Lections_V

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Синфазность E и H полей

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.03.2015

Размер:

1.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Вопрос №10

Плотность энергии и поток энергии светового поля

Рассмотрим плоскую волну, поляризованную вдоль оси х и распространяющуюся вдоль оси z. Тогда имеем Ex (z, t) и Hy (z, t) . Запишем уравнения Максвелла:

1 ¶Ex		= -	¶H y	,	1 ∂H y		= -	¶Ex	(3.1)
c	¶t		¶z		c	¶t		¶z

Умножим первое уравнение из (3.1) на Ex , а второе уравнение из (3.1) на Hy :

¶E

¶H y ö

¶H y

¶E

+ H y

ç Ex

¶t

= - ç Ex

¶z

или

1 ¶ æ

Ex2

+ H y2 ö

= -

)

¶z

c ¶t è

Обозначим:

w = 81π (Ex2 + H y2 ) ,

где w - объёмная плотность энергии, и

(3.2)

(3.3)

S =

Ex H y

(3.4)

4π

Подставим (3.3) и (3.4) в (3.2) получим:

∂ w

∂ S

∂ t

= − ∂ z .

(3.5)

Выясним физический смысл S. Рассмотрим в пространстве объём, ограниченный прямоугольным па-

раллелепипедом (рис. 3.1), где σ – площадь сечения, Z –

высота.

свет

Проинтегрируем (3.5) по объёму V = Zσ

¶W

¶t = -σ {S (t, z) - S (t,0)} ,

(3.6)

где энергия светового поля в объеме V:

W = òwdV

(3.7)

Рис. 3.1. Объем, ограниченный прямоугольным

Изменение энергии в (3.6) для вакуума может быть вызва-

но только потоком через боковые стенки поверхности. Это

параллелепипедом.

значит, что величина S(t,z) имеет смысл потока. И так: S –

эрг

поток световой энергии: [ S ] = ê

ú .

см × с û

Для монохроматической плоской волны уравнение (3.6) имеет тривиальный смысл, т.к. потока через боковые стенки нет, то S(t, z) = S(t,0) и W = const.

Для немонохроматической волны, обязательно появляется поток через боковые стенки и ¶W ¹ 0 .

¶t

Т.о. выражение (3.5) описывает закон сохранения энергии для плоской монохроматической волны. Обобщим этот закон на случай светового поля в вакууме.

Исходим из уравнений Максвелла:

r	1	∂H		r	1	∂E		4π	r

rot E = - c		∂t ,	(3.8,а)	rot H =		∂t	+		j , (3.8,б)
					c			c

где j – плотность тока, создаваемая движением зарядов.

Умножим уравнение (3.8.а) на H , а (3.8.б) на E и вычтем полученные выражения:

æ r ¶E

4π r r r

r r

¶H

+ H

j E = E rot H - H rot E

(3.9)

¶t

Воспользуемся векторным тождеством:

div(E × H ) = H rotE − E rotH ,									(3.10)
тогда уравнение (3.9) примет вид:
	r r				r
¶w + jE = -divS						,			(3.11)
¶t
где			+ H
w =	E	2		2		r	c	r r
	E				;	S =	c	(E × H ) .	(3.12)
			8π		;	S =	4π	(E × H ) .	(3.12)
			8π				4π

S – вектор Пойтинга.

Выражение (3.11) – уравнение непрерывности. Проинтегрируем уравнение (3.11) по некоторому объё-

му V:	r r	r
¶W +	r r	r
¶W +	ò j E dV = - ò div S dV ,		(3.13)
¶t	V	V
где W – полная энергия поля в объёме V.
Представим, что электроны в объёме V имеют вид материальных точек, тогда
r	v
ò jEdV	= åeivi E ,		(3.14)
V	i

где vi – скорость движения электрона, ei – элементарный заряд. Воспользуемся теоремой Гаусса:

ò div S dV	= ò	r
ò div S dV	= ò	S e d σ ,	(3.15)
V	å
r			å – поверхность, ограничивающая объ-
en – единичный вектор нормали к элементу поверхности dу,			å – поверхность, ограничивающая объ-

ём V. Со стороны поля на заряд действует сила Fi = ei E , которая вызывает изменения энергии в системе.

v i F i =	dk i .	(3.16)
	dt

Тогда изменение кинетической энергии системы зарядов					K		=	1 m v2
Тогда изменение кинетической энергии системы зарядов						i		2 i i идёт на работу электрическо-
го поля:		r r
		r r
åeiVi			E = dK					(3.17)
	i		dt
Тогда уравнение (3.13) с учетом (3.17) перепишется в виде:
¶				r )
¶			+ K ) = - ò	r
		(W		S e d σ .				(3.18)
	¶ t	(W		S e d σ .				(3.18)
	¶ t		å

Скорость изменения полной энергии волны равна изменению кинетической энергии электронов и по- току энергии через поверхность å .

Вопрос №11

Интенсивность излучения.

)

Для действительных E и H в плоской волне вектор Пойтинга примет вид: S =

EH × s .

4π

Воспользуемся уравнением (2.15), тогда:

c 2π

r r

E × H =

E × k × E

[k E

−

E (kE )]=

k E

= Es ,

ωμ

ωμ λ

откуда для μ = 1 следует: S =

× s

(3.19)

4 π

Вектор Пойтинга можно представить в виде (3.19) только для плоской волны.

Интенсивность – поток энергии, протекающий через единичную площадку, перпендикулярную направлению волны за единицу времени, приходящейся на единицу телесного угла. Поскольку E = E(t), то:

E 2 =

E 02 ,

I = S

ò0

(3.20)

4π

8π

где Т – период световых колебаний, S - величина потока энергии излучаемого усредненного по време-

ни. Если

v =

, то (3.20) можно представить в виде:

v × w

, (3.21)

4 π

где w =

E 02

- объемная плотность энергии.

w × v

Или S =

, (3.22)

где v

= v × s .

4π

В общем случае вектора E и H светового поля могут быть комплексными величинами тогда для век-

1 c

r r

тора Пойтинга из (3.12) необходимо взять действительную часть: S =

Re(E ´ H

) . Уравне-

2 4π

c ö r

öæ

ние (3.12) представим как: S

= ç

÷ç

÷{E

´ H

´ H} (3.23)

øè 4π ø

Вопрос № 6

Поперечность световых волн.

Световое поле существенно отличается от известных в фи- зике других волновых полей, например, акустических. Све- товые волны – поперечные.

Это значит, что в любой малой области поля можно найти такое направление распространения k , к которому колеба- ния E и H будут перпендикулярны: k E H . Рассмотрим это свойство на примере плоской волны.

Комплексное представление световой волны.

E 0	=	r
		E 0 exp {i (ω t − k r )} (2.1)
E =		r	r
	E 0 (cos( ω t − k r ) + i sin( ω t − k r ))

E	k
	H

Рис. 2.1. Поперечность световых волн.

\| E \|= (Im E)2 + (Re E)2 ,			tg φ =
.
Уравнения Максвелла в среде:
r	= 1	r	1 ∂B	,
rot H	= 1	∂D , rot E = -	1 ∂B	,
	c	∂t	c ∂t

Im E

Re E

(2.2)

Im E	r
Im E	E
	rr	Re E
	ωt − kr	Re E

Рис. 2.2.Световая волна в комплексном пространстве.

D = εE, B = μH .				∂		(2.3)
Заметим, что оператор					вектора Е действует, как умножение на iω:
				∂t
	∂
			Er = i ω E .			(2.4)
	∂	t			r

						= kx x + ky y + kz z , следовательно:
Разложим по координатам: kr

∂	→ −ik	,	∂			→ −ik			,
∂x	→ −ik	,	∂y			→ −ik			,
∂x	x		∂y					y
						)	)
						)	)
						i		j
		r				∂		∂
	rot H =					∂		∂
	rot H =				∂x			∂y
					∂x			∂y
				H x			H y

∂

∂z

)

∂

∂z H z

→ −ikz . Отсюда:

	)	)	)
	)	)	)
	i	j	k	r	r
= −i	kx	ky	kz	r	r	(2.5)
= −i	kx	ky	kz	= −i(k	× H )	(2.5)
	H x	H y	H z

Аналогично rot E = −i(k × E) . Тогда уравнения (2.2) перепишутся в виде:

r	r	ω	r	r	r	ω r		(2.6)Волновой вектор k всегда нормален к
(k	× H ) = −	c	D,	(k × E) =		c	B ,	(2.6)Волновой вектор k всегда нормален к
		c				c

поверхности волнового фронта (по крайней мере, в параксиальном приближении). По оп-

)

ределению: k =

ω r

– единичный вектор нормали, v – фазовая скорость волны. То-

где n

гда уравнения (2.6) примут вид:

)

D = −

× H ),

B =

(n × E) .

(2.7)

Из (2.7) следует свойство поперечности световой волны:

E H V || k .

Рис. 2.3. Плоская световая волна.

В среде с действительными значениями ε и μ, составляю-

щие поля: E и H – синфазны (условие выполняется в плоской волне).

Вопрос № 7

Фазовая и групповая скорость.

Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси z. Проследим за распростра- нением листов волнового фронта. Для этого надо потребовать равенства фаз:

Φ = ωt − kz = const , тогда:						d	Φ = ω - k		dz	= 0 .
						dt			dt
	dz			ω
v zΦ =		=			,		(2.8), где vzΦ - фазовая скорость (скорости распростра-
	dt			k z

нения поверхностей волновых фронтов).
В общем случае:		vxΦ	= ω , vΦy =				ω , vΦz	= ω	- световая волна не монохроматична, а со-
				kx			ky	kz

стоит из множества волн с различной частотой. Каждая из волн распространяется со своей фазовой скоростью vr Цi .

Скорость распространения квазимонохроматической волны.

Рассмотрим простейший случай. Пусть распространяются только две плоских моно- хроматических волны со слегка отличающимися частотами:

E1 = E0 cos(ω1t − k1z),

E2 = E0 cos(ω2t − k2 z) .

Результирующая волна:

E = E1 + E2

= A(cos(ω1t - k1z) + cos(ω2t - k2 z)) =

-ω

k - k

ω +ω

k + k

2E0 cosç

1 t -

z÷´ cosç

t -

z÷ .

Поскольку ω1 =ω2 + ω, k1 = k2 + k и

ω → 0, а

k → 0 , то

ω1 + ω2 »

k1 + k2

= k

и ω

» ω1 , а k » k1

(2.9)

(2.10)

Из уравнения (2.10) находим:

E = 2 E 0	æ	ω	t -
	cos ç
	cos ç	2
	è	2

k	ö
	z ÷ cos( ω	1t - k1 z )	(2.11)
2	z ÷ cos( ω	1t - k1 z )	(2.11)
2	ø

	Фактически для близких частот ω1, ω2 и постоянных распространения k1 и k2 ампли-
туда результирующего колебания будет медленно изменяться. Обычно в эксперименте ре-
гистрируется не сами быстрые осцилляции, а медленные изменения амплитуды. Потому
удобно говорить о скорости распространения огибающей. Тогда:
	G( f , z) =	ω t −	k	z = const .
		2	2	d	ω	k dz
				d	ω	k dz
Скорость огибающей двух синусоид: dt G( f , z) = 0					= 2 −	2 dt .
Если	ω → 0 , то: vгр		=	ω (2.12)	E	( гр )	огибающая
				k	E	v z	огибающая
где vгр – групповая скорость (скорость волново-
го пакета).							z
						t -const	z
						t -const
					Рис. 2.4. Наложение дву х си нусоид близко го
						периода (биения).

Связь между групповой и фазовой скоростью.

Будем исходить из уравнения (2.12) с учетом:

k =

, ω = k × vΦ , выражение для групповой

скорости перепишется:

vΦ

2 π

k ) = v

+ k

dvΦ

, но т.к. k =

2π

dk = −

d λ ,

гр

следовательно:	v	гр	= v	− λ	dvΦ	(2.13)

			Φ		dλ

Понятие групповой скорости применимо только для области с нормальной дисперсией, по- этому vгр ≤ c. Формула Релея (2.13) связывает фазовую и групповую скорости. Из (2.13) со- гласно специальной теории относительности:

vгр ≤ c

но если	dv ф	< 0 , то vгр > vф.
	d λ

Вопрос № 8

Неоднородные волны. Показатель преломления.

По определению волновое число есть k = ωv . Обратимся к уравнениям Максвелла для плоской волны:

ωε

ωμ

k × H

= −

E ,

или

ωε

× (k

× E))

= −

ωμ

(2.14)

(2.15)

(2.16)

т.к. (a × b

× c) ≡ b (ac) −

(ab ) и k E , т.е. (Ek) = 0 , то из (2.16) находим:

k 2 =

εμ

(2.17)

Отсюда следует, что v =

, где n =

– показатель преломления,

εμ

n – показывает,

εμ

во сколько раз скорость света превышает фазовую скорость волны.

n =

(2.18)

vΦ

Предположим, что k – компонента вектора: k = k′ − ik′′ ,(2.19)

где k′ и k′′ – вещественные числа. Такие волны называются неоднородными. Рассмотрим плоскую неоднородную волну:

	r	′′r	′

E = E0ei (ωt−kr ) = E0e− k
		r ei(ωt−k r ) , (2.20)

− r′′r

где E0e k r - амплитуда этой волны. Ам- плитуда экспоненциально убывает в направ-

лении вектора k′′ . Тогда: ′′r = – k r const

поверхности равных амплитуд, а

ω − ′r = const – поверхности равных фаз. r

Если ε – действительная величина, то эти поверхности ортогональны между собой. Докажем это.

Подставим (2.19) в (2.17):

r				r				2
(k	′2		− ik		′′2 ) =		ω2 ε ,
							c
r			r				r	r		2
k′2		− k		′′2		− 2i(k		′k	′′) =	ω2 ε .
										c

равные амплитуды

равные фазы

Рис. 2.5. Амплитуды и фазы неоднородной волны.

r r ω2

Приравняем действительные и мнимые части: k′2 − k′′2 = c2 ε , следовательно:

Рассмотрим распространение плоской волны вдоль оси z.

Пусть E y		= E(z, t) ,	Hx = H (z,t) и		Ex	= Ez = 0 , H y
Из первых двух уравнений Максвелла следует, что
	∂Ey	μ ∂Hx		∂ H	ε ∂ E y
		= − c ∂t	,	∂ z x = −			;
	∂z
					c	∂ t

Решение уравнений (2.23) имеет вид:

Ey (z,t) = E0 y exp(i[ωt − kz]) + E0 y exp(i[ωt + kz]) .

(2.21)

= Hz = 0 .(2.22)

(2.23)

(2.24)

Выберем волну, распространяющуюся в положительном направлении вдоль оси z:

Ey (z,t) = E0 y exp{i(ωt − kz)} .

(2.25)

∂Ey

= −iE

k exp{i(ωt − kz)} = −ikE

∂z

0 y

Тогда: ∂E

= iωEy

∂t

∂Ey

k ∂Ey

откуда:

= −

∂z

ω ∂t

с учетом

= v и v =

, следует:

εμ

	∂Ey			∂Ey
		= −	εμ		(2.26)
	∂z		c	∂t

Подставим (2.26) в первое уравнение из (2.23) получим:

εμ

∂Ey

μ ∂H

c ∂tx ,

∂t

∂Ey

∂Hx

или

(2.27)

∂t

Интегрируя по t (2.27) получим уравнение:

Ey =

Hx + const

(2.28)

Если ε и μ – действительные постоянные величины, то Ey

и Hx синфазны во времени и в

пространстве. Отметим, что вывод уравнения (2.28) имеет место только для плоских волн, распространяющихся в изотропной, однородной не магнитной, не поглощающейся среде!

Вопрос №10

Плотность энергии и поток энергии светового поля

1 ∂E x		= −	∂H y	,	1 ∂H y		= −	∂E x	(3.1)
c	∂t		∂z		c	∂t		∂z

Умножим первое уравнение из (3.1) на Ex , а второе уравнение из (3.1) на Hy :

¶E

¶H y ö

¶H y

¶E

+ H y

ç Ex

¶t

= -ç Ex

¶z

или

1 ¶

Ex2 + H y2 ö

= -

)

¶z

c ¶t è

Обозначим:

w =

(Ex2 + H y2 ) ,

8π

где w - объёмная плотность энергии, и

S = 4cπ Ex H y

Подставим (3.3) и (3.4) в (3.2) получим:

∂ w	= −	∂ S
∂ t	= −	∂ z .

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

Выясним физический смысл S. Рассмотрим в пространстве объём, ограниченный прямо-
угольным параллелепипедом (рис. 3.1), где σ –					x
угольным параллелепипедом (рис. 3.1), где σ –
площадь сечения, Z – высота.		свет
площадь сечения, Z – высота.		свет
Проинтегрируем (3.5) по объёму V = Zу :
Проинтегрируем (3.5) по объёму V = Zу :
¶W = -σ {S (t, z) - S (t,0)} ,	(3.6)					z
¶W = -σ {S (t, z) - S (t,0)} ,	(3.6)
¶t						у
¶t
где энергия светового поля в объеме V:


W = òwdV	(3.7)		y		Z
W = òwdV	(3.7)		y
V		Рис. 3.1. Объем, ограниченный прямоугольным
Изменение энергии в (3.6) для вакуума может				параллелепипедом.
быть вызвано только потоком через боковые

стенки поверхности. Это значит, что величина S(t,z) имеет смысл потока. И так: S – поток

световой энергии: [ S ] =	é	эрг ù
	ê		ú .

	ë	см × с û

Для немонохроматической волны, обязательно появляется поток через боковые стенки и

¶W ¹ 0 . ¶t

Т.о. выражение (3.5) описывает закон сохранения энергии для плоской монохроматиче- ской волны. Обобщим этот закон на случай светового поля в вакууме.

Исходим из уравнений Максвелла:

r	1	∂H			r	1	¶E		4π	r

rot E = - c ∂t			,	(3.8,а)	rot H =		¶t	+		j	, (3.8,б)
						c			c

где j – плотность тока, создаваемая движением зарядов.

Умножим уравнение (3.8.а) на H , а (3.8.б) на E и вычтем полученные выражения:

1	æ r	¶E	r ¶H ö				4π r r r r r r
	ç		+ H		÷	+		jE = E rotH - H rotE

c	ç E	¶t		¶t	÷		c
	è				ø

Воспользуемся векторным тождеством:

div(E × H ) = H rotE − E rotH ,

тогда уравнение (3.9) примет вид:
¶w	r r	r	(3.11)
¶t	+ jE = -divS ,

где

(3.9)

(3.10)

w =	E2	+ H 2		r		c	r r
			;	S	=		(E × H ) .	(3.12)
		8π	;	S	=	4π	(E × H ) .	(3.12)
		8π				4π

S – вектор Пойтинга.

Выражение (3.11) – уравнение непрерывности. Проинтегрируем уравнение (3.11) по неко-

торому объёму V:			r
¶W +	r r		r	(3.13)
¶W +	ò j E dV	= - ò div S dV ,		(3.13)
¶t	V		V
где W – полная энергия поля в объёме V.
Представим, что электроны в объёме V имеют вид материальных точек, тогда
r		v
ò jEdV	= åeivi E ,			(3.14)
V	i

где vi – скорость движения электрона, ei – элементарный заряд. Воспользуемся теоре-

мой Гаусса:						r
	ò div S dV				= ò	r					(3.15)
	ò div S dV				= ò	S e d σ ,					(3.15)
V					å
r
en – единичный вектор нормали к элементу поверхности dσ, å – поверхность, ограничи-
вающая объём V. Со стороны поля на заряд действует сила Fi										= ei E , которая вызывает
изменения энергии в системе.
v i F i			=	dk	i .					(3.16)
				dt						1 m v2
Тогда изменение кинетической энергии системы зарядов							K		=	1 m v2	идёт на работу
Тогда изменение кинетической энергии системы зарядов								i		2 i i	идёт на работу
электрического поля:
		r r
åeiVi			E = dK							(3.17)
	i			dt
Тогда уравнение (3.13) с учетом (3.17) перепишется в виде:
¶						r )
¶						r
		(W	+	K ) =		- ò S e d σ .					(3.18)
	¶ t	(W	+	K ) =		- ò S e d σ .					(3.18)
	¶ t					å

Скорость изменения полной энергии волны равна изменению кинетической энергии элек- тронов и потоку энергии через поверхность å .

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.08.2019223.23 Кб13Laboratornaya_rabota_10.doc
#
27.08.20192.3 Mб23Laboratornaya_rabota_13.doc
#
27.08.2019946.69 Кб4Laboratornaya_rabota_7.doc
#
27.08.2019196.61 Кб2Laboratornaya_rabota__12.doc
#
23.08.201962.99 Кб6landshafty.docx
#
20.03.20151.21 Mб11Lections_V.pdf
#
20.03.2015735.23 Кб116Lectures_Оn_Lexicology.pdf
#
09.11.201965.54 Кб0Lecture_1.doc
#
09.11.2019129.54 Кб3Lecture_3.doc
#
09.11.2019158.21 Кб1Lecture_4.doc
#
09.11.201990.62 Кб3Lecture_5.doc