Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы физики твёрдого тела. Учебное пособие
.pdf
Наличие зоны, заполненной лишь частично, присуще
Fq=−
ε
металлам.
Ко второй группе относятся тела, у которых над целиком
заполненными зонами располагаются пустые зоны (см. рис.
24в, г). Типичным примером таких тел являются химические
элементы IV группы таблицы Менделеева – углерод в модификации алмаза, кремний, германий, серое олово. К этой же
группе относятся окислы металлов, нитриды, карбиды и т. д.
Согласно зонной теории твёрдых тел, электроны внешних энергетических зон имеют практически одинаковую
свободу движения во всех телах независимо от того, являются они металлами или диэлектриками.
Отсюда, наличие свободных электронов, способных
перемещаться по кристаллу, является лишь необходимым
условием появления у тел проводимости, но ещё не достаточным. Чтобы сформулировать достаточное условие,
рассмотрим поведение во внешнем поле электронов, находящихся в частично заполненных и целиком заполненных
энергетических зонах кристалла.
Создадим в кристалле внешнее поле ε. На каждый
электрон это поле действует с силой
, которая стремится нарушить симметрию в распределении электронов
по скоростям, пытаясь затормозить электроны, движущиеся
против силы, и ускорить электроны, движущиеся в направлении действия силы. Так как подобное ускорение и замедление неизбежно связано с изменением энергии электрона,
то оно означает переход электрона в новые квантовые состояния с большей или меньшей энергией.
Такие переходы могут осуществляться, очевидно, лишь
в том случае, если в энергетической зоне, к которой принадлежат данные электроны, имеются незанятые состояния,
т. е. если зона укомплектована неполностью.
В этом случае уже слабое электрическое поле способно
сообщить электронам достаточный добавочный импульс,
71
чтобы перевести их на близлежащие свободные уровни.
EE
3M
В теле появится преимущественное движение электронов
против поля, обусловливающее возникновение электрического тока. Такие тела должны быть хорошими проводниками, что и имеет место в действительности.
Теперь представим, что валентная зона кристалла заполнена целиком и отделена от близлежащей свободной зоны широкой энергетической щелью
<
, приложенное к такому кристаллу, не в состоянии из-
g
E
(см. рис. 24в). Внешнее поле
g
менить характер движения электронов в валентной зоне, так
как оно не способно поднять электроны в вышележащую свободную зону. Внутри же самой валентной зоны, не содержащей ни одного свободного уровня, оно может вызывать лишь
перестановку электронов местами, что не нарушает симметрии распределения электронов по скоростям. Поэтому в таких телах внешнее электрическое поле не способно привести
к появлению электрического тока, вследствие чего они должны обладать практически нулевой электропроводностью.
Таким образом, достаточным условием появления у тел
высокой проводимости является наличие в их энергетическом спектре энергетических зон, укомплектованных электронами лишь частично, как это имеет место у типичных
металлов (см. рис. 24 а, б). Отсутствие же таких зон в энергетическом спектре твёрдых тел второй группы делает их
непроводниками, несмотря на наличие в них свободных
электронов, способных двигаться по всему кристаллу.
По ширине запрещённой зоны тела второй группы условно делят на диэлектрики и полупроводники. К диэлектрикам относят тела, имеющие относительно широкую запрещённую зону. У типичных диэлектриков
Eg>
эВ.
К полупроводникам относят тела, имеющие сравнительно узкую запрещённую зону (см. рис. 24г). У типичных
полупроводников Eg ~ 1 эВ. Так, у германия Eg = 0,66 эВ;
у кремния Eg = 1,08 эВ; у арсенида галлия Eg = 1,43 эВ.
72
15. ЭЕМЕНТЫ ФИЗИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Способы описания состояния макроскопической системы. Существует два способа описания состояния кол-
лектива, состоящего из большого числа микрочастиц – термодинамический и статистический. Рассмотрим кратко суть
первого и более подробно суть второго.
При термодинамическом подходе коллектив частиц рассматривают как макроскопическую систему, нисколько не
интересуясь теми частицами, из которых он состоит. Такую
систему называют термодинамической системой.
Термодинамическая система может быть изолированной и неизолированной. Неизолированная система может
обмениваться с окружающей средой теплотой и работой.
Состояние системы, в котором она может находиться
сколь угодно долго, называется равновесным. Оно однозначно определяется заданием параметров состояния. Основными из них являются объём системы V, давление Р
и температура Т.
Совокупность всех видов энергии, заключённой в изолированной системе, называют внутренней энергией (Е) системы. Она складывается из кинетической энергии частиц,
образующих систему, потенциальной энергии взаимодействия частиц и внутренней энергии самих частиц (которая
не учитывается, так как при тепловых процессах она не изменяется).
Внутренняя энергия является функцией состояния системы. Это означает, что каждому состоянию отвечает только одно значение внутренней энергии независимо от того,
каким образом система пришла в это состояние.
Термодинамика базируется на трёх началах, полученных путём обобщения экспериментальных данных. Здесь
мы коснёмся только первого из них: изменение внутренней
энергии системы dE должно быть равно разности между
73
количеством теплоты
∆QTds=
∆A pdV=
dE QA=−∆∆
∆A pdV=
∆QTds=
dE Tds pdV=⋅ −
dE Tds pdV dN=⋅ −+
µ
dN
Q
T
==
dV = 0
dE dN=
µ
dE
dN
и работой
, совершённой системой против внешних сил:
, полученной системой извне,
, (62)
, где dV- изменение объёма системы;
, где ds- изменение энтропии. Подставив эти со-
отношения в (62), получим:
. (63)
Однако энергия системы может измениться также при
изменении числа частиц N в ней, так как каждая уходящая
частица уносит с собой определённую энергию. Поэтому
в общем виде закон сохранения энергии нужно записать так:
где
- изменение числа частиц в системе. Параметр μ
, (64)
называется химическим потенциалом системы. Установим
его физический смысл. Для изолированной системы постоянного объёма, которая не получает и не отдаёт теплоту,
ds
∆
и
0
. Тогда
,
а значит,
Таким образом, химический потенциал выражает изменение энергии изолированной системы постоянного объёма, вызванное изменением в ней числа на единицу.
Статистический способ описания коллектива. Состояние каждой частицы коллектива описывается заданием
трёх её координат и трёх составляющих импульса. Составляя уравнения движения для частиц и решая их, можно, казалось бы, получить полные сведения о поведении системы
и предсказать её состояние в любой момент времени.
µ
=
. (65)
74
Однако, если бы такое решение и было проведено
2
2
2
,,
02,, ,...
(а для 1 м3 воздуха при нормальных условиях пришлось бы
решать 1026 связанных между собой уравнений движения
молекул), оно оказалось бы бесплодным, так как свойства
системы, пришедшей в равновесие, не только не зависят от
начальных значений координат и составляющих импульса,
но и вообще остаются неизменными с течением времени,
несмотря на то, что координаты и импульсы частиц непрерывно изменяются. Отсюда следует, что коллектив, как целое, является системой, качественно отличной от отдельных
частиц, и его поведение подчиняется другим закономерностям. Такими закономерностями являются статистические
закономерности. Именно им мы обязаны, в частности, тем,
что в равных элементах объёма содержится в среднем одинаковое число молекул.
Основной особенностью статистических закономерностей является их вероятностный характер. Они позволяют
предсказывать лишь вероятность наступления того или иного события. Так, если бросать монету, то предсказываемая
вероятность выпадения герба или решки равна
1
. От этого
значения вероятности могут быть и обязательно будут отступления в отдельных испытаниях. Такие отступления называются флуктуациями. Однако чем больше испытаний,
т. е. чем больше членов коллектива, тем определённее и точнее становятся статистические предсказания.
Невырожденные и вырожденные коллективы. Все
микрочастицы по характеру поведения в коллективе можно
разделить на фермионы и бозоны.
К фермионам относятся электроны, протоны, нейтроны
и другие частицы с полуцелым спином:
...
К бозо-
3
нам относятся фотоны, фононы и другие частицы с целочисленным спином:
75
В коллективе фермионы проявляют в силу принципа
N
G
N
G
⊕1
Паули стремление к «уединению». Если данное квантовое
состояние уже занято, то никакой другой фермион данного
типа не может находиться в этом состоянии. Бозоны, напротив, могут неограниченно заселять одно и то же состояние.
Как указанная специфика частиц сказывается на свойствах коллектива? Очевидно, что для проявления специфики микрочастицы должны достаточно часто «встречаться»
друг с другом (попадать в одно и то же состояние).
Предположим, что на N одинаковых микрочастиц приходится G различных состояний. Тогда, если
<< 1
, (66)
то специфика фермионов и бозонов проявиться не может,
поскольку в распоряжении каждой микрочастицы имеется
множество свободных состояний и вопрос о заселении одного и того же состояния практически не возникает. Подобные коллективы называются невырожденными, а условие
(66) называют условием невырожденности.
Если же выполняется условие
≈ 1, (67)
то специфика частиц проявляется в полной мере. Такие коллективы могут образовываться, очевидно, только из квантово-механических объектов, так как только у таких объектов
параметры состояния изменяются дискретно, вследствие
чего число G возможных состояний может быть конечным.
Эти же объекты могут образовывать и невырожденные
коллективы, если выполняется условие (66).
Физическая статистика, изучающая свойства вырожденных коллективов, называется квантовой статистикой.
76
Наиболее важное различие классической и квантовой
()
()
fE
()
статистик связано с принципом тождественности одинаковых частиц. Этот принцип действует только в квантовой механике. Согласно ему, в природе реализуются лишь те квантовые состояния, которые не изменяются при перестановке
одинаковых частиц местами. Это приводит к тому, что вероятности микросостояний подсчитываются в классической
и квантовой статистиках по-разному, при этом оказывается,
что в квантовой статистике системы частиц с целым и полуцелым спинам подчиняются разным статистикам. Квантовая статистика бозонов носит название статистики БозеЭйнштейна, а фермионов – статистики Ферми-Дирака.
Функция распределения. Из предыдущего следует:
чтобы задать состояние коллектива, например, газа частиц,
надо указать его термодинамические параметры; чтобы задать состояние частиц, надо указать значения их координат
и составляющих импульсов или энергию частиц, которая
определяется их координатами и импульсами.
Связь между этими типами величин осуществляет ста-
тистическая функция распределения
выражающая число частиц с энергией от E до E + dЕ в системе, состояние которой описывается термодинамическими параметрами μ и Т. Такую функцию называют полной
статистической функцией распределения. Для упрощения
записи значки термодинамических параметров у функции
распределения обычно опускают.
Полную функцию распределения можно представить
в виде произведения числа состояний
щихся на интервал энергий dE, на вероятность заполнения
этих состояний частицами. Обозначим последнюю через
. Тогда
NEdE
Tµ,
77
, (68)
gEdE
, приходя-
()=()()
fE
()
()
fE
()
()
NEdE fEgEdE
. (69)
Функцию
ления. Её можно также трактовать как среднее число частиц, находящихся в данном состоянии.
Таким образом, задача об отыскании полной функции
распределения частиц по состояниям сводится к отысканию
функций
gEdE
gEdE
.
называют просто функцией распреде-
и
. Определим сначала функцию
78
16. ЧИСЛО СОСТОЯНИЙ ДЛЯ МИКРОЧАСТИЦ.
()
()
xyzp pp
()
()
yz
ПОНЯТИЕ О ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
МИКРОЧАСТИЦЫ И ЕГО КВАНТОВАНИИ
В классической механике состояние частицы определяется заданием трёх координат
ppp
импульса
,,
xyz
.
xyz,,
и трёх составляющих
Представим себе шестимерное пространство с осями
координат
,,,,,
xyz
. Состояние частицы в этом про-
странстве в каждый момент времени будет определяться
xyzp pp
точкой
зовым, а точки
,,,,,
xyz
xyzp pp
,,,,,
. Такое пространство называют фа-
xyz
, определяющие состояние
частицы, называют фазовыми точками. Величина
∆Γ ∆Γ ∆Γ=⋅=
Vp xyz
dxdydzdp dp dp
(70)
называется элементом объёма фазового пространства. Здесь
∆ΓVdxdydz=
странства координат,
представляет собой элемент объёма про-
∆Γ
dp dp dp=
px
- элемент объёма про-
странства импульсов.
Так как у классической частицы координаты и составляющие импульса могут меняться непрерывно, то элементы
∆Γ
и
V
, а вместе с ними элемент ∆Γ могут быть сколь
∆Γ
p
угодно малыми.
Для системы невзаимодействующих частиц, не подверженной влиянию внешнего поля, потенциальная энергия
частиц равна нулю. Такие частицы называются свободными. Для них удобно пользоваться не шестимерным фазовым
пространством, а трёхмерным пространством импульсов.
В этом случае элемент
∆Γ
равен просто объёму V, в кото-
V
ром движутся частицы, поскольку никаких других ограничений на их положение не налагается.
Иначе обстоит дело с делением фазового пространства
на элементы объёма в том случае, когда частицей является
79
электрон или любой другой микрообъект, обладающий вол-
()
zz
++
()
V
44
ππ
новыми свойствами. Наличие у таких микрочастиц волновых
свойств исключает, согласно принципу неопределённостей,
xyzp pp
возможность различать два состояния:
xdxy dy zdzp dp pdpp dp
++++
,,,,,
изведение
dxdydzdp dp dp
xxyy
xyz
окажется меньше
,,,,,
xyz
, если про-
3
h
. Так как
и
это произведение выражает элемент объёма шестимерного
фазового пространства, то отсюда следует, что различным
элементам объёма шестимерного фазового пространства будут отвечать различные квантовые состояния микрочастицы лишь в том случае, если размер этих элементов объёма
3
не меньше
h
. Поэтому в квантовой статистике за элементарную ячейку шестимерного фазового пространства принимается объём, равный
∆Γ ∆Γ ∆Γ=⋅=
Vp
3
h
. (71)
Для свободных микрочастиц элемент трёхмерного про-
странства импульсов
3
∆Γ
h
=
p
. (72)
Каждому такому элементу соответствует квантовое со-
стояние, отличимое от других состояний.
Плотность состояний. Подсчитаем число состояний,
которым обладает микрочастица в интервале энергий от Е
до Е + dE. Для этого в пространстве импульсов проведём
сферы с радиусами p и p + dp (рис. 25).
Между этими сферами находится шаровой слой, имею-
2
4
≠
щий объём, равный
pdp
. Число элементарных фазовых
ячеек, заключённых в этом слое, равно
2
pdpV
∆Γ
=
p
80
2
pdp
3
h
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]