Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lections_V

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.03.2015

Размер:

1.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

1) Будем считать что на всей поверхности отверстия А, за исключением участков вбли- зи края отверстия, величины U и ∂∂Un мало отличаются от тех значений, которые бы они

имели, если бы экрана с отверстием не было. 2) На поверхности В эти величины равны нулю.

Тогда на поверхности А: U = U ( i )

∂ U

∂ U ( i )

а на В: U = 0, ∂∂Un = 0 .

(14.15)

∂ n

¶U

(i )

ikr

êik -

ú cos( n, r ) .(14.16)

¶n

, где U i

Ae ikr

(n, r) n

S P

Р0

Рис.14.3 Ориентации векторов в пространстве.

Приближения (14.15) называются граничными условиями Кирхгофа и лежат в основе всей приближённой теории дифракции.

Теперь мы можем выбрать радиус сферической поверхности о очень большим, таким чтобы значения U и ∂∂Un → 0 . В выражениях (14.16) можно пренебречь членами 1r и 1s по

сравнению с k, так как k ≈ 107 м−1 , а r и S >> л . Тогда (14.14) с учётом (14.15) и (14.16) перепишется:

	iA		exp( ik (r + s))	Ç
U (P) = −		ò	rs	[cos( n, r) − cos( n, s)]dS	(14.17)
	2λ
		A

Это дифракционная формула Кирхгоффа.

Вопрос № 41

Дифракция Фраунгофера и дифракция Френеля.

Исследуем подробно интеграл (14.17). Когда элемент ds пробегает всю область интег- рирования, то расстояние r+s изменяется на очень много длин волн. Следовательно,

множитель eik (r+s) будет быстро осциллировать.		Кроме того, когда расстояние от
точки P 0	и P велики по сравнению с линейными размерами экрана, то множитель
Ç	Ç
[cos(n, r)	− cos(n,S)] изменяется по площади отверстия незначительно. Любой светя-

щийся объект за экраном можно представить как сумму точечных источников. С этим связан выбор точечного источника Р0.

		r

Р 0 ( x0 , y 0 , z0 )		r’
		Y

X
	Q ( ξ, η )	s
		s
O	δ	s ’	P ( x , y , z)
		n
			Z

Р и с . 1 4 .4 Д и ф р а к ц и я Ф р е н е л я н а о тв е р с ти и .

Если PP0 >> л , то		Ç		Ç
Если PP0 >> л , то		[cos( n, r) − cos( n,S)] ≈ 2 cos д , гдед – угол между PP0 и норма-
					1	1
лью к экрану (рис. 14.3). Тогда				r → r′, s → s' и		→		. Из уравнения (14.17) следует:
лью к экрану (рис. 14.3). Тогда				r → r′, s → s' и	rs	→	r′s'	. Из уравнения (14.17) следует:
U(P) = - iA	cos д		ò exp{ ik (r + s)}dS					(14.18)
U(P) = - iA	¢		ò exp{ ik (r + s)}dS					(14.18)
л	r s'		A

Переход из сферической системы координат в декартову, осуществляется по формулам:

= (x 0 - о)

+ (y0 - з )

+ z

r¢

2 = x2

+ y2

+ z2

ïr

(14.19)

(14.20)

+ (y - з )2 + z2

ïS2 = (x - о)2

s'2 = x2 + y2 + z2 ï

= r

¢2

- 2(x 0 о + y 0 з ) + о

(14.21)

= s'

-2(xо

+ yз ) +

+ з

Поскольку линейные размеры отверстия малы по сравнению с r′

и S′ , разложим r и S в

» r ¢ -

x0ξ + y0η +

+ η

- ...

ï r

ряд: íï

2 r ¢

r ¢

(14.22)

xξ + yη

2 + η 2

ï s

» s '-

- ...

s '

2 s '

Тогда:

U (P) = −

i cos δ

A exp( ik (s'+ r′))

ò exp{ ikf (ξ ,η )}dξdη

(14.23)

x ξ + y η

r′s'

о+ y

xξ + yη

ξ2 +η2

з)2

(xо+ yз)2

, где f (ξ,η) = −

−

− −

−

...

r′

2r′

2s'

2r′3

2s'3

(14.24)

Итак, мы свели дифракционную задачу к вычислению интеграла (14.23).

Если в уравнении (14.24) пренебречь членами, содержащими о2 , з 2

и выше, то будем

иметь дело с дифракцией Фраунгофера. Если в (14.24) учитывать квадратичные члены – дифракция Френеля.

Вообще говоря, члены высших порядков исчезают в (14.23), только при r′ → ∞ , S′ → ∞ . То есть когда источник и точка наблюдения находятся на бесконечности.

Очевидно, что вклад членов в интеграл (14.23) мал,

æ 1

(e ξ + m η )2

(eξ + mη )2

÷(ξ 2

+ η 2 ) -

<< 2π

(14.25)

r¢

S ¢

s' ø

, где

e 0 , m0

– направляющие косинусы для r ;e ,

m – направляющие косинусы для

поверхности S .

Найдём условие, при котором (14.25) имеет решения. Поскольку второй и третий

член в (14.25) значительно меньше первого, если e

, m0 , e ,

m <1, то:

| r ¢ | >>

ξ 2 + η 2

| S ¢ | >>

о 2

+ з 2

(14.26)

max

, m02 , e2 , m 2 <<

| r′ |

если:

= 0 ,

e02

max

(14.27)

(ξ

+ η

)

r¢

S¢

Условие (14.26) позволяет оценить расстояния, на которых выполняется приближение дифракции Фраунгофера. Условие (14.27) указывает на то, что дифракция Фраунгофера имеет место и тогда, когда точка наблюдения находится в плоскости, параллельной плоскости отверстия и при условии, что точка наблюдения и источник света достаточно близки к оси Z.

Вопрос № 41

Дифракция Фраунгофера плоской волны на круглом отверстии

п а д а ю	щ	а я	X
п а д а ю	щ	а я
п л о с к а я		k	э к р а н
в о л н а		k	э к р а н
в о л н а		γ
		γ
				P ( x ` , y ` , z ` )
			r	α
				α
		r		Z
		r	А	а п е р т у р а
		n	А	а п е р т у р а
			S

Р и с . 1 5 . 1 . Д и ф р а к ц и я п л о с к о й в о л н ы н а к р у г л о м о т в е р с т и и в б е с к о н е ч н о м э к р а н е .

Рассмотрим задачу, когда плоская монохроматическая волна падает на непрозрачный экран с круглым отверстием. Будем считать, что волна падает под углом γ к поверхно-

сти экрана рис. 15.1. В соответствии с выбранной геометрией чертежа: ∂∂n ≡ − ∂∂z .

								r
Выберем плоскую волну в виде:ψ = U (x, y, z)exp(iωt - ik × r ) , причем согласно геомет-
рии рисунка:	∂ψ	= −	∂ψ		= ik zψ = ikψ cos γ (15.1)
	∂n
			∂z				z − z′
Производная от r равна:				∂r		= − ∂r =		= cos α . (15.2)
				∂n
						∂z	r

Первое приближение, которое почти всегда справедливо для оптических задач, осно- вано на малости длины волны света. В большинстве задач, представляющих практиче- ский интерес точка ( x′, y′, z′), в которой вычисляется функция ψ, удалена от S – по-

верхности на много длин волн. Поэтому справедливо предположение: k >> 1r . Тогда

можно пренебречь производной от 1/r по сравнению с производной от exp(ikr) и запи- сать приближенное выражение интеграла (14.13):

	1	æ ¶ψ			¶r	ö e− ikr
ψ ( x¢, y¢, z¢) =		ç		+ ik		ψ ÷		dS	(15.3)
	4π		¶n		¶n		r
		òS è				ø

Второе приближение связано с длиной r: r = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 + (z′ − z)2 , более про-

стого выражения.

В нашем случае апертура отверстия на экране мала по сравнению с расстоянием от нее до экрана, на котором исследуется поле. Тогда удобно для величины r использовать

r ≈ z − z′ +

′

− x)

+ (y

′

− y)

+ ...

разложение в ряд Тейлора:

(15.4)

z′ − z

Подставим в уравнение (15.3) выражения из (15.1) и (15.2) получим:

ш(x ′, y′, z′) = ik

Aò

(cos г + cos б)ш(x, y, z) e − ikr

(15.5)

В этом выражении мы заменили область интегрирования S

на А, то есть интегрирова-

ние проводится только по апертуре отверстия А в экране.

Теперь для простоты предположим, что волна падает перпендикулярно к экрану, а

размер отверстия мал по сравнению с расстоянием до точки Р, тогда:

cos г = 1 и cosб ≈ 1.

В плоскости экрана переменная x, y, z ,

′

′ ′

, в

поэтому функции с переменными x , y , z

(15.5) можно вынести за знак интеграла, а под интегралом пренебречь квадратами,

x′2 , y′2 , z′2

. В знаменателе (15.3) считаем r

′

= 0 . Тогда выражение (15.5) пере-

≈ z , z

пишется в виде:

- ik

¢ 2

ê z ¢ + x

ψ ( x′, y ′, z ′) =

ψ 0 e

2 z

λ z ′

û ò

e ik ( x

x + y

y ) / z

(15.6)

Пусть экран расположен в плоскости z = 0 .

Поскольку отверстие имеет круговую симметрию, воспользуемся полярными коорди-

натами:

x′ = ρ × cos β ′;

y′ = ρ × sinβ ′, (15.7)

x = σ cos β ;

y = σsinβ .

(15.8)

Исходя из (15.7) и (15.8) имеем:

x′x + y′y + ρσ cos( β - β ′) .

Синхронизируя координаты ρ, в′ и

σ, β имеем: в ′

= 0 . Или:

x ′x + y ′y + ρσ

cos

β .

Тогда из уравнения (15.6) с учетом:

dS = 2πσ × dσ ,

Рис. 15.2. Схематическое изображение перехода к

получаем уравнение:

полярным координатам.

ψ ( x′, y′, z′) =	i	ψ 0 e− ikr0 òa σdσ	2òπ eik ( ρ / z′)σ cos β dβ
	λz′
		0	0

(15.9)

Но из математической физики известно, что функция Бесселя 1-го рода нулевого по- рядка имеет вид:

0 ( z )

2 π

e iz

cos β

(15.10)

Тогда уравнение (15.9) с учетом (15.10) примет вид:

- ikr

ò σ J

ψ ( x ¢,

y ¢, z ¢)

ψ 0 e

÷ d σ

(15.11)

λ z ¢

Известно следующее свойство функций Бесселя: ò zJ 0 ( z )dz = zJ 1 ( z )

(15.12)

, где J1(z) – функция Бесселя первого порядка (см. рис. 15.4).

ψ ( x ¢,

y ¢, z ¢)

e − ikr 0

Следовательно:

i ç

÷ψ

(15.13)

z ¢

Если смотреть из отверстия, то точка поля Р будет видна под углом α:

≈

ρ .

(15.14)

z ′

r 0

В окончательном варианте имеем:

e − ikr0

ψ ( x¢, y¢, z¢) =

ia ψ

J 1

ç 2π

α ÷

(15.15)

J1 (x) = 0 при:

x1 = 3,8317 ;

0,5

= 7,0156 ;

= 10,1735 .

Рис. 15.3. Функции Бесселя нулевого -J0 и первого -J1 порядков.

½y/y0½2 10

а)	-0,8	-0,4	0	0,4	0,8	a , раз	б)
а)							б)

Рис. 15.4. Дифракционная картина, создаваемая плоской волной, проходящей через круглое отверстие в непрозрачном экране (а). Дифракционная картина за круглым отверстием (б).

Дифракционная картина, на больших расстояниях для поля за круглым отверстием представлена на рис.15.4, а. Эта картина – решение уравнения (15.15).

Первый ноль соответствует:

x1	= 2р		a	б = 3,832			т.е. угловая ширина первого максимума:
			л

α =		3,832 λ				= 1,22		λ	(15.16)
		2π			a			2a

Дифракционная картина за круглым отверстием состоит из концентрических кругов

(рис. 15.4, б).

					Вопрос № 42
		Дифракция Фраунгофера плоской волны на щели.
В интеграле (15.6) введём обозначение:
x ′	=	p ,	y	′	= q , где р и q – направляющие косинусы. (15.17)
z ′	=	p ,	z	′	= q , где р и q – направляющие косинусы. (15.17)
z ′			z	′
Тогда (15.6) запишем в виде:
ψ ( p ) = c òò exp[ −ik ( px + qy )]dxdy .						(15.18)
		A
	Y
			2в
					X
		2а
а)					б)
Рис. 15.5. Прямоугольно отверстие (а ). Дифракционная кар тина интерференции
		на прям оугольном отверстии (б).

Согласно выбранной геометрии (см. рис. 15.5), уравнение (15.18) примет вид:

ψ ( p) = c òa	dy òb dx exp{ −ik ( px + qy )}			(15.19)
−a	−b
, где òa exp(−ikpx)dx = −		1	{exp(−ikpa) − exp(ikpa)} = 2 sin kpa	.	(15.20)
, где òa exp(−ikpx)dx = −		ikp	{exp(−ikpa) − exp(ikpa)} = 2 sin kpa	.	(15.20)
−a		ikp	kp

или

ψ ( p) = 4c sin kpa					sin kqb
			kp			kq
Таким образом:						(15.21)
Таким образом:
I( p) = ψ 2 = I		æ		ö2	æ		ö2
I( p) = ψ 2 = I	0	ç sin kpa		÷	ç sin kqb		÷
	0	ç	kp	÷	ç	qb	÷ (15.22)
		è	kp	ø	è	qb	ø

Интенсивность света, полученная из уравнения (15.22) равна нулю вдоль двух рядов линий, параллельных сторонам прямоугольного от- верстия рис. 15.5. Положения максимумов со- ответствуют:

kpa = ±nπ , kqb = ±mπ (15.23)

, где n,m = 1,2,3…

1	æ sin x ö2
	y = ç	÷
	è	x ø

0,07

π 2π 3π X

Рис. 15.6. Дифракционная картина

интерференции на прямоугольном отверстии.

Вопрос № 43

Метод стационарных фаз в оптической дифракционной задаче

Рассмотрим вопрос дифракции на щели несколько иным способом.

Волновому уравнению в общем случае удовлетворяет решение в виде плоской волны,

распространяющейся в направлении k	r	(16.1)
	:ψ ¢ = ψ (k )exp{-ikr}
Или ψ ¢ = ψ (kx , k y , kz ) exp{-i(kx x¢ + ky y¢ + kz z¢)}		(16.2)

Общее решение уравнения тогда является суперпозицией частных решений (16.2):

ψ ′ =	1
	(2π )2

с учётом:

∞	∞
òdkx òdkyψ (kx , ky , kz ) exp{−i(kx x′ + ky y′ + kz z′)} (16.3)
−∞	−∞
2	2	2	æ	ω ö	2
kx	+ ky	+ kz	= ç	÷	(16.4)
			è	c ø

Внашем случае достаточно ограничиться решением плоской задачи:

1∞

ψ( x¢, z¢) = 2π −ò∞ψ (k x ) exp{ -i(k x x¢ + k z z¢)}dk x (16.5)

k x2 + k z2 = k 2	(16.6)
Предположим, что волна падает на щель перпендикулярно:
ψ ( x , z ) = ψ 0 e − ikz	(16.7)

Считаем, что щель шириной d не сильно возмущает поле в своей плоскости. Расположи щель в плоскости z = 0 (рис. 16.1), тогда функция имеет вид:

ψ0	ìψ	0	,\| x \|< d / 2			(16.8)
ψ0	= í	0	\| x \|> d / 2			(16.8)
	î0,		\| x \|> d / 2
			ψ	X
			ψ0	X		ϕ0(kx)
			ψ0			ϕ0(kx)
			X
-d/2			d/2	d	Z	kx
-d/2			d/2		Z
а)				б)		в)

Рис. 16.1. Волновая функция (а). Геометрия дифракции на щели (б). Фурье преобразование волновой функции (в).

Амплитуда ψ (kx ) характеризует распределение напряжённости поля по направлению k x . Её можно легко получить из преобразования Фурье:

				æ	d ö
d / 2				sin ç k x		÷
					2
φ (k x ) = ò ψ 0 e	ik x x	dx	= 2ψ 0	è		ø	(16.9)
				k x
− d / 2

Тогда поле дифракции за экраном примет вид:

ψ (x′, z′) =

ψ0

∞

sin kx x exp{−i(kx x′ +

k2 − kx2 )z}dkx

(16.10)

π −∞ò

Интеграл (16.10) точно не вычисляется. Чтобы выбрать разумные приближения будем

рассматривать поле дифракции в дальней зоне.

Обратим внимание на подинтегральное выражение в (16.10). При достаточно больших

z′ экспоненциальная функция быстро осциллирует – т.е. принимает в равной мере по-

ложительные и отрицательные значения рис. 16.2. Площадь, охватываемая кривой

Re(exp{−i(kx x′ +

k2 − kx2 )z}) → 0 . Если

Re(expδ

вторая функция, на которую умножается

экспонента, очень медленно меняется, то

интегральный вклад от произведения будет

очень мал.

Обратим внимание на осцилляции

функции. Быстрые изменения функции

происходят вдали от точек экстремумов. В

точке, скажем, max, первая производная по

kx обращается в нуль. Такая точка max или

Рис. 16.2. Быстро осциллирующая функция.

min определяет малую область, внутри ко-

торой аргумент стационарен. Другими словами, он не изменяется в первом порядке при

изменении kx . Очевидно, что такая область даёт максимальный вклад в интеграл по

сравнению с другими областями.

Чтобы получить приближение для дальнего поля, используем метод стацио-

нарных фаз. Метод стационарной фазы состоит в нахождении точки или точек, где

аргумент быстро осциллирующей функции имеет стационарное значение. Аргумент

разлагается в ряд Тейлора в окрестности этой точки: разложение производится до чле-

нов второго порядка. Функция, взятая в стационарной точке выносится из под знака ин-

теграла.

sin kx d = e

−ik

Присвоим в (16.10):

sin k

x ≈ sin k

x 2

- e

x 2

2 ,

Перепишем интеграл (16.10) в удобном виде:

¢ ¢

ψ0

∞ æ

−iθ−

ç 1

−iθ+ ÷

ψ (x , z )

òç

÷dkx

(16.11)

2π

−∞è kx

, где θ− = (x′ −

z′

)kx

− kx2

(16.12)

θ+ = (x′ +

z′

)kx

k 2

− kx2

(16.13)

Чтобы найти точку стационарной фазы и− , надо отыскать её экстремум:

∂θ−	= 0 = x′ −	d	−	kx	z′	(16.14)
		2
				k 2 − kx2
∂kx

			′	-d /2
т.е. стационарной точкой является:	k(−) =		x			k	(16.15)

		¢2		¢	2
	x
		z	+(x		-d /2)

Чтобы разложить функцию в ряд Тейлора до второго члена, необходимо найти вторую

производную:	¶ 2θ −	= -			k 2			z¢
производную:	2	= -	(k	2	2	)	3 / 2	z¢
	¶k x		(k		- k x	)

Исходя из (16.14) и (16.16) разложим в ряд Тейлора и− вблизи k x = k(x−) :

	1	æ	2	ö
θ- = (θ- )kx =kx( − ) +		ç	¶ θ-	÷
			2
	2	ç		÷
		è	¶kx	økx =kx( − )

Тогда (16.17) с учётом (16.15) примет вид:

(kx - kx(-) )2

(16.16)

(16.17)

d ö2 ù3 / 2

êz¢

+ ç x¢

ö2

θ− =

z¢2 + ç x¢ -

k -

, где u = k x − k x( − ) .

(16.18)

2kz¢

Поскольку в дальнем поле z′ >> d , то

z ¢

¢ -

ö 2

x ¢d

ç x

r ç

1 -

(16.19)

2 r

d ö

2 ù

3 / 2

3 x¢d ö

ê z¢2

ç x¢

r 3 ç1

(16.20)

r 3 ø

x ′ 2

+ z ′ 2

, где r 2

(16.21)

Множитель

, на который умножается экспонента в методе стационарной фазы

k x

можно вынести за знак интеграла. Если присвоить ему kx

= k(x−) или k x

= k(x+) . Име-

π eiπ 4

òeiau 2 du = (1+ i)

ем интеграл:

(16.22)

-¥

Тогда окончательно получаем:

e−ikr

sin π

iπ 2

ψ (x′, z′) =

(16.23)

, где α ≈ tg α = x′				≈ x′			(16.24)
		z′		r
Физический смысл метода стационарной фазы заключается в уничтожении вкладов
противофазных волн. Точка k (xm) определяет ту область на оси k x , которая даёт мак-
симальный вклад в интеграл.
Так как интеграл определяет сумму плоских волн, то выражение (16.15) показывает, ка-
кая часть этих волн вносит наиболее существенный вклад в процесс дифракции. Отно-
шение k−x / k определяет синус угла между направлениями распространения волны и
осью Z. С учётом приближения дальнего поля:
(−)			′
kx	=	x		= sinα ≈ α			(16.25)
k		z′2 +		x′2
Таким образом, найдено, что направление плоских волн, вносящий наибольший
							′	′
вклад в процесс дифракции, совпадает с направлением, под которым точка поля (x , z )
видна из щели. Т.е. плоские волны, распространяющиеся в других направлениях, можно
не учитывать рис 16.3.							∙Р
Поле дифракции (16.23) имеет форму цилин-							∙Р
Поле дифракции (16.23) имеет форму цилин-
дрической волны (рис. 16.4), спадающей с расстоя-							α
нием как r−1/ 2 . Волна промодулирована по углу						d
множителем:						d
множителем:		d α
sin	π	d α
		λ		(16.26)
	α			(16.26)		Рис. 16.3.	Направления плоских
	α
Т.е. имеется максимум при α = 0. Ширина главного
Т.е. имеется максимум при α = 0. Ширина главного							волн, вносящих
лепестка излучения α , при котором функция							наибольший вклад.
(16.26) обращается в нуль:
απ d		= π , следовательно:
	λ	λ
α =		λ		1
(16.27)		d .
(16.27)
				0,2
				-0,4	0	0,4	α
				Рис. 16.4. Дифракционная картина,
				создаваемая плоской волной,
				проходящей через щель.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.08.2019223.23 Кб13Laboratornaya_rabota_10.doc
#
27.08.20192.3 Mб23Laboratornaya_rabota_13.doc
#
27.08.2019946.69 Кб4Laboratornaya_rabota_7.doc
#
27.08.2019196.61 Кб2Laboratornaya_rabota__12.doc
#
23.08.201962.99 Кб6landshafty.docx
#
20.03.20151.21 Mб11Lections_V.pdf
#
20.03.2015735.23 Кб116Lectures_Оn_Lexicology.pdf
#
09.11.201965.54 Кб0Lecture_1.doc
#
09.11.2019129.54 Кб3Lecture_3.doc
#
09.11.2019158.21 Кб1Lecture_4.doc
#
09.11.201990.62 Кб3Lecture_5.doc