Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы физики твёрдого тела. Учебное пособие
.pdf
Рис. 25
V
h
4
π
m
m
2
V
h
2
π
()
Так как каждой ячейке отвечает одно квантовое состояние микрочастицы, то число состояний, приходящихся на
интервал dp, заключённый между р и р + dp, равно
gpdp
()
=
3
2
pdp
. (73)
Для свободных, не взаимодействующих друг с другом
частиц
2
p
E
,
dE
p
dp= =
.
Находя отсюда р и dp и подставляя в (73), получим:
3
gEdE
()
=
3
2
mEdE
2
()
⋅
. (74)
Поделив левую и правую части соотношения (74) на dE,
получим плотность состояний
gE
, выражающую число
состояний микрочастицы, приходящееся на единичный интервал энергий:
81
V
h
mE
2
3
π
E
V
h
mE
4
π
h
mE
2
Ek
2
gE
()=()
3
2
2
. (75)
Из (75) видно, что с ростом Е плотность состояний уве-
личивается пропорционально
(рис. 26). Кроме того,
плотность состояний зависит от массы частицы, увеличиваясь с ростом m.
Рис. 26
В случае электронов каждой фазовой ячейке отвечает
не одно, а два состояния, отличающееся друг от друга направлением спина, поэтому для электронов плотность состояний следует удвоить:
3
gE
()=()
3
2
2
. (76)
Интегрируя (76) по энергиям в пределе от 0 до Е, получим число состояний микрочастицы, заключённое в интервале от 0 до Е:
3
3
3
2
⋅
2
()
82
2
.
Полагая
G
3
2
π
=
, найдём:
T=
V
3
3
n
510
3
<
,:
~,05
T=105K
2
mkT
2
GV
π
.
2
h
Подставив этот результат в (66), получим выражение
для критерия невырожденности:
3
2
2
h
mkT
<<
1
. (77)
n
2
π
Рассмотрим электронный газ в металлах. Для него
−
≈⋅
м3,
m =⋅
9110
28
ния в (77), будем иметь: левая часть (77) равна
31
кГ. Подставив эти значе-
при
, что много выше температуры плавления. Поэтому в реальных условиях электронный газ в металлах всегда
вырожден, вследствие чего он должен описываться квантовой статистикой Ферми-Дирака.
83
17. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
1
ДЛЯ ВЫРОЖДЕННОГО ГАЗА ФЕРМИНОВ
Она имеет следующий вид:
fE
ф
1
Е
kT
е
, (78)
где μ – химический потенциал вырожденного электронного
газа, который чаще называют уровнем Ферми.
Функцию (78) называют функцией Ферми-Дирака. Наглядное представление о ней можно получить, рассматривая
вырожденный электронный газ в металлах при абсолютном
нуле. Металл для свободных (валентных) электронов является своеобразной потенциальной ямой, выход из которой
требует затрат работы по преодолению сил связи, удерживающих электроны в металле. На рис. 27 представлена схема
такой потенциальной ямы.
Рис. 27
Горизонтальными линиями показаны энергетические
уровни, которые могут занимать электроны. В соответствии
с принципом Паули на каждом таком уровне могут разме-
84
ститься два электрона с противоположными спинами. Если
N
2
V
h
mE
⋅⋅
4
π
электронный газ содержит N электронов, то последним занятым окажется уровень
. Этот уровень и называется
уровнем Ферми для вырожденного электронного газа. Он
соответствует максимальной кинетической энергии Еф, которой может обладать электрон в металле при абсолютном
нуле. Её называют энергией Ферми.
Таким образом, при абсолютном нуле все состояния
с энергией Е < Еф заняты электронами, состояния с энергией Е > Еф свободны. Иначе говоря, при Т = 0 К вероятность
заполнения электронами состояний с энергией Е < Еф равна
1, вероятность заполнения Е > Еф равна нулю:
fф(Е)=
1для Е<E
0для Е>E
ф
ф
Рис. 28
На рис. 28а показан график функции распределения
Ферми-Дирака при абсолютном нуле. Умножая единицу на
число состояний, получим функцию распределения ФермиДирака при абсолютном нуле:
3
NEdE
()
=
3
85
2
2
()
dE
. (79)
График этой функции показан на рис. 28б.
hn
N
V
ЕЕ
Интегрируя (79) в пределах от 0 до Еф, получим:
2
2
3
m
3
2
, откуда
2
3
, (80)
где
8
V
NEm
3
Е
n
=
- концентрация электронного газа в металле.
3
h
ф
ф
28
Зная Еф, можно определить среднюю энергию электронов при абсолютном нуле:
Зная Еф и
, можно найти максимальную νF и средне-
Е
0
3
0
. (81)
ф
5
квадратичную νкв скорости движения свободных электронов
в металле при абсолютном нуле:
2
E
vm
F
ф
v
,
2квЕ
0
. (82)
m
Из соотношения Еф = kTф можно найти температуру
Ферми Tф:
Е
Тk
ф
ф
, (83)
где k – постоянная Больцмана. Tф показывает, при какой температуре обычный невырожденный газ с массой молекул,
равной массе электрона, имел бы энергию теплового движения kT, равную энергии Еф.
рака. С повышением температуры электроны подвергаются тепловому возбуждению и переходят на более высокие
энергетические уровни, вследствие чего меняется характер
их распределения по состояниям.
Влияние температуры на распределение Ферми-Ди-
86
Однако в интервале температур, в котором энергия те-
NN
плового движения kT остаётся значительно ниже энергии
Ферми Е = Еф, тепловому возбуждению могут подвергаться электроны лишь узкой полосы kT, непосредственно расположенной у уровня Ферми (на рис. 29 возбуждённые состояния показаны штриховкой). Электроны более глубоких
уровней остаются практически незатронутыми.
Рис. 29
В результате теплового возбуждения часть электронов, имевших энергию, меньшую Еф, переходит на уровни
с энергией, большей Еф. Из рис. 29 видно, что повышение
температуры вызывает размытие распределения на глубину
kT и появление «хвоста» распределения ВС. Чем выше тем-
пература, тем более существенному изменению подвергается функция распределения. Сам «хвост» ВС описывается
уже максвелловским распределением.
На рис. 29 заштрихованные площадки пропорциональны числу электронов, покидающих состояния с энергией
Е < Еф (площадка АДВ) и переходящих на уровни, располо-
женные выше Еф (площадка ЕфВС). По величине эти площадки равны, так как выражают одно и то же число электронов. Оценить это число можно по соотношению
2
87
kT
E
ф
. (84)
При комнатной температуре kT ≈ 0,025 эВ, Еф = 3 ÷ 10 эВ,
N
N
N
=≈
∆
∆N
поэтому
< 1%
; при
T
.
÷1000 12K
%
Таким образом, во всём диапазоне температур, в котором электронный газ в металле является вырожденным, его
распределение мало отличается от распределения при абсолютном нуле.
С невырожденным электронным газом приходится
иметь дело в собственных (беспримесных) и в слаболегированных полупроводниках. Концентрация свободных электронов в таких полупроводниках значительно ниже, чем
в металлах, и колеблется от 1016 ÷ 1019 до 1023 ÷ 1024 м –3. При
таких концентрациях выполняется условие невырожденности (66) и электронный газ оказывается невырожденным.
88
18. ТЕПЛОЁМКОСТЬ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА
В металлах помимо ионов, образующих решётку и колеблющихся около положения равновесия, имеются свободные
электроны, число которых в единице объёма примерно такое
же, как и число атомов. Казалось бы, что теплоёмкость металлов должна быть больше, чем теплоёмкость диэлектриков.
В действительности же в области высоких температур, в которой выполняется закон Дюлонга и Пти, металлы, как и диэлектрики, обладают теплоёмкостью СV ≈ 25 Дж/моль ∙ град,
что свидетельствует о том, что электронный газ не вносит заметного вклада в теплоёмкость металлов.
Это обстоятельство, совершенно непонятное с классической точки зрения, нашло естественное объяснение
в квантовой теории.
Как уже отмечалось, электронный газ в металлах является вырожденным, и при повышении температуры в области высоких температур тепловому возбуждению подвергается лишь незначительная доля электронов (менее 1 %),
определяемая соотношением (84).
Остальные электроны теплоту не поглощают. Поэтому теплоёмкость такого газа незначительна по сравнению
с теплоёмкостью решётки и теплоёмкость металла в целом
практически равна теплоёмкости его решётки.
Иначе обстоит дело в области низких температур, близких к абсолютному нулю. В этой области теплоёмкость решётки с понижением температуры падает пропорционально
Т 3 и вблизи абсолютного нуля может оказаться столь малой,
что основное значение может приобрести теплоёмкость
электронного газа, которая падает значительно медленнее.
89
19. СОБСТВЕННЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ.
ПОНЯТИЕ О ДЫРКАХ
Химически чистые полупроводники называют собствен-
ными полупроводниками. На рис. 24г показана упрощённая
схема зонной структуры собственного полупроводника.
При абсолютном нуле его валентная зона укомплектована
полностью, зона проводимости, расположенная над валентной зоной на расстоянии
E
, является пустой. Поэтому при
g
абсолютном нуле собственный полупроводник, как и диэлектрик, обладает нулевой проводимостью.
Однако с повышением температуры вследствие термического возбуждения электронов валентной зоны часть
из них приобретает энергию, достаточную для преодоления запрещённой зоны и перехода в зону проводимости
(см. рис. 24г). Это приводит к появлению в зоне проводимости свободных электронов, а в валентной зоне – свободных уровней, на которые могут переходить электроны этой
зоны. При приложении к такому кристаллу внешнего поля
в нём возникает направленное движение электронов зоны
проводимости и валентной зоны, приводящее к появлению
тока. Кристалл становится проводящим.
Чем уже запрещённая зона и выше температура кристалла, тем больше электронов переходит в зону проводимости,
и тем более высокую электропроводность приобретает кристалл. Так у германия, имеющего Eg = 0,66 эВ, уже при комнатной температуре, концентрация электронного газа в зоне
проводимости достигает величины ni ≈ 10
19 м –3
и удельное
сопротивление составляет всего ρi ≈ 0,48 Ом ∙ м. В то же
время у алмаза, имеющего Eg = 5,2 эВ при комнатной тем-
пературе ni ≈ 104 м –3 и ρi ≈ 108 Ом ∙ м. Но уже при Т = 600 К
концентрация электронного газа в алмазе увеличивается на
много порядков и удельное сопротивление становится того
же порядка, что и у германия при комнатной температуре.
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]