Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории поля. Учебно-методическое пособие
.pdf
Министерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций
Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики»
(СибГУТИ)
Д. В. Воронин
Элементы теории поля
Учебно-методическое пособие
Новосибирск
2024
УДК [517.373+512.623](075.8)
Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ
Рецензент доктор физ.-мат. наук, проф. М.В. Нещадим
Воронин, Д. В. Элементы теории поля : учебно-методическое пособие / Д. В.
Воронин ; Сибирский государственный университет телекоммуникаций и
информатики, кафедра высшей математики. – Новосибирск, 2024. – 63 с.
Учебно-методическое пособие содержит определения, теоремы, примеры
и задачи по разделам «Поверхностные интегралы» и «Теория поля» курса
высшей математики для направлений 01.03.02 «Прикладная математика и
информатика», 02.03.02 «Фундаментальная информатика и информационные
технологии», 09.03.03 «Прикладная информатика», 38.03.05 «Бизнесинформатика».
© Воронин Д.В., 2024
© Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики, 2024
2
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 4
1.Понятие определенного интеграла для различных видов области
интегрирования 5
2.Достаточные условия существования определенного интеграла 7
3.Поверхности 8
4.Поверхностный интеграл 1-го рода 9
5.Геометрический и механический смысл поверхностного интеграла 1-го
рода 10
6.Свойства поверхностного интеграла 1-го рода 11
7.Поверхностный интеграл 1-го рода в декартовых координатах 14
8.Векторные и скалярные поля. Векторные линии 17
9.Градиент и производная по направлению 20
10.Поверхностный интеграл 2-го рода. Поток векторного поля 23
11.Дивергенция векторного поля 29
12.Выражение для дивергенции в декартовых координатах 30
13.Формула Гаусса-Остроградского 32
14.Циркуляция векторного поля 34
15.Ротор векторного поля 38
16.Выражение для ротора в прямоугольных декартовых координатах 39
17.Формула Стокса 43
18.Потенциальные, соленоидальные и гармонические поля 46
19.Вычисление потенциала в декартовых координатах 50
20.Задания для самостоятельного решения 53
Литература 62
4
Введение
Одним из важнейших разделов курса высшей математики является
математический анализ векторных функций векторного аргумента, называемый
также векторным анализом или теорией поля. Этот раздел часто используется в
физических и инженерных приложениях. Знания, полученные при изучении
векторного анализа, применяются в таких дисциплинах, как физика, теория
электрических цепей, механика сплошных сред, распространение радиоволн и
т.д.
Теория поверхностных интегралов и теория поля составляют важную часть
курса высшей математики для студентов технических специальностей и
специалистов в области прикладных наук. Поэтому этот раздел представляется
значимым для будущих специалистов в области информационных технологий и
их приложений в технических дисциплинах. Значит, эта часть курса высшей
математики актуальна и для студентов факультета информационных технологий
СибГУТИ. В частности, для направлений 01.03.02 «Прикладная математика и
информатика», 02.03.02 «Фундаментальная информатика и информационные
технологии», 09.03.03 «Прикладная информатика», 38.03.05 «Бизнесинформатика».
Данное учебное пособие разработано на основе многолетнего опыта
преподавания курса высшей математики студентам технических
специальностей. Оно включает основой теоретический курс с доказательством
теорем и примерами решения задач. В конце пособия приведены формулировки
задач, которые могут составить расчетно-графическое задание по этому курсу.
5
1.Понятие определенного интеграла для различных видов области
интегрирования
Рассмотрим некоторую область Ω. Это может быть отрезок прямой линии,
криволинейный отрезок, область на плоскости или поверхности, трехмерное
тело. Пусть в каждой точке M области Ω задана функция u = f(M). Разрежем
область произвольным образом на n частей. Обозначим через ΔΩi размер i-го
кусочка обрасти. Для прямолинейных или криволинейных отрезков ΔΩ
i
– длина
малого отрезка, для плоских областей или поверхностей – это площадь малой
области, для трехмерного тела – объем i-го кусочка. Размер всей области |Ω|
определяется формулой:
Обозначим через Mi произвольную точку, принадлежащую i-му кусочку
области (см. рис. 1).
Рисунок 1 – Область интегрирования Ω
Составим интегральную сумму:
Начнем дробить область Ω на более мелкие кусочки. Определенным
интегралом от функции f(M) по области Ω называется предел интегральной
суммы при n→∞:
Если область Ω – прямолинейный отрезок (например оси OX), то данная
формула – определение обычного определенного интеграла. Если Ω –
=
n
i
ii
Mf
1
)(
)0||(max
)1()()(
1
lim
→
=
=
→
i
n
i
ii
n
MfdMf
6
криволинейный отрезок, то имеем криволинейный интеграл (интеграл по длине
отрезка). Для области на плоскости или поверхности (1) – определение двойного
или поверхностного интеграла соответственно (интегралы по площади области).
В случае, если Ω – трехмерное тело, то (1) задает определение тройного
интеграла (интеграл по объему).
Замечание. Символ «Ω» под знаком определенного интеграла в формуле
(1) не есть нижний предел интеграла, а является обозначением области
интегрирования (то есть то, что интеграл – определенный). В этом случае
верхний предел интеграла не пишется. Это общепринятое обозначение для
кратных, криволинейных и определенных интегралов будет использоваться в
данном пособии и в дальнейшем.
7
2.Достаточные условия существования определенного интеграла
Область Ω обычно называют областью интегрирования. В метрическом
пространстве эту область считают конечной, если ее можно поместить внутрь
шара радиуса R c центром в начале координат (0 < R < ∞).
Известно, что предел функции или последовательности может быть
бесконечным или вообще не существовать в виде константы. Интеграл, как
предел интегральной суммы, обладает таким же свойством. Можно показать, что
для существования конечного значения определенного интеграла (собственный
интеграл) достаточно выполнения следующих двух условий:
1. Область интегрирования Ω – конечная.
2. Функция f(M) – непрерывна на Ω.
Замечание. Эти условия – достаточные, но не обязательно необходимые.
Конечный интеграл может существовать и при нарушении этих условий. Тогда
он называется несобственным.
8
3.Поверхности
Поверхностью в трехмерном пространстве называется геометрическое
место точек, имеющее уравнение F(x,y,z) = 0. Поверхность называется гладкой,
если в каждой точке поверхности можно провести касательную плоскость.
Примеры гладких поверхностей: сфера, цилиндр, параболоиды. Конус не
является гладкой поверхностью. В вершине конуса касательную плоскость
провести невозможно. Если разбиение поверхности на кусочки достаточно
мелкое, то каждый кусочек можно считать плоским. В этом случае для каждого
плоского кусочка можно определить нормаль к нему (вектор, ортогональный
касательной плоскости). Если при переходе от точки к точке нормаль меняется
непрерывно, то такая часть поверхности называется ее стороной. Для каждого
плоского кусочка нормаль можно провести как в одну сторону, так и в
противоположную. Такие поверхности называются двусторонними.
Поверхность называется замкнутой, если она ограничивает некоторое
трехмерное тело. Та сторона замкнутой поверхности, нормаль к которой
направлена наружу от тела, называется внешней стороной (или положительной).
Соответственно, если нормаль направлена внутрь тела, то здесь имеем
внутреннюю сторону поверхности (или отрицательную). Для незамкнутых
поверхностей положительность или отрицательность их сторон можно
определять произвольно. Хотя во многих случаях полагают положительной
стороной ту часть, нормаль к которой составляет острый угол с некоторой осью.
Поверхность называется ориентированной, если любая непрерывная
линия, принадлежащая поверхности, не может оказаться в одной и той же точке
поверхности, но с противоположных сторон. Это, например, эллипсоиды,
параболоиды, конусы и т.д. Если непрерывная линия может оказаться в точке с
противоположных сторон, то поверхность называется неориентированной.
Например, лист Мебиуса (рис. 2). Для ориентированных поверхностей всегда
можно указать, какая сторона поверхности положительная, а какая
отрицательная.
Рисунок 2 – Лист Мебиуса
9
4.Поверхностный интеграл 1-го рода
Пусть область Ω – поверхность в трехмерном пространстве. Тогда в
формуле (1) имеем ΔΩi = ΔSi и dΩ = dS, где S – площадь поверхности. Формула
приобретает вид:
(2)
Удвоенный знак интеграла означает, что поверхность S – двумерное
многообразие. Интеграл, определяемый формулой (2), называется
поверхностным интегралом 1-го рода или интегралом по площади поверхности.
)0(max
)()()(
1
lim
→
==
=
→
i
S
n
i
ii
n
S
SMfdsMfdMf
10
5.Геометрический и механический смысл поверхностного интеграла 1-
го рода
В первом частном случае, когда подынтегральная функция f(M) = 1 во всех
точках области, интегральная сумма определяется формулой:
т.е. равна площади поверхности. Тогда согласно (2)
.
В этом заключается геометрический смысл поверхностного интеграла 1-го
рода: он равен площади поверхности, если f(M) = 1.
Пусть для второго частного случая функция f(M) является поверхностной
плотностью ρ(M) с размерностью, например, кг/м
2
. Тогда для интегральной
суммы справедливо
Где mi – масса i-го кусочка поверхности, m – масса всей поверхности. Для
точного значения mi нужно перейти к пределу при n→∞. Окончательно получим:
В этом и заключается механический смысл поверхностного интеграла 1-го
рода: он равен массе пластины, если f(M) = ρ(М) является поверхностной
плотностью.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]