Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lections_V

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.03.2015

Размер:

1.21 Mб

Скачать

☆

1 / 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Таврический Национальный Университет Физический факультет Кафедра общей физики

Курс лекций: «Физическая оптика».

Литература: Основная:

1)Д.В. Сивухин. Общая физика. Оптика. 1980г.

2)А. Зоммерфельд. Оптика, 1953г.

3)С.А. Ахманов, С.Ю. Никитин. Физическая оптика. Из-во. МГУ, 1998г.

Дополнительная:

4)М. Борн. Э. Вольф. Основы оптики, 1973г.

5)Г.С. Ландсберг. Оптика.

6)Н.М. Годжаев Оптика.

7)Д. Маркузе. Оптические волноводы.

Вопрос № 1

Шкала электромагнитных волн.

Оптику делят на 1) геометрическую, 2) волновую, 3) квантовую, 4) сингулярную, 5) топологическую и т.д. На самом деле такое деление условно.

Вквантовой механике существует принцип дополнительности.

Всередине 20-х годов Н. Бор распространил оптический дуализм на все квантовые процессы. Оптиче- ский дуализм: кентавр-волна/фотон. Невозможно описать многогранность проявлений оптических процессов на одном физическом языке. Всегда следует указывать, в каких конкретных оптических экспериментах проявляются те или иные световые явления: дифракция, интерференция, поляризация - прямолинейность распространения, давления света, угловой момент волны и т.д.

Эти явления дополнят друг друга и раскрывают многогранность свойств света – отсюда прин- цип дополнительности.

Физически наблюдаемые величины: потоки.

а) интенсивность; б) импульс или энергия импульса; в) длина волны; г) волновой фронт; д) угловой момент.

Основной метод теоретических исследований →

Вопрос №2

Волновое уравнение. Уравнение Максвелла.

В оптике удобно пользоваться гауссовой системой единиц. В этой системе уравнения Максвел- ла для вакуума имеют вид:

(1.1)

(1.3)

r	1	∂H	r	1	∂E
rot E = −			rot H =
	c	∂t		c	∂t
div E = 0			div H = 0

( 1.2)

(1.4)

Для описания подавляющего большинства явлений будем исходить именно из этих уравнений. Следует всегда помнить, что световая волна – векторная. Её состояние описывает шесть волно-

вых функций: {Ex ,E y ,Ez }и {H x ,H y , Hz }, где E , H – напряжённость электрического и

магнитного поля.

Однако световое поле удобно описать одним векторным уравнением. Получим его из уравнений Мак- свелла. Продифференцируем по t уравнение (1.2)

	æ	¶H ö			1 ¶ 2 E
rot	ç		÷	=		2 .	(1.5)
	ç	¶t	÷		c ¶t
	è		ø
Воспользуемся в (1.5) уравнением (1.1):

= −

∂ 2 E

rot rot

∂t 2 .

(1.6)

c 2

Из векторного анализа известно тождество:

rot rot a = grad div a − E ,

(1.7)

∂2

где ≡

- оператор Лапласа. Так как для свободного пространства (вакуума) сво-

∂x2

∂y2

∂z2

≡ div E

= 0 (см. уравнение (1.3)), откуда подставляя

бодные заряды отсутствуют, а значит div a

(1.6) в (1.7), находим:

∂

D E −

= 0

(1.8)

c 2

∂ t 2

аналогично дифференцируя уравнение (1.1) и подставляя в уравнение (1.2) получим:

r		1	¶	2	H
H	-					= 0	(1.9)
		c 2	¶ t 2

Эти условия строго выполняются только в вакууме!

Вопрос № 3

Принцип суперпозиции

Мы в основном будем рассматривать линейные оптические явления. Это значит, что условие (1.8) и (1.9) линейны по полю. Основной принцип линейной оптики – принцип суперпозиции состояний.

Если в оптическом процессе участвуют несколько полей, то процесс может описываться, как:

E = E1 + E 2 + ... + E n , H = H 1 + H 2 + ... + H n (1.10)

Принцип суперпозиции - общий принцип для оптики и квантовой механики.

Для свободного пространства (вакуума) запишем в декартовых координатах уравнение (1.8) для каждой компоненты поля:

ДE б −	1	∂E б	= 0 , где (б = x, y, z)	(1.11)
	c 2	∂t

Волновые поля в оптике.

Точными решениями волнового уравнения (1.11) являются элементарные волны. Каждая такая волна принадлежит своему метрическому пространству!

Плоская волна.

Не всегда возможно анализировать световые состояния исходя из представления плоских волн. Иногда ошибочно считают, что достаточно для описания света рассмотреть локальное поведение пло- ской волны. Это заблуждение основано на том, что вдали от источника волновой фронт – плоский.

Пример такого заблуждения – оптический вихрь – это отдельное квантовое состояние.

Рассмотрим декартовую систему координат (x,y,z). Предположим, что в декартовом простран- стве существует волна, поле которой зависит только от одной пространственной координаты, скажем,

z, а также от времени t. Тогда можно ограничиться рассмотрением, либо поля E , либо поля H . Функ- ции E(z,t) и H(z,t) представим в виде f(z,t). Запишем уравнение (1.11):

∂ 2 f

−

1 ∂ 2 f

= 0

æ ¶f

1 ¶f

ö æ

¶f

1 ¶f

= 0 (1.13

, (1.12)

откуда: ç

÷ ç

∂ z 2

c 2

∂ t 2

¶z

¶t

¶z

c ¶t

ø è

Введем новые переменные:

ξ = z + c × t;

η = z - c × t , (1.14)

откуда:

−

; t

= −

Найдем частные производные:

∂f

∂f ∂z

∂f ∂t

;

∂f

∂f ∂z

∂f ∂t

∂z ∂ξ

∂t

∂ξ

∂η

∂z ∂η

∂t ∂η

∂ξ

При этом имеем:

¶ z

= 1 ;

¶ z

= 1 ;

¶ t

;

¶ t

¶ ξ

¶ η

¶ ξ

¶ η

Тогда:

∂ f

;

∂ f

−

∂ f

∂ ξ

∂ z

c ∂ t

∂ η

∂ z

c ∂ t

Сравним полученные выражения с (1.14), находим:

¶ f	¶ f	=	¶ 2	f
¶ ξ	¶ η		¶ ξ ¶ η

=	æ	¶		1	¶
	0 . ç		+

	ç	¶z		c ¶f
	è

1 ¶ ö

∂ 2

÷æ

= 0

÷ f

0 и ∂ ξ ∂ η

(1.15)

÷ç

t ø

Уравнению (1.15) удовлетворяет функция вида:

f (ξ,η) = f1(ξ) + f2 (η) ,

(1.16)

где f1 и f2 – произвольные гладкие функции.

Решение (1.16) описывает суперпозицию двух волн рас-

пространяющихся вдоль и против оси z. Скорость этих

волн одинакова и равна с.

Эти функции удовлетворят определенным соот-

ношениям симметрии, а именно, трансляционной сим-

метрии вдоль оси z. Это значит, что при смещении вдоль

(против) оси z на некоторое характерное расстояние л

эти поля совмещаются сами с собой. Очевидность этого

m-1

m+1

утверждения следует из начального условия, что поля не

зависят от x и y координат и требования, чтобы поля рас-

Рис. 1.1 Волновые фронта плоской гармони-

пространились вдоль (против) оси z. Конкретный вид

ческой

волны.

функций f1 и f2 зависит от начальных условий.

Плоская гармоническая волна.

Рассмотрим декартову компоненту поля Ex (z, t) . Потребуем, чтобы поле изменялось во времени

по гармоническому закону. Пусть при z=0 : Ex (0,t) = Acosωt (1.17)

Тогда в соответствии с (1.16) имеем для волны, бегущей в положительном направлении вдоль оси z:

Ex (z,t) = Acos{ω(t − z / c)}= Acos(ωt − kz) ,

(1.18),

где А – амплитуда волны, щ – ее циклическая частота, Т – период колебаний, k – волновое число, л –

длина волны: ω = 2 πν ; ν =	1	;	k =	ω	= 2 π	ν		=	2 π
	T			c			c		λ

Введем величину Ф, где Φ = ω t − kz			– полная фаза волны.

Чтобы описать динамику волнового процесса надо выделить физически наблюдаемые характеристики волны. В частности, потребуем:

Φ(z,t) = ωt − kz = const

(1.19)

Уравнение (1.19) определяет геометрическое место точек равной фазы – волновой фронт. Положения и форму волнового фронта можно определить в интерференционном эксперименте. Пло- ская гармоническая (монохроматическая) волна имеет волновой фронт – множество параллельных плоскостей перпендикулярных к оси z (рис. 1.1).

Очевидно, что (1.18) не изменяется, если:

Φ(z,t) → Φ(z,t) + 2mπ , (1.20), где m = 0,1,2…

Расстояние между соседними волновыми фронтами (m и m+1) равно длине волны л . Соотношение (1.20) является следствием принципа трансляционной симметрии плоского волнового поля.

Вопрос № 4

Сферическая волна.

Рассмотрим другой вид симметрии. Если пространство обладает сферической симметрией, то поле Е уже зависит от r,φ,υ коорди-

нат (рис.1.2): E = E(r,φ,υ) .

Конечно, в любой удалённой от начала координат малой окрест- ности точки можно волну считать плоской. Однако только вся со- вокупность плоских волн может дать сферическую волну.

Предположим, что поле зависит только от радиальной координа- ты, т.е. обладает точечной симметрией высшего порядка – любой поворот поля вокруг начала координат, совмещает его самого с собой.

z
υ
r	x
	ϕ
y
Рис. 1.2.Сферические координаты.

λ ≈10

r = x 2 + y 2 + z 2 , Eα = Eα (t,r) , Hα = Hα (t, r)

Для сферически симметричной волны волновое уравнение имеет вид:

f -	1	¶ 2 f	= 0	, где	f −	1	∂	2	( rf ) .	(1.21)
	c 2	¶t 2				r	∂ r 2

Чтобы получить дифференциальное уравнение (1.21), запишем оператор Лапласа в сферических коор- динатах:

1 ¶ æ

¶ ö

ö ù

¶ 2

ç r

ç sin υ

÷ ú

º Ñ r

+ Ñ υ ,φ

υ ¶υ

¶υ

sin

υ ¶φ

¶r è

¶r ø

ë sin

ø û

Но из условий симметрии:

Ñ υ2

,φ

, следовательно:

1 ¶ æ

¶ ö

¶ 2

2 ¶

= Ñ r

ç r

¶ r 2

¶ r

r 2 ¶ r è

¶ r ø

Но с другой стороны:

¶ 2 f

2 ¶ f

1 ¶ 2

( rf ) , поэтому: Ñ

1 ¶ 2

(rf ).

Откуда

¶ r 2

r ¶ r

¶ r 2

r ¶r 2

	1	∂ 2		1	∂ 2 f
получаем выражение (1.21). Согласно (1.21):	r		(rf ) =			.
получаем выражение (1.21). Согласно (1.21):	r	∂ r 2	(rf ) =	c 2	∂ t 2	.
(1.22)

Введём вспомогательную функцию F = rf, следовательно, уравнение (1.22) примет вид:

(1.23)

Но решение (1.23) имеет вид: F(r,t) = F1(t −r /c)+ F2(t +r /c)

или f (r,t ) =

F1 (t - r / c)

F2 (t + r / c)

(1.24)

Выражение (1.24) описывает две сферические волны, распространяющиеся от начала координат. Уравнение монохроматической сферической волны есть:

f ( r , t ) =	A	cos {ω t - kr }	(1.25)
	r

Вопрос № 5

Реальные световые волны. Квазиплоские волны.

В реальности поля пространственно модулированы – амплитуда волны изменяется в плоскости на- блюдения. Когда говорят о масштабах изменения волнового поля, всегда изменения сравнивают с не- которым характерным масштабом. Что в оптике принять за характерный масштаб. Очевидно, следует исходить, как из характеристики самой волны, так и из характеристики прибора, с помощью которого проводят измерения. Собственный масштаб поля – это длина волны л . В видимой части спектра

−4 см. Когда говорят об оптическом измерении, то, прежде всего, выделяют характерный участок поля. Линейные участки поля, подлежащие измерению, будем называть апертурой. Если, на- пример, работают с лазерным пучком, то для лабораторного He-Ne лазера размер сечения пучка – его

апертура d≈0,1см. Таким образом, если на апертуре d амплитуда поля мало меняется, то говорят, что

для d / λ ≈ 103 >> 1 амплитуда поля медленно изменяется в плоскости наблюдения, а волновой фронт слабо отличается от плоского фронта.

В случае гармонической квазиплоской волны имеем при z =0:

E x ( x, y ,0, t ) = A( x, y )e iω t

(1.26)

В этом случае можно полагать, что существует область z >> λ , где

Ex (x, y, z,t) = A(x, y)ei(ωt −kz) ,

(1.27)

квазаплоская волна.

В реальном источнике элементарными излучателями можно считать отдельные атомы. Характерный

размер атома ≈10−8 см. Поэтому световые волны, излучаемым каждым атомом можно рассматривать

как сферически уже на микроскопическом масштабе. Обычно излучается сразу множество атомов. Так

в одном кубическом сантиметре газа содержится N ≈ 1019

атомов. Следовательно, полное поле будет

суперпозицией множества сферических волн:

ö ü

E x

( x , y ,

z , t )

cos

í ω

ç t

÷ ý

, (1.28)

n = 1

ø þ

где

r = (x−x )2 +(y−y )2

+(z−z )2

{

y n

z n

}

- координаты n-ого излучателя.

, а

x n ,

Вблизи источника поле имеет сложную структуру пространственно-модулированной волны. По мере

удаления от источника сферический фронт от отдельных излучателей совпадает на все больших про-

странственных участках. При z → ∞ всю волну можно аппроксимировать как сферическую.

Квазимонохроматические волны.

Как правило, реальные элементарные излучатели создают поле, которое не является строго мо-

нохроматическим. Это происходит вследствие того, что амплитуда волны промодулирована по време-

ни. Дело в том, что атомы излучают волны за время релаксации. Так в газоразрядной трубке время ре-

лаксации τ »10−12 ¸10−13 с. В лазерных источниках время

релаксации τ »10−3 ¸10−6 с. Но период световой волны: T

, где ν

, с.

−

≈

− 15

10−12 =103

Следовательно, даже для газоразрядных ламп τ

≈

>>1. Такие поля называют квазимоно-

10−15

хроматическими. Их обычно представляет для z = 0 в виде:

Ex (x, y,0,t) = A(t)cosω(t)t ≈ A(t)cos{ω0t +φ(t)},

(1.29)

где ω0

– центральная частота в спектре.

С какой степенью точности можно добиться монохроматического режима излучения?

Это не техническая проблема! Имеются строгие квантово-механические ограничения, связанные с

квантовыми флюктуациями. Так в одномодовых газовых непрерывных лазерах со стабилизацией

чаcтоты достигнута монохроматичность излучения с девиацией частоты 102

Гц

Вопрос № 6

Поперечность световых волн.

Световое поле существенно отличается от известных в физике других волновых полей, например, аку-

стических. Световые волны – поперечные.

Это значит, что в любой малой области поля можно найти такое на-

правление распространения k , к которому колебания E и H будут

перпендикулярны:

k E H . Рассмотрим это свойство на примере

плоской волны.

Комплексное представление световой волны.

E 0

= E 0 exp {i (ω t -

k r )} (2.1)

+ i sin( ω t

= E0 (cos( ω t − k r )

− k r ))

Рис. 2.1. Поперечность световых волн.

								Im	E
\| E \|= (Im E)2 + (Re E)2 ,						tg φ =		Im	E
.								Re	E
.
Уравнения Максвелла в среде:
	r	= 1	∂D ,	r	1	∂B	,	(2.2)
rot H		= 1	∂D ,	rotE = -	1	∂B	,	(2.2)
		c	∂t		c	∂t

Im E E
r
щt − kr	Re E

Рис. 2.2.Световая волна в комплексном пространстве.

D = εE, B = μH .

(2.3)

Заметим, что оператор ∂∂t вектора Е действует, как умножение на iω:

∂	r	= i ω E .
	E		(2.4)
∂ t

r	= kx x + ky y + kz z , следовательно:
Разложим по координатам: kr


∂	→ −ikx ,		∂			→ −iky ,
∂x	→ −ikx ,					→ −iky ,
∂x		∂y
					)		)
					)		)
					i			j
	r				∂			∂
	rot H =				∂			∂
	rot H =				∂x			∂y
					∂x			∂y
				H x			H y

∂

∂z

)

∂

∂z H z

→ −ikz . Отсюда:

	)	)	)
	)	)	)
	i	j	k	r	r
= −i	kx	ky	kz	r	r
= −i	kx	ky	kz	= −i(k	× H )	(2.5)
	H x	H y	H z

Аналогично rot E = −i(k × E) . Тогда уравнения (2.2) перепишутся в виде:

r	r	ω	r	r r	ω r
(k	× H ) = −	c	D,	(k × E) =	c	B ,	(2.6)
		c			c

Волновой вектор k всегда нормален к поверхности волнового фронта (по крайней мере, в паракси-

r		)	)
альном приближении). По определению: k =	ω r		r
альном приближении). По определению: k =	v	n,	где n – еди-
	v

ничный вектор нормали, v – фазовая скорость волны. Тогда уравне- ния (2.6) примут вид:

r	c	)	r	r	c	)	r
D = −		r	× H ),	B =		v	× E) .
	v	(n				(n		(2.7)
					v

Из (2.7) следует свойство поперечности световой волны:

E H V || k .

Рис. 2.3. Плоская световая волна.

В среде с действительными значениями ε и μ, составляющие поля: E и H – синфазны (условие выполняется в плоской волне).

Вопрос № 7

Фазовая и групповая скорость.

Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси z. Проследим за распространением лис- тов волнового фронта. Для этого надо потребовать равенства фаз: Φ = ωt − kz = const , тогда:


d	Φ	= ω		− k		dz	= 0 .
dt	Φ	= ω		− k		dt	= 0 .
dt						dt
v zΦ	=		dz	=	ω		,	(2.8), где vzΦ - фазовая скорость (скорости распространения
v zΦ	=		dt	=	k z		,	(2.8), где vzΦ - фазовая скорость (скорости распространения
			dt		k z

поверхностей волновых фронтов).

В общем случае:	vxΦ =	ω , vΦy	=	ω , vΦz	=	ω	- световая волна не монохроматична, а состоит из
В общем случае:		kx		ky		kz	- световая волна не монохроматична, а состоит из

множества волн с различной частотой. Каждая из волн распространяется со своей фазовой скоростью

rΦ vi .

Скорость распространения квазимонохроматической волны.

Рассмотрим простейший случай. Пусть распространяются только две плоских монохроматиче- ских волны со слегка отличающимися частотами:

E1 = E0 cos(ω1t − k1z), E2

= E0 cos(ω2t − k2 z) .

(2.9)

Результирующая волна:

E = E1 + E2 = A(cos(ω1t - k1z) + cos(ω2t - k2 z)) =

-ω

k - k

ω + ω

k + k

2E0 cosç

t -

z÷´ cosç

t -

z÷ .

(2.10)

Поскольку ω1 = ω2 +

ω, k1 = k2 +

k и ω → 0, а

k → 0 , то

ω1 + ω 2 »

k1 + k2

= k

» ω1 , а k » k1

Из уравнения (2.10) находим:

E = 2 E 0

cos ç

÷ cos( ω 1t - k1 z)

(2.11)

Фактически для близких частот ω1, ω2 и постоянных распространения k1 и k2 амплитуда резуль- тирующего колебания будет медленно изменяться. Обычно в эксперименте регистрируется не сами быстрые осцилляции, а медленные изменения амплитуды. Потому удобно говорить о скорости рас-

пространения огибающей. Тогда:

G( f , z) =

t −

z = const .

k dz

G( f , z) = 0

−

Скорость огибающей двух синусоид:

Если ω → 0 , то: vгр =

(2.12)

где vгр – групповая скорость (скорость волнового паке- та).

Связь между групповой и фазовой скоростью.

Будем исходить из уравнения (2.12) с уче-

том: k = ω , ω = k × vΦ , выражение для групповой

vΦ

скорости перепишется:

vгр =		d		(vΦ k ) = vΦ + k	dvΦ	, но т.к. k =	2π	,
		dk			dk
							λ
dk = −	2 π		d λ ,
	λ

E	v(zгр)	огибающая
	t -const	z
	t -const
Рис. 2.4.Наложение двухсинусоид близкого
	периода (биения).

следовательно: vгр = vΦ − λ	dvΦ	(2.13)
	dλ

Понятие групповой скорости применимо только для области с нормальной дисперсией, поэтому vгр ≤ c. Формула Релея (2.13) связывает фазовую и групповую скорости. Из (2.13) согласно специальной теории относительности:

vгр ≤ c			(2.14)
но если	dv ф	< 0 ,	то vгр > vф.
	d λ

Вопрос № 8

Неоднородные волны. Показатель преломления.

По определению волновое число есть k

Обратимся к уравнениям Максвелла для плоской волны:

ωε

ωμ

k × H

= −

E ,

× E

(2.15)

или

ωε

× (k

× E))

= −

(2.16)

ωμ

т.к. (a × b × c)

≡ b (ac) −

(ab )

и k E , т.е. (Ek ) = 0 , то из (2.16) находим:

k 2

εμ

(2.17)

Отсюда следует, что v =

, где n =

εμ

– показатель преломления,

n – показывает, во

εμ

сколько раз скорость света превышает фазовую скорость волны.

n =

(2.18)

vΦ

Предположим, что k – компонента вектора: k = k ′ − ik ′′,(2.19)

где k′ и k′′

– вещественные числа. Такие волны называются неоднородными. Рассмотрим плоскую

неоднородную волну:

E = E0 ei(ωt −k

)

= E0 e− k

′′r ei(ωt −k ′

) ,

(2.20)

− r′′r

где E0e k r - амплитуда этой волны. Амплитуда

экспоненциально убывает в направлении вектора

r	= const – поверхности равных
k′′ . Тогда: k′′r	= const – поверхности равных
амплитуд, а

′r	= const – поверхности равных фаз. Если
ωt − k r

ε – действительная величина, то эти поверхности ортогональны между собой. Докажем это.

Подставим (2.19) в (2.17):

r		r		2
(k	′2	− ik	′′2 ) =	ω2 ε ,
				c

равные амплитуды

равные фазы

Рис. 2.5. Амплитуды и фазы неоднородной волны.

r		r		r	r		2
k	′2	− k	′′2	− 2i(k	′k	′′) =	ω2 ε .
							c

		r	′2	r	′′2		ω2
Приравняем действительные и мнимые части: k			′2	− k	′′2	=	c2 ε , следовательно:
′	′′	) = 0.					(2.21)
− (k k		) = 0.					(2.21)

Вопрос №9

Синфазность E и H полей

Рассмотрим распространение плоской волны

вдоль оси z.

Пусть Ey = E(z,t) , Hx

= H(z, t) и

= Ez = 0 , H y = Hz = 0 .(2.22)

Из первых двух уравнений Максвелла следует, что

∂Ey

μ ∂Hx

∂ H

ε ∂ E y

= − c ∂t

∂ z x = −

;

(2.23)

∂z

∂ t

Решение уравнений (2.23) имеет вид:

Ey (z,t) = E0 y exp(i[ωt − kz]) + E0 y exp(i[ωt + kz]) .

(2.24)

Выберем волну, распространяющуюся в положительном направлении вдоль оси z:

Ey (z,t) = E0 y exp{i(ωt − kz)}.

∂Ey = −iE0 y k exp{i(ωt − kz)} = −ikEy

∂z

Тогда: ∂E

∂ty = iωEy

откуда:

∂Ey

= −

k ∂Ey

∂z

ω ∂t

с учетом

= v

и v

, следует:

εμ

∂Ey

= −

εμ

∂z

∂t

Подставим (2.26) в первое уравнение из (2.23) получим:

∂Ey

μ ∂H

εμ

c ∂tx ,

∂t

∂Ey

∂Hx

или

= μ

∂t

Интегрируя по t (2.27) получим уравнение:

ε Ey = μ Hx + const

Если ε и μ – действительные постоянные величины, то Ey

(2.25)

(2.26)

(2.27)

(2.28)

и Hx синфазны во времени и в пространст-

ве. Отметим, что вывод уравнения (2.28) имеет место только для плоских волн, распространяющихся в изотропной, однородной не магнитной, не поглощающейся среде!

1 / 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.08.2019223.23 Кб12Laboratornaya_rabota_10.doc
#
27.08.20192.3 Mб22Laboratornaya_rabota_13.doc
#
27.08.2019946.69 Кб4Laboratornaya_rabota_7.doc
#
27.08.2019196.61 Кб2Laboratornaya_rabota__12.doc
#
23.08.201962.99 Кб6landshafty.docx
#
20.03.20151.21 Mб11Lections_V.pdf
#
20.03.2015735.23 Кб116Lectures_Оn_Lexicology.pdf
#
09.11.201965.54 Кб0Lecture_1.doc
#
09.11.2019129.54 Кб3Lecture_3.doc
#
09.11.2019158.21 Кб1Lecture_4.doc
#
09.11.201990.62 Кб3Lecture_5.doc