и я п о л я р и з а то р а А о т н о с и те л ь н о к о м п о н е н т п о л я Е .

Рассмотрим квазимонохроматическую волну со средней частотой ω , распространяю- щуюся в положительном направлении оси z:

E x (t ) = a1 (t ) exp{ i(φ1 (t ) − ω t )}
E y (t ) = a2 (t ) exp{ i(φ 2 (t ) − ω t )} .	(11.9)

Предположим, что мы можем плавно изменять разность фаз между Ex и Ey компонента- ми поля. Пусть в момент измерения она равна ε. Пусть в систему введена поляризатор А, ось пропускания которого ориентирована под углом υ. Найдём интенсивность света:

EA (t, х, е) = E x cos х + E y sin х eiе .	(11.10)
I(υ,ε ) =< E(t,υ,ε ) E* (t,υ,ε ) >=
=< Ex Ex* > cos2 υ+ < Ey Ey* > sin2 υ+ < Ex Ey* > e−iε cosυ sinυ
+ < Ex∙ Ey > eiε cosυ sinυ	(11.11)

Введем обозначения:

Jxx =< Ex Ex >, Jyy =< Ey Ey >, Jxy =< Ex Ey >, Jyx =< Ex Ey > .

Тогда матрица J примет вид:

		æ		2
) æJxx	Jxy ö	ç	< a1		>
ç	÷			−i(φ1		−ι2 )
J = ç	÷ = ç		< a1a2e	−i(φ1		−ι2 )	>
èJ yx	Jyy ø	è	< a1a2e				>
(11.12)

Матрица плотности:

Sp J = J xx + J yy =< Ex E*x >< E y E*y >= S0 .

< a1a2e	i(φ1 −φ2 )		ö
			>÷
	2
		>	÷
< a2			ø .

(11.13)

Обозначим комплексную степень корреляции Ex и Ey компонент:

мxy	=\| мxy \| eiв xy =	Jxy

		Jxx J yy ,	(11.14)
		Jxx J yy ,	(11.14)
где Jxy – функция корреляции, \| мxy \| – модуль степени когерентности.
Очевидно, что эрмитова матрица плотности:
Jxy	= J*yx .		(11.15)

Интенсивность всегда действительная величина, поэтому:

det(J) = Jxx Jxy - Jxy Jyx ³ 0

Тогда согласно условию (11.15), уравнение (11.2) запишется в виде:

I(х,е) = Jxx cos2 х + J yx sin 2 х + 2cos хsin хRe(Jxy e−iе ) =

= Jxx cos2 х + J yx sin 2 х + Jxx J yy | мxy | sin 2хcos(в xy - е).(11.16)

Посмотрим, какие измерения необходимо провести, для того чтобы определить элементы матрицы плотности?

Пусть при:

х = 0; е = 0, I(0,0) = Jxx ;

х = 900 ,е = 0, I(900 ,0) = J yy ;

I(45,0) =

(J xx

+ J yy ) +

J xy +

J yx ;

I(135,0) =

+ J

) −

−

I(45,

) =

+ J

) −

I(145,

) =

+ J

) +

−

Тогда, исходя из приведенных формул, компоненты матрицы плотности можно предста- вить в виде:

J xy =

{I(45,0)

- I(135,0)} +

íI(45,

) - I(135,

)ý

Jyx = Jxy .

Учитывая выражения для параметров Стокса:

S1 = Jxx − Jyy ,

S2 = Jxy + J yx ,

S3 = i(J yx − Jxy ) .

Параметры Стокса можно выразить через компоненты матрицы плотности:

ìS	0	= J(0,0) + J(90 ,0)
ï	1	= J(0,0) - J(90,0)
ïS
ï		= J(45,0) - J(135 ,0)
íS2						(11.17)
ï
		æ	р ö		æ	р ö
ïS
	3	= Jç 45,		÷	- Jç135 ,		÷

ï		è	2 ø		è	2 ø
î

Физический смысл параметров Стокса:

S0 – определяет интенсивность света, S1 – характеризует преобладание компонен- ты поля вдоль оси x над компонентой вдоль оси y, и т.д.

Вопрос№29

Частично поляризованный свет.

Покажем, что любую частично поляризованную волну можно рассматривать как сумму полностью поляризованных и полностью неполяризованных волн, независящих друг от друга. Для этого необходимо показать, что матрицу когерентности можно пред- ставить в виде: J = J(H) + J(P) , (11.18)

где индексы обозначают Н и Р. – неполяризованную и поляризованную волны. Очевидно, что для неполяризованного света степень корреляции | мxy |= 0 и из (11.16)

имеем: I = Jxx + Jyy

(11.19)

Т.е. матрица J для неполяризованного света будет характеризоваться только диагональ- ными элементами:

)	æA	0 ö		) (P)	æ	B	Dö
J	(H) = ç	÷	(11.20)	J	= ç		÷	(11.21)
J	ç	÷ ,	(11.20)		ç		÷ ,	(11.21)
	è 0	Aø			è D		C ø
причём A ³ 0, B ³ 0,			C ³ 0,	BC - DD = 0 .				(11.22)
Очевидно, что: A+B = Jxx, A+C = Jyy,						D = Jxy, D = Jyx		.(11.23)

В самом деле, для полностью поляризованного света:

æa

eiд

J =

−iд

откуда: det J

= 0.b

A,B,C > 0.

÷ ,

èa

a2a 2 ø

Подставим (11.23) в (11.22): (J xx − A)(J yy − A) − J xy J yx

= 0 .

(11.24)

Т.о. А является характеристическим корнем матрицы плотности J :

J xx − λ

Jxy

= 0;

А2 − (Jxx + J yy ) + det J = 0

J yx

Jyy − λ

где характеристический корень А:

A =

1 (J xx + J yy ) ±

(J xx + J yy )2

− 4det J

(11.25)

Очевидно, что det J ≤ J xx J yy <

(J xx + J yy )2

. Корни из (11.25) действительные и

неотрицательные.Рассмотрим сначала решение со знаком (-):

ì	1	(Jxx + Jyy ) -		1			(Jxx + Jyy )		2	)
ïA =	2	(Jxx + Jyy ) -		2			(Jxx + Jyy )			- 4det J
ï	2			2
ï	1			1						)
ï	1			1				2		)
ïB =		(Jxx - Jyy )	+			(Jxx + J yy )				- 4det J
ïB =	2	(Jxx - Jyy )	+	2		(Jxx + J yy )				- 4det J
í	2			2
ïD = Jxy ;D* = Jyx
ï	1			1						)
ï	1	(Jyy - Jxx )	+	1		(Jxx + Jyy )		2		)
ïC =	2	(Jyy - Jxx )	+	2		(Jxx + Jyy )				- 4det J
î	2			2
Как видно из (11.25) В и С также неотрицательны.
В, С > 0.
		)
		)			(Jxx - Jyy )2					+ 4Jxy Jyx
(Jxx + Jyy )2 - 4det J			=		(Jxx - Jyy )2					+ 4Jxy Jyx

(11.26)

(11.27)

³| Jxx - Jyy | .

Второй корень со знаком (+) даёт отрицательные значения В и С и поэтому не имеет фи- зического смысла.

Полная интенсивность света:

Iполн = SpJ = J xx + J yy .

Полная интенсивность поляризованной части света:

I(P)

)

(P) = B

+ C =

(Jxx + J yy )2

)

= SpJ

- 4det J .

Степень поляризации света:

( P )

)

P =

1 −

det J

)

2 .

( ε )

( Sp J )

Итак степень поляризации:

P =

S12 + S22 + S32

(11.31)

tg 2ψ =

sin 2χ =

tg χ =

S 2 + S 2

+ S2 ,

(11.33)

(11.28)

(11.29)

(11.30)

(11.32)

Вопрос № 32

Тензор диэлектрической проницаемости оптически анизотропной среды

Зачем нужно измерять поляризацию? Чтобы затем определять характеристики вещест- ва. Цель темы: определить связь поляризации волны, прошедшей через вещество и свойств самого вещества. Определим эту связь.

Тензор диэлектрической проницаемости

Среда, физические свойства которой зависят от направления, называется анизо- тропной. Анизотропия среды может быть обусловлена как анизотропией молекул, со- ставляющих ее, так и характером их взаимного расположения.

Известно, что для изотропной среды вектор электрической индукции и вектор на- пряженности электрического поля совпадают по направлению и связаны соотношени-

ем: D = еE ,

где ε - скалярная величина. Выражение сохраняет силу и для анизотропных сред с той лишь разницей, что для анизотропных сред диэлектрическая проницаемость характери-

)	(12.1)
зуется тензором диэлектрической проницаемости. D = е E ,

	æ	еxx	еxy
)	ç
е = çеyx			еyy
	ç	еzx	еzy
	è

ö
еxz ÷
еyz ÷
÷ .	(12.2)
еzz ø

Это означает, что каждая составляющая вектора электрической индукции выражается через три составляющие вектора электрического поля:

ìïDx = еxx Ex + еxy Ey + еxz Ez íDy = еyx Ex + еyy Ey + еyz Ez ïîDz = еzx Ex + еzy Ey + еzz Ez

Выражение (12.3) можно переписать в виде:

Di = еij E j

(12.3)

(12.4)

Соотношение между векторами Е и D остается линейным и в анизотропных сре- дах, в результате чего должен оставаться справедливым принцип суперпозиции в таких средах.

Формально можно так ориентировать оси лабораторных систем координат, что они совпадут с главными направлениями тензора. Физически это значит, что какая по- ляризация волны падает на кристалл, такая и остаётся после него. Поле с такой поляри- зацией называют собственной модой. Обычно в кристалле таких направлений три. В

общем случае вдоль этих направлений свет распространяется с заданной скоростью

v1 ¹ v2 ¹ v3 . Эти направления называют главными диэлектрическими осями кри- сталла, а εi – главными значениями диэлектрической проницаемости:

Dx =еxx Ex , Dy =еyyEy, Dz =еzzEz .

(12.5)

Такая ситуация накладывает требования на симметрию элементов тензора е€:

еxy = еyx , еxz

Из уравнения (12.3) сле- дует, что направления E

и D в кристалле раз- личны. Система (12.5) означает, что тензор ди- электрической прони-

цаемости приведен к виду:

	æ	е	x	0	0	ö
еj	ç			еy	0	÷
	= ç	0				÷
	ç	0		0		÷ .
	è				еz ø

(12.6)

Можно легко убедиться в неколлинеарности векторов E и D в анизо- тропных средах рис. 12.1, где в общем случае

ex ¹ ey ¹ ez.

= еzx ,	еyz	= еzy .
	Z
		εz Ez
			D
		Ez	E
			E
			Ex	εx Ex
	Ey			X
Y	εy Ey

Рис. 12 .1 . Ориентац ии эле к трического

век тора и век тора эле ктрической индукци и в анизо тропны х среда х.

Что физически означает поворот тензора ) в пространстве? Относительно, какой

физически заданной величины (вектора) осуществляется вращение осей тензора? На эти вопросы отвечает следующий параграф.

12.2. Эллипсоид нормалей и лучевая поверхность.

Фазовая скорость и скорость переноса энергии.

Поверхность, до которой в данный момент времени дошло световое колебание называется волновой поверхностью.

А	А

	N			N
	N
О	S	О		N
	Р

	В		Р		S
	В				S
а)		б)		В

Рис. 12.2. Распространение монохроматической волны в изотропной (а) и анизотропной (б) средах.

В изотропной среде волновая поверхность сферическая из-за независимости скорости

распространения света от направления. Поэтому нормаль N к волновой поверхности

совпадает с направлением распространения световой энергии S (рис. 12.2, а). В анизо-

тропной среде распространение света зависит от направления, в результате чего волно-

вая поверхность отличается от сферической и поэтому нормаль к ней и луч не совпада-

ют (рис. 12.2, б).

Волновой фронт в кристалле определяет вектор смещения D . В общем случае D

имеет три первые друг другу компоненты Dx, Dy, Dz (вдоль главных направлений)

следовательно, имеется три волновых фронта, не совпадающих между собой.

∂D

Для плоской монохроматической волны: Ñ ´ H = -ikH ;

= −iωD - вектор электрической индукции имеет тот же период, что и Е.

∂t

Если

N , то из уравнений Максвелла:

D = −

× H ) ;

H =

(N × E)

(12.7)

Дополним вектором Пойтинга, вдоль которого распространяется энергия:

P =

(E × H )

(12.8)

4π

Итак: H E, D H, D N, P H, P E, N H .

Векторы D и H

900

Рис. 12.3. Ориентации векторов полей в анизотропной среде.

взаимноперпендикулярны. Кроме того, они перпендикулярны к поверхности волновой нормали N , но в общем случае они не ортогональны к вектору E . Векторы

D, E, N, S лежат в одной плоскости, перпендикулярно к вектору H .

Задавая направление вектора S (или D ) с точностью до 1800, однозначно опре- деляются направления всех остальных векторов.

Очевидно, что скорость распространения света зависит от направления распро- странения луча и его поляризации.

Кроме того, следует различать скорость распространения вдоль луча vs и скорость

вдоль нормали vn. Они связаны как: vN = vs cosα

(12.9)

Итак, если w – плотность энергии волны, то в параксиальном случае:| S |= vS w .

						v	=	c
(12.10)	Очевидно, что фазовая скорость направлена вдоль N :					v	=	n . (12.11)
(12.10)	Очевидно, что фазовая скорость направлена вдоль N :					P		n . (12.11)
Лучевая скорость:		v		= \| S \|	(12.12)
Лучевая скорость:			s	w .	(12.12)
Из (12.7) следует: D = n(N × H ) .						(12.13)

Или: D = n2 (N ´ E ´ N) = n2[E - N(E × N)]

(12.14)

Спроектируем (12.14) на оси вдоль главных направлений:

ìε x Ex = n2

{Ex

- Nx

× N)}

= n2{E

- N

(E × N)}

í y

= n2

- N

(12.15)

ïε

(E × N)}

î z

Далее: (ε x - n2 )Ex = -n2 Nx (E × N) ;

Ex = n2

(E × N)

(12.16)

- nx

Тогда умножая (12.16) на Ni и складывая, имеем:

r r

Nx Ex + Ny Ey + Nz Ez = n

(E × N)

- n2

n2 - n2

ïn2

Но, (NE) = Nx Ex + Ny Ey

+ Nz Ez следовательно:

Nx2

Ny2

Nz2

(12.17)

n2 − nx2

n2 − ny2

n2 − nz2

Кроме того,

Nx2 + N y2 + Nz2

= 1.

(12.18)

Умножим (12.17) на n2 и вычтем из полученного выражения (12.18):

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.08.2019223.23 Кб13Laboratornaya_rabota_10.doc
#
27.08.20192.3 Mб23Laboratornaya_rabota_13.doc
#
27.08.2019946.69 Кб4Laboratornaya_rabota_7.doc
#
27.08.2019196.61 Кб2Laboratornaya_rabota__12.doc
#
23.08.201962.99 Кб6landshafty.docx
#
20.03.20151.21 Mб11Lections_V.pdf
#
20.03.2015735.23 Кб116Lectures_Оn_Lexicology.pdf
#
09.11.201965.54 Кб0Lecture_1.doc
#
09.11.2019129.54 Кб3Lecture_3.doc
#
09.11.2019158.21 Кб1Lecture_4.doc
#
09.11.201990.62 Кб3Lecture_5.doc