Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы физики твёрдого тела. Учебное пособие
.pdf
Количественный результат был впервые получен Толме-
=÷ ÷
()
−−
10 10
322233
<A<
ном и Стюартом и соответствовал электронам.
Так экспериментально было доказано, что носителями
тока в металлах являются электроны.
Ток в металлах можно вызвать крайне малой разностью
потенциалов. Это даёт основание считать, что носители
тока – электроны перемещаются по металлу практически
свободно.
Существование в металлах свободных электронов можно объяснить тем, что при образовании кристаллической решётки от атомов металлов отщепляются валентные электроны, которые и становятся «коллективной» собственностью
всего куска металла. Если от каждого атома отщепится по
одному электрону, то концентрация свободных электронов
п будет иметь порядок
n
28 29
10 10
–3
м
(1022 ÷ 1023 см –3).
41
7. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
T = 300 K
<c
/
(
)
10
22
A
<
<<
<c
21
/
ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ
Она была создана Друде исходя из представлений о свободных электронах, а затем усовершенствована Лоренцем.
Друде предположил, что электроны проводимости в металле ведут себя подобно молекулам идеального газа. В промежутках между соударениями они движутся совершенно
свободно, пробегая в среднем некоторый путь λ. При этом,
в отличие от молекул, электроны сталкиваются преимущественно не между собой, а с ионами, образующими кристаллическую решётку. Эти столкновения приводят к установлению теплового равновесия между электронным газом
и кристаллической решёткой.
Полагая, что на электронный газ могут быть распространены результаты кинетической теории газов, оценим
величину средней скорости v электронов при
−
kT
v
8813810 300
==
m
π
⋅⋅ ⋅
,
3149110
,,
23
⋅⋅
5
≈
−
10
31
м/с.
:
При включении поля на хаотическое тепловое движение
со скоростью
v
накладывается упорядочное движение
электронов с некоторой средней скоростьюu. Величину
u
можно оценить, исходя из формулы
jneu=
где j - плотность тока. Для медных проводов
, (33)
7
10
А/м
j =
(10 А/мм2).
Тогда:
7
10
⋅⋅
,
42
−
3
≈
10
−
9
м/с.
u
j
==
ne
10 16 10
2
Таким образом,
uv
vu
2
m
e
m
ε
λ
v
e
mv
ελ
<<
. Поэтому при вычислениях
модуль результирующей скорости
модулем скорости теплового движения
+
можно заменять
v
.
Закон Ома. Друде считал, что при соударении с ионом кристаллической решётки приобретённая электроном
2
mu
=
∆
дополнительная энергия
ε
k
передаётся иону,
а значит, скорость u делается равной нулю.
Предположим, что поле, ускоряющее электроны, однородно. Тогда под действием поля электрон получит ускоре-
e
ε
a
=
ние
τ
, и к концу пробега скорость упрядочного дви-
жения достигает в среднем значения
u
=
max
τ
, (34)
где τ- среднее время между двумя последовательными со-
ударениями электрона с ионами решётки.
Друде не учитывал распределение электронов по скоростям и приписывал всем электронам одинаковое значение
скорости v. В этом приближении
этому её среднее за пробег значение равно половине максимального
τ
=
. (35)
Подставив (35) в (34), получим
u
max
=
.
Скорость U изменяется за время пробега линейно. По-
43
u
e
mv
ελ
2
mv
=⋅
2
j =
σε
mv22
222
2
max
2
22
mu e
mv
mv
22
τλ
v
=
. (36)
Подстановка этого выражения в (33) даёт
2
ne
j
λ
ε
. (37)
Мы получили закон Ома в дифференциальной форме:
где проводимость
λ
ne
σ
=
, (38)
.
Если бы электроны не сталкивались с ионами решётки,
длина свободного пробега λ, а следовательно, и проводимость были бы бесконечно велики. Таким образом, согласно
классическим представлениям электрическое сопротивление металлов обусловлено соударениями свободных электронов с ионами кристаллической решётки.
Закон Джоуля-Ленца. К концу свободного пробега
электрон приобретает дополнительную кинетическую энергию, среднее значение которой равно
222
mu e
Е
k
max
==⋅
λ
2
. (39)
ε
2
При столкновении с ионом электрон полностью передаёт приобретённую энергию решётке. Сообщённая решётке
энергия идёт на увеличение внутренней энергии металла,
проявляющейся в его нагревании.
Каждый электрон претерпевает за секунду в среднем
1
=
соударений, сообщая всякий раз решётке энергию
(39). Поэтому в единице объёма за единицу времени должно
выделяться тепло
44
Ej
ερ
1
Q
C4 .
χ
"
χ
Qn
уд k
1
.
Δ
τ
ne
2
mv
2
λ
22
εσ
, (40)
где п – число электронов проводимости в единице объёма,
ρ
- удельное сопротивление;
=
σ
- удельная тепловая мощность тока.
уд.
Соотношение (40) выражает закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.
Закон Видемана-Франца. Из опыта известно, что наряду с высокой электропроводностью металлы отличаются также большой теплопроводностью. Видеман и Франц
установили эмпирический закон, согласно которому отношение коэффициента теплопроводности χ к коэффициенту
электропроводности σ для всех металлов приблизительно
одинаково и изменяется пропорционально температуре.
Из классической теории следует:
χ
=
σ
2
k
3
T
. (41)
e
Подстановка в (41) числовых значений k и е даёт выражение
−
=⋅⋅
22310
,
8
Т,
σ
которое хорошо согласуется с экспериментальными данны-
ми. Однако, когда Лоренц уточнил расчёты, отношение
стало хуже сходится с экспериментом.
σ
Итак, классическая теория смогла объяснить законы
Ома и Джоуля-Ленца, а также дала качественное объяснение закона Видемана-Франца.
Вместе с тем эта теория встретилась с существенными
трудностями. Из них основными являются следующие.
45
ρ
σλ
122mv
ne
vT
Из формулы
==
вытекает, что сопротивление
металлов должно возрастать пропорционально квадратному
корню из температуры, так как из всех входящих в это соотношение параметров только
, остальные же параме-
~
тры от температуры не зависят. Этот вывод теории противоречит опытным данным, согласно которым сопротивление
металлов растёт пропорционально первой степени Т.
Далее, для того, чтобы получить закон Ома, пришлось
предположить, что электрон при своём движении сталкивается со всеми попадающимися ему на пути узлами кристаллической решётки, а чтобы получить экспериментальное
значение удельного сопротивления, приходиться предполагать, что электрон без столкновений может проходить тысячи межузельных расстояний.
Наконец, теплоёмкость металлов должна быть в 1,5 раза
больше теплоёмкости диэлектриков, так как электронный
газ должен вносить свой вклад в теплоёмкость. В действительности же теплоёмкость металлов не отличается заметно
от теплоёмкости диэлектриков. Объяснить эти и другие несоответствия смогла лишь квантовая теория.
46
8. ЗОННАЯ ТЕОРИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
()
()
Современная теория твёрдого тела представляет собой
единую теорию твёрдого состояния, объясняющую на основе квантовой механики всю совокупность свойств и причины различия твёрдых тел. Твёрдое тело рассматривается как
многоядерная и многоэлектронная система, в которой действуют электростатические (кулоновские) силы. Магнитное
взаимодействие между атомными частицами гораздо слабее, чем электростатическое, и вносит лишь сравнительно
малые поправки.
Из основного уравнения динамики в нерелятивистской
квантовой механике – уравнения Шредингера можно получить в принципе все необходимые сведения о кристалле,
в том числе возможные значения его энергии, а также соответствующие этим энергетическим состояниям конфигурации ядер и пространственное распределение электронов.
Сведения о расположении ядер и электронов в кристалле
ψ
rr RR
даёт волновая функция
2
тегрировать
ψ
по всем электронным координатам
,,..., , ...
12 12
. Если проин-
r
, то
i
получится распределение вероятностей всех возможных
при данной энергии пространственных расположений ядер:
PRR
, ...
12
. Тем самым могут быть в принципе теоретически определены все возможные для данного вещества
структуры кристаллической решётки. Они соответствуют
тем конфигурациям ядер, при которых эта вероятность имеет максимумы.
Подставляя в волновую функцию значения координат
ядер
RR R
,,...
ной решётке кристалла, найдём, образуя
, соответствующие данной пространствен-
n12
2
ψ
, распределение
электронного заряда в решётке при этой конфигурации ядер.
Очерченный путь решения задачи, теоретически стро-
гий и отчётливый, оказывается неосуществимым из-за воз-
47
никающих математических трудностей. Ни в классической,
ни в квантовой механике не существует методов точного
решения динамической задачи для системы многих частиц.
Приближённое же решение удаётся получить с помощью
сведения задачи многих частиц к одноэлектронной задаче –
к задаче об электроне, движущемся в заданном внешнем
поле. Этот путь приводит к зонной теории твёрдых тел.
Первым шагом на этом пути является так называемое
адиабатическое приближение, суть которого состоит в разделении системы на тяжёлые и лёгкие частицы – ядра
и электроны. Вследствие резкого различия в их массах
и скоростях можно считать, что движение электронов
происходит в поле неподвижных ядер, тогда как на сравнительно медленное движение ядер влияет лишь среднее
пространственное распределение заряда электронов. Предполагая, что ядра жёстко закреплены в узлах кристаллической решётки, рассматривают движение электронов
в постоянном периодическом электрическом поле ядер. Тепловое движение атомов решётки и связанные с ним малые
колебания ядер можно считать малым возмущением, не
влияющим на энергетические состояния электронов; роль
его сводится к тому, что оно обусловливает обмен энергией
между электронами и решёткой и тем способствует установлению термодинамически равновесного распределения
электронов по состояниям.
Далее вводится самосогласованное поле. Суть этого
этапа в том, что взаимодействие данного электрона со всеми другими электронами и ядрами заменяется действием
на него стационарного электрического поля, обладающего
пространственной периодичностью кристаллической решётки. Это поле создаётся усреднённым в пространстве
зарядом всех других электронов и всех ядер. В конечном
счёте, многоэлектронная задача сводится к задаче о движе-
48
нии одного электрона в периодическом поле – усреднённом
и согласованном поле всех ядер и всех электронов.
Чтобы сделать обсуждение решения этой задачи более
понятным, рассмотрим сначала качественные состояния
электронов в свободном атоме и их изменения при конденсации свободных атомов в твёрдую фазу.
49
9. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИ
()
=−
()
21
()
()
n
42
22
2
L
=+
()
H
H
Lm
H
СВОБОДНЫХ АТОМОВ
Состояние электрона в атоме определяется четырьмя
квантовыми числами:
- главным
nn=
- орбитальным
123,,,...
;
01
,, ,..., n
;
- магнитным
mm
- магнитным спиновым
=− −+ +
ee
,..., ,, ,...,10 1
mm
ss
121
,
=+ −
;
.
2
Для атома водорода п определяет энергию атома в стационарном состоянии
En
En
()
:
=−
me Z
, (42)
где т и е – соответственно масса и заряд электрона;
Z – порядковый номер атома в периодической системе.
Орбитальное квантовое число определяет орбитальный момент импульса электрона
L
Магнитное квантовое число
:
1
. (43)
m
определяет ориентацию
орбитального момента импульса электрона относительно
избранного направления напряжённости магнитного поля
(рис.15): вектор
но направления
L
может ориентироваться относитель-
лишь так, что его проекция на это на-
правление целократна :
Z
Магнитное спиновое число
спинового момента импульса
избранного направления
=
. (44)
определяет ориентацию
m
s
L
электрона относительно
:
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]