Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lections_V

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.03.2015

Размер:

1.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Вопрос № 53

Фокусировка фундаментального гауссова пучка.

Покажем, что R(z) имеет смысл радиуса волнового фронта. Для этого рассмотрим сфе- рическую волну.

ψ =

exp(i(ωt - kR)) ,

R =

r2 = x2 + y2 , z ≈ R

r2 + z2

(19.17)

R » z +

Для r2 << z2 :

(19.18)

следовательно:ψ »

ωt - kz

öü

expíiç

(19.19)

Сравнивая фазу волны (19.19) с фазой гауссова пучка, находим, что R(z) представляет радиус кривизны волнового фронта:

R(z) =	z2	+ z02			(19.20)		R(z)
R(z) =		z			(19.20)		kp 02
		z					kp 02
Найдём экстремум R(z):
¶R(z)			z(2z) - z2 + z2			z2 - z2
¶z		= 0 =		z2	0 =	z2	0 ;
или zmax		= z02 .					1	2	z/ z0
	2z2						1	2	z/ z0
Rmax =	2z2			R max	= kp 02
Rmax =		0 = 2z0 ,		R max	= kp 02		Рис. 19.3. Зависимость радиуса
	z0						Рис. 19.3. Зависимость радиуса
(19.21)							перетяжки от относительного
							параметра z/z0.

Размер гауссова пучка в перетяжке.

Действие тонкой линзы на лазерной пучок можно
описать с помощью комплексного коэффициента	А 0	А 1
передачи Л(r) : A1(r) = Λ(r)A0 (r) (19.22)

, гдеA0 и A1 – комплексные амплитуды пучка.

kr2 ö

ρ 0

Для сферической линзы

Λ(r) = expçi

÷ (19.23),

2 f ø

где f – фокусное расстояние сферической линзы.

z= 0

Формула (19.23) записана по аналогии с

фазовым множеством гауссова пространства.

Рис. 19 .4 . Действие то н ко й линзы

Знак (+) в (19.23) соответствует вогнутому волновому

на лазер ны й пуч о к.

фронту, а (-) – выпуклому волновому фронту.

Пусть на линзу в плоскости z = 0 падает световой пучок с амплитудой:

(19.24)

A0 (r) = A0 expç -

2 ÷

Тогда из (19.22) и (19.23) следует, что амплитуда пучка после линзы запишется:

A1(r) = A0

A1 (r) = A0

expê-

- ik

(19.25) или

expí-

(19.26)

2ρ

2 f

2ρ

, где для z = 0:	1	=	1	- i	k	(19.27)
, где для z = 0:	ρ 2	=	ρ 2	- i	f	(19.27)
	1		0

Действие линзы сводится к длине действительного радиуса пучка в точке z = 0 на ком- плексной плоскости (ρ0 →ρ1). Можно выражение для гауссова пространства переписать в удобной форме:

A0 ρ0

-iékz +

expì-

ψ(r, z) =

expç

+η +

ρ(z)

2R(z)

ρ2 (z)

1-iz/ z

ρ2

(1-iz/ z )

19.28)

Произведем замену ( z 0	=	kρ	02
		2

) в (19.28). Получим выражение:

			ì							ü
	A		ï			r2				ï
ψ (r, z) =	A		ï		æ	r2		2		ï	(19.29)
ψ (r, z) =	Λ + z	/(ikρ2 ) expí-			æ			2	öý		(19.29)
		0
	1	1	ï	2	ç		z		÷	ï
			ï	2ρ1	ç	+	2ikρ2		÷	ï
			ï	2ρ1	ç1	+	2ikρ2		÷	ï
			î		è			1	ø	þ

Подставим (19.27) в (19.28), следовательно:

ψ = A

ρ0

expí-

ýexp

0 ρ¢(z)

ρ¢2 (z) þ

ρ¢

= ρ

éæ

2 ù

, где

(z)

êç1

êç

ç z

ëè

0 ø

ç1

ú ;

R (z)

ç1-

è z0

ìé	kr	2	ùü
íêα -	kr		úý	(19.30)
íêα -			úý	(19.30)
îë	2R¢(z) ûþ
				(19.31)

æ	z	0	/ z	0	ö
α = arctgç		0		0	÷	(19.32)
α = arctgç					÷
ç	1+ z / f				÷
è	1+ z / f				ø

Выражения (19.31) и (19.32) полностью описывают сфокусированный параксиальный гауссов пучок. Из (19.31) найдём условие минимума:

2ρ¢

¶ρ¢

= ρ

z ö

æ z

1 ù

2ç1

+ 2ç

= 0

(19.33)

¶z

è z0

z0 û

или

zmin =

(19.34)

или

ρ min

= ρ 0

f / z0

(19.35)

+ ( f / z0 )

+ ( f / z0 )2

В параксиальном приближении ( f / z0

<< 1):

ρ min

= ρ 0

2 f

ρ min

= 2

(19.36)

k ρ

Так, например, для λ = 0,63мкм, f = 10см и ρ0 = 1см, следует ρmin = 20мкм. Если

мощность лазерного излучения - р =1Вт/ см

2 то при фокусировке средняя мощность

составит: pср = πρ1 2 ≈1кВт или 795Вт/ см2 .

Вопрос № 47

Излучательная и поглощательная способности тел.

Электромагнитное излучение всех длин волн обусловливается колебаниями электри- ческих зарядов, входящих в состав вещества, т.е. электронов и ионов. Излучение тела сопровождается потерей энергии. Для того чтобы обеспечить возможность длительно- го излучения энергии, необходимо пополнять ее убыль; в противном случае излучение будет сопровождаться изменениями внутри тела, и состояние излучающей системы будет непрерывно меняться.

Можно заставить тело светится, сообщая ему необходимую энергию нагревани- ем. Такой тип свечения называется тепловым излучением. Характерной чертой тепло- вого излучения является его широкий сплошной спектр.

Под поглощательной способностью тела понимают отношение количества погло- щенной поверхностью тела энергии к общему количеству падающего излучения:

α =	W погл
	W пад

, гдеα – поглощательная способность.

(20.1)

Для непрозрачных тел сумма поглощательной и отражённой энергий равна энергии

падающего света: Wпад = Wпогл +Wотр

(20.2)

откуда 0 < α <1

(20.3)

Для абсолютно белого света α = 0- вся

Т>6000 K

энергия падающего света отражается, а

T=6000K

для абсолютно чёрного света α =1- вся

T=4000K

энергия падающего света поглощается.

T=1000K

Основная величина, характеризующая

тепловое состояние тела, есть его тем-

пература. Опыт показывает, что по-

фиолет.

красный

глощательная способность одного и то-

видимая

го же тела меняется при изменении

температуры Т и частоты падающего

область

света ν = ω / 2π , т.е.:α = α(ν,T) (20.4)

Рис. 20.1. Зависимость спектральной

Рассмотрим излучение света с единицы

площади поверхности тела рис.20.2.

плотности от длины во лны.

Выделим элемент поверхности нагре-

dσ

того тела dу . Обозначим мощность излучения

интервале частот ν , ν + dν через dPизл .

Рис. 20.2. Излучение света с

Очевидно, что dPизл

= εd νd σ

(20.5)

элемента

Здесь е – излучательная способность

поверхности.

+ dν

(мощность излучения в интервале частот ν , ν

с единицы площади):

ε = ε(ν,T)

(20.6)

Равновесное тепловое излучение.

Пусть имеется некоторое тело, нагретое до температуры Т, рис. 20.3 внутри которого вырезана полость. Т.к. стенки излучают энергию, то полость будет

наполнена этим излучением. Если температура тела поддерживается постоянной, то характеристики теплового излучения в полости будут иметь постоянные и строго оп-

ределенные значения. При этом процессы излу-
ределенные значения. При этом процессы излу-	Т
чения и поглощения внутри полости взаимно
чения и поглощения внутри полости взаимно
уравновешиваются. Говорят, что внутри полости
уравновешиваются. Говорят, что внутри полости
устанавливается тепловое равновесие, а излуче-
ние из полости называется равновесным.
ние из полости называется равновесным.	Рис.2 0.3. М одель абсолю тно
Закон Кирхгофа.	Рис.2 0.3. М одель абсолю тно
Закон Кирхгофа.		черного тела.

В 1859г. Густав Кирхгоф установил закон, со- гласно которому в состоянии теплового равновесия отношение излучательной и по-

глощательной способности не зависит от природы тел:

	ε (ν , T )		= ρ (ν , T ) = const	(20.7)

α (ν		, T )

, где с(н,T)		– функция Кирхгофа, одинакова для всех тел. ρ - функция от н и Т. Так как

для абсолютно черного тела α(ν,T) = 1, то ε(ν,T) = ρ(ν,T) . В этом случае ε(ν,Т) на- зывается излучательной способностью абсолютно чёрного тела.

Введем новое понятие характеризующее равновесное излучение. Спектральная плот- ность равновесного излучения:U (ω,T ) – энергия равновесного излучения при темпе- ратуре Т, приходящая на единицу объёма пространства и бесконечно малый интервал

частоты dщ вблизи ω : dW = VU(ω,T)dω	(20.8)
Формула Рэлея-Джинса.

В соcтоянии теплового равновесия средняя энергия, приходящаяся на один осциллятор

поля: <W> = kT

(20.28)Для механического осциллятора средняя энергия

равна: < W >=

. Но у нас средняя энергия состоит из магнитной и электрической

энергий: <W>=<W>электр+<W>магн=kT.

Тогда спектральная плотность излуче-

ния ( 20.27) примет

U(ω,T)

щ2

вид: U(щ,T) =

(20.29)

р2c3

Эта формула носит название Рэлея-

Джинса.

На рисунке 20.7 приведена зависи-

мость спектральной плотности от час-

тоты. Кривые (а) и (б) – качественно

различны. Как видно из рисунка Фор-

Рис.20.7.Зависимость спектральной плотности

мула Рэлея – Джинса согласуется с

от частоты: (а)- экспериментальная

экспериментальными данными только

кривая; (б)- кривая, полученная из

в области малых частот и больших

закона Рэлея – Джинса; (в)- кривая,

температур. Формулу (20.29) нельзя

полученная из закона Вина.

считать правильной во всем интервале частот, она верна только для низких частот. Несоответствие экспериментальной кри-

вой с кривой, полученной из закона Рэлея – Джинса в ультрафиолетовой области.

Теорема Вина.

Главный недостаток формулы Рэлея - Джинса – неограниченный рост спектральной плотности излучения при росте щ и, кроме того, полная (интегральная) по частоте

∞
энергия теплового излучения стремится к ¥: òU (ω ,T )dω Þ ¥	(20.30), что
0

противоречит здравому смыслу – это явление названо парадоксом Рэлея-Джинса или

ультрафиолетовой катастрофой.

Формула Вина определяет спектральную плотность излучения в области больших час-

тот: U (ω , T ) ≈ ω 3 e − γ	ω
тот: U (ω , T ) ≈ ω 3 e − γ	T ,	гдег = const .	(20.31)

Кривая, полученная из уравнения (20.31), хорошо согласуется с экспериментом для средних и высоких частот (рис. 20.7):

ì	2		ω ® 0	(Рэлея - Джинса)
ïω T ,			ω ® 0	(Рэлея - Джинса)
U (ω,T ) » í		−γ	ω		(20.32)
ïω 3e		−γ	T , ω ® ¥	(Вина)	(20.32)
î

Задача определения явной функции Кирхгофа невозможно решить в рамках классиче- ской физики. Эта задача в начале нашего века (1900 г.) была успешно решена немец- ким физиком М. Планком. Ему удалось подобрать эмпирическое выражение, которое блестяще согласовывалось с экспериментальными данными:

U (ω

, T ) =

h ω 3

(20.33)

2 c 3

h ω

− 1

, где h =

h = 6,626176(36) ×10−34

Дж×сек, h = 1,0545887(57) ×10−34

Дж×сек.

2р

Вопрос №48

Вывод формулы Планка

Для этого предположим, что атом, взаимодействующий с излучением, может изменять свою энергию не непрерывно, а порциями – квантами. Энергия кванта равна W0. Тогда

возможные значения энергии (рис.20.8): Wn = nW0

(20.34)

Это предположение ещё не означает отказ от классической модели, если возможен предельный переход W0 → 0 . Вероятность того, что атом находится на энергетиче- ском уровне с номером n определяется распределением Больцмана:

ì	nW	ü
p(n) = C expí-	0	ý (20.35) или p(n) = Cexp{−nx} (20.36)
	kT
î		þ	W 0
, где n = 0,1,2,3…,		Х =		(20.37)
			kT

Кроме того, вероятность нахождения атома на уровнях n:

∞
å p(n) = 1	(20.38)

n=0

Ри с .2 0. 8.Кван то ва н и е э н е р ги и .

Подставим (20.36) в (20.38) следует:

∞		1
С −1 = å e − nХ =		1		(20.39) или С = 1− e− X	(20.40)
С −1 = å e − nХ =		1 − e	− X	(20.39) или С = 1− e− X	(20.40)
n =	0	1 − e

	∞
Среднее значение в математике определяется как:	< f >= å fp(n)		(20.41)
	n =	0

Для нас важно знать какую величину подставлять вместо среднего значения <W>.

∞		∞
∞		(20.42) <W >=СW0 åne−nX
< W >= å Wn p(n)		(20.42) <W >=СW0 åne−nX	(20.43)
n =	0	n=0

Заметим, что:


∞		∂		∞
				å e − nX
åne−nX	= −
		∂ X
n=0				n = 0
∞			¶ æ				1
åne−nX =					ç	-
							1- e	− X
n=0			¶X è

Откуда средняя энергия равна:

(20.44) Но тогда из (20.39) следует:

ö	=		e− X
÷						(20.45)
		(1	- e−X )2
ø
< W >=					W0	,
				e	X
					-1

или < W >=	W0	(20.46)
	eW0 / kT − 1

Из формулы (20.46) при температуре стремящейся к абсолютному нулю:

< W >≈

= kT

(20.47)

1+ W0

−1

Таким образом, из уравнения (20.27) следует:

U (ω,T) =

ω2

<W >=

ω2

(20.48)

/ kT

−1

π 2c3

Это значит, что атом обладает дискретным набором уровней энергий.

Вопрос №49

Законы излучения абсолютно чёрного тела

Найдём полную энергию излучения по всему интервалу частот ( 0,∞ ), содержащуюся в единице объёма:

∞

dω

æ∞

= òU (ω,T )dω =

æ kT ö

= σT

hω / kT

−1

-1

h ø

, где k – постоянная Больцмана, а выражение под интегралом – табличное:

∞	x3				π 4
ò				dx =	15 , σ - постоянная Стефана – Больцмана:
ò	eX	−1		dx =	15 , σ - постоянная Стефана – Больцмана:
0
σ =			π 2 k 4			=	7,55 ×10	−15	эрг × см −3
σ =		15 h 3 c 3				=	7,55 ×10	−15	K 4
		15 h 3 c 3							K 4

(20.49)

(20.50)

Уравнение (20.49) носит название закон Стефана-Больцмана. Закон гласит, что

полная мощность теплового излучения в единице объёма возрастает пропорционально четвёртой степени абсолютной температуры.

Закон смещения Вина: длина волны лmax , на которую приходится максимум

спектральной плотности теплового излучения уменьшается обратно пропорционально

абсолютной температуре тела:	λ	= const	(20.51)
	max	T

Чтобы получить этот закон из формулы Планка, выразим спектральную плотность че-

рез λ : U (ω ,T ) \| dω \|= U (λ ,T ) \| dλ \|			(20.52)
		dω
или	U (λ ,T ) = U (ω (λ ), T )		(20.53)
		d λ

U (λ ,T ) = 8πch			1
			ehc /( λkT ) − 1
	λ5
Для максимального значения U(л,T) :
∂U = 0 →	xeX	= 5
	eX −1
∂λ

где	x =	hc
		kTλmax

Уравнение (20.55) решается элементарно: так как eX х=5. Решение трансцендентного уравнения (20.55)

или λmax =	hc	1
	4,965		kT

(20.54)

(20.55)
(20.56)
>> 1, следовательно		xeX	= 5	, или
>> 1, следовательно		eX	= 5	, или
		eX
: x = 4,965	(20.57)
(20.58)

Пример.

1)Максимум излучения Солнца приходится на λmax ≈ 0,5 мкм. Определить температу- ру поверхности Солнца.

Считая Солнце абсолютно чёрным телом находим из (20.58) TÄ = 6000 K .

2)До какой температуры может нагреть солнечный свет некоторое чёрное тело на по- верхности Земли?

Будем считать, что предел нагревания определяет собственное тепловое излучение тела. Тогда условие теплового баланса для некоторого элемента поверхности тела dу можно представить в виде равенства:

		dPпад	= dPизл		dPпад = Icdσ Ic – интенсивность солнечного света.
	dPизл = dσ ∞ò ρ (ω,T )dω				ρ(ω,T ) – излучательная способность.
			0
Из фотометрии известно, что					ρ(ω,T ) = c	c	u(ω,T )
Из фотометрии известно, что					ρ(ω,T ) = c		u(ω,T )
					4
	¥
	òu(ω,T )dω = σT 4			– закон Стефана-Больцмана
	0
или		dP изл	= χ T 4	–	энергетическая светимость
или		d σ	= χ T 4	–	энергетическая светимость
		d σ

χ =	c	σ	χ = 5,66*10	−12	Вт
	4				см2 К 4

Т.о. T = 4Ic / χ

Это предельная температура, до которой может нагреть солнечный свет чёрное тело на Земле. Интенсивность солнечного света у поверхности Земли:

Ic ≈ 0,1Вт / см2

Откуда T = 3650 K = 920 C .

Вопрос №50

Число мод замкнутой плоскости.Понятие оптического резонатора.

Наша задача - расчитать спектральную плотность U(щ,T) . Это можно сделать на осно-

ве известного из термодинамики закона о равнораспределении энергии по степеням свободы: на каждую степень свободы приходится энергия kT2 , где k – постоянная

Больцмана. Чтобы применить этот закон к тепловому излучению необходимо найти число степеней свободы излучения в замкнутой полости.

Основная идея состоит в том, что внутри замкнутой полости устанавливаются стоячие

волны. Эти волны имеют следующие свойства:
1) их пространственная структура стационарна.
1) их пространственная структура стационарна.
2) энергия, падающая на стенку полости равна
2) энергия, падающая на стенку полости равна
энергии излученной стенкой. Простейшая полость
– оптический резонатор.
– оптический резонатор.
3) поле внутри резонатора можно представить дис-
кретным числом волн – мод.		0			L z
кретным числом волн – мод.		0			L z
Это количество мод и будет искомым числом сте-			Рис. 20.4. Модель резонатора с
пеней свободы.			Рис. 20.4. Модель резонатора с
пеней свободы.				плоскими зеркалами.
Рассмотрим поле, заключённое между двумя пло-				плоскими зеркалами.
Рассмотрим поле, заключённое между двумя пло-
скими зеркалами рис. 20.4.
Поле будет удовлетворять одномерному волновому уравнению:
∂ 2 E2	− 1 ∂ 2 E2 = 0		(20.8)
∂z	c ∂t

Считаем зеркала идеальными проводниками, тогда граничные условия запишутся:

E(0,t)=E(L,t)=0	(20.9)
Решения уравнения (20.8) найдем в виде: E ( z, t ) =	A(t ) sin k z × z	(20.10)
Тогда из уравнений (20.10) и (20.8) следует: ∂ 2 A2 + c 2 k z2 A = 0		(20.11)
∂t
Амплитуда волны: A(t) = A0 cos(ωt − φ) , ω = ck z	(20.12)

Из граничного условия следует дискретность решений уравнения (20.11). Согласно

уравнениям (20.10) и (20.9): sin k z L = 0		(20.13)
или kz L = mzπ , mz = 1,2,3...	πc	(20.14)
Следовательно: ω = ck z = m z		(20.15)
	L

Т.о. каждая из мод характеризуется своим пространственным распределением поля и

имеет свою частоту. Назовём её пространственным осциллятором поля (частоты по-

лости квантуются) рис.20.5:

Согласно (20.14) в про-

странстве волновых чисел

kz на долю каждого осцил-

лятора приходится ячейка

m=1

m=2

m=3

размером

k = π / L (рис.

20.6, а): k z 1 − k z 2

= π .

Рис. 20.5. Формирование модлазерного излучения

между плоскими зеркалами резонатора.

В общем случае получаем

ячейку объемом, представленным на рисунке

= A 0

(20.6, б)

ω t + φ )

(20.16)

E ( x , y , z , t )

sin

k X x sin k Y y sin k Z z cos(

Так что получаем уравнение сферы в k – про-

странстве: k X2

+ kY2

+ k Z2 ≡ k 2

= ω2 (20.17)

, где mz, mx, my = 1,2,3…

k x L = m xπ ,

k y L = m yπ , k z L = m zπ (20.18)

π/L

Объем каждого кубика (рис. 20.6, б) в единице

объема k – пространства равен:

π/L

v k

= (π

L )

(20.19)

а)

б)

Теперь можно расчитать полное число степеней

свободы поля. Рассмотрим поле в диапазоне

Рис. 20.6. Квантование волнового вектора (а).

частот от 0 до ω. Тогда волновые числа занима-

Единичный объем в случае трех

ют диапазон от 0 до k = ω/c.

В пространстве

измерений (б).

волновых чисел уравнение (20.17) – уравнение

сферы, охватывающей шар объёмом

V ш'

π k 3

(20.20)

Физически различным осцилляторам отвечают числа k X ,

k Y , k Z

определённого зна-

ка, скажем kX ,kY , kZ > 0 . Поле остальных чисел отличается только фазой. В положи-

тельный октант пространства волновых векторов попадает только 1/8 часть объёма

шара. V ш( k )

π k 3

(20.21)

Искомое число осцилляторов равно отношению объёма Vш(k ) к объёму ячейки vk из

уравнения (20.19):

N ′ = V ( k )

(20.22)

V k

′

ω 2 L3

или

= 6π 2 c3

(20.23)

Поскольку каждая волна может иметь две независимых поляризации, то

N = 2N′ =		ω3				L3	(20.24)
		3π	2	c	3

На интервале от ω до ω + dω приходится dN мод поля:
dN =	ω 2 L3						(20.25)
	π 2c3

Тогда спектральная плотность излучения будет равна:

U (ω , T ) =	dN	< W >	(20.26) или	U (ω,T ) =
	L 3

где <W> – средняя энергия, приходящаяся на осциллятор поля.

ω 2				< W > , (20.27)
π	2	c	3

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.08.2019223.23 Кб13Laboratornaya_rabota_10.doc
#
27.08.20192.3 Mб23Laboratornaya_rabota_13.doc
#
27.08.2019946.69 Кб4Laboratornaya_rabota_7.doc
#
27.08.2019196.61 Кб2Laboratornaya_rabota__12.doc
#
23.08.201962.99 Кб6landshafty.docx
#
20.03.20151.21 Mб11Lections_V.pdf
#
20.03.2015735.23 Кб116Lectures_Оn_Lexicology.pdf
#
09.11.201965.54 Кб0Lecture_1.doc
#
09.11.2019129.54 Кб3Lecture_3.doc
#
09.11.2019158.21 Кб1Lecture_4.doc
#
09.11.201990.62 Кб3Lecture_5.doc