Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории игр. Учебное пособие
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина
М. А. Плескунов
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР
Рекомендовано методическим советом УрФУ
в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся
по программе бакалавриата по направлениям подготовки
231300 «Прикладная математика»,
081100.62 «Государственное и муниципальное управление»
Издател
Екатеринбург
ь
ство Уральского университета
2013
УДК 519.83(075.8)
ББК 22.18я73
П38
Рецензенты: кафедра информационных систем в экономике
Уральского государственного экономического университета
(завкафедрой проф., д-р физ.-мат. наук А. Ф. Шориков);
д-р физ.-мат. наук В. В. Кабанов (Институт математики и механики
УрО РАН)
Научный редактор – проф., д-р физ.-мат. наук А. И. Короткий
Плескуно
в, М. А.
П38 Элементы теории игр : учебно
е пособие / М. А. Плескунов. –
Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2013. –
72 с.
ISBN 978-5-7996-0908-5
Пособие содержит основные понятия теории конечных матричных игр.
В нем рассматриваются матричные игры двух лиц с нулевой суммой.
Разобраны вопросы существования решений в чистых и смешанных
стратегиях, существования седловой точки игры. Приведены графические
методы решения матричных игр 2
u
2 и 2un, а также методы сведения
матричных игр m
u
n к задачам линейного программирования. Дано понятие о
матричных играх с ненулевой суммой, кооперативных играх, рассмотрены
понятия о Парето-оптимальных множествах, переговорном множестве,
точках равновесия по Нэшу.
Библиогр.: 9 назв. Рис. 4.
УДК 519.83(075.8)
ББК 22.18я73
ISBN 978-5-7996-0908-5 © Уральский федеральный
университет, 2013
3
ГЛАВА 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР
1.1. Классификация игр
Теория игр – это раздел математической дисциплины «Исследование операций», в котором изучаются математические модели
конфликтных ситуаций.
Рассмотрим основную терминологию теории игр.
Конфликтная ситуация – это ситуация, в которой есть две
(или более) активно действующие противоборствующие стороны,
преследующие различные частично или полностью несовместимые
(часто прямо противоположные) цели.
Достижение своих целей одной из конфликтующих сторон
препятствует достижению целей другой стороны.
Игра – конфликтная ситуация, регламентированная определёнными правилами.
Правила игры – система условий, устанавливающая возможные варианты действий конфликтующих сторон, объём информации каждой стороны о поведении другой, последовательность чередования действий участников игры (порядок чередования ходов),
а также результат игры, к которому приводит данная совокупность
действий или ходов.
Игроком называется участник игры, представляющий одну из
конфликтующих сторон и определяющий ее поведение в процессе
игры.
Ходом в теории игр называется выбор участником игры (т. е.
игроком) одного из предусмотренных правилами игры вариантов
действий.
Ходы делятся на личные и случайные.
Личным ходом называется сознательный выбор одним из игроков одного из возможных в данной ситуации ходов и его осуществление.
Случайным ходом называется выбор одной из предоставляе-
мых правилами игры возможностей, осуществляемый путем реализации какого-либо механизма случайного выбора (например, бросание игральной кости, монеты, тасовка и сдача карт, использование генератора или таблицы случайных чисел и т. п.).
4
Если в игре допускается использование случайных ходов, то
для каждого случайного хода правила игры должны указывать распределение вероятностей возможных результатов (исходов) этих
ходов.
Под стратегией игрока понимаются правила, которые определяют поведение игрока в процессе игры, т. е. выбор игроком последовательности действий от начала до конца игры в ответ на всевозможные действия про
тивника. Иными словами, стратегией игрока называется совокупность действий, определяющих поведение
игрока в процессе всей игры.
Оптимальной стратегией игрока в теории игр называется
такая стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш (или, что то же, минимально возможный средний про
игрыш).
Решением игры называется определение оптимальных страте-
гий каждого из игроков и результата игры при применении каждым
из игроков своей оптимальной стратегии.
Типы игр в зависимости от вида действий, приводящих к результату:
1. Игры стратегические – игры, в которых исход действий зави-
сит от выбранных игроками стратегий.
2. Игры с чис
то случайным результатом.
Результат игры определяется случайным стечением обстоятельств и не зависит от поведения игрока в процессе игры. Таковы многие азартные игры, например игра в рулетку.
Такие игры не изучают в рамках исследования операций, так как
здесь нет момента принятия решения. Эти игры рассматриваются
в теории вероятностей.
3. Игры см
ешанного типа.
Результат таких игр зависит как от действий самого игрока (выбранной им стратегии), так и от случайного стечения обстоятельств. Примером игр подобного рода могут служить многие
карточные игры, ход и результат которых зависят и от действий
игроков, и от случайно выпавшего расклада карт.
Типы игр в за
висимости от чередования ходов:
с параллельными (одновременными) ходами игроков;
с последовательными (поочередными) ходами игроков.
5
Типы игр в зависимости от используемой информации:
1. Игры с полной информацией – игры, в которых предшествую-
щие действия противника известны перед каждым ходом каждого игрока. Такова, например, игра в шахматы или в шашки.
2. Игры с неполной информацией:
а) игры, в которых выбор, сделанный противником, не известен
точно, но его можно п
редсказать с некоторой вероятностью, т. е.
известно распределение вероятностей на множестве стратегий
противника;
б) игры, в которых заранее ничего не известно о действительном
или вероятном поведении конкурента.
Исследование операций занимается изучением стратегических
игр с неполной информацией.
В зависимости от метода математического описания игры
бывают:
матричные;
дифференциальные.
Матричные игры – игры, которы
е описываются с помощью
матриц.
Дифференциальные игры – игры, модели которых строятся на основе дифференциальных уравнений.
В зависимости от числа используемых стратегий игры
бывают:
конечные, если каждый из игроков имеет лишь конечный набор
стратегий;
бесконечные, если набор стратегий хотя бы у одного игрока яв-
ляется бесконечным.
В зави
симости от количества участников игры бывают:
играми двух лиц;
групповыми играми, когда участников более чем два.
Групповые игры в свою очередь подразделяются:
на коалиционные игры, когда участники объединяются в группы
(коалиции), согласуя свои интересы в интересах своей коалиции.
Выигрыш принадлежит всей коалиции и не делится меж
ду членами
коалиции;
6
антагонистические, когда каждый участник преследует свои
личные интересы и не вступает в коалиции.
По распределению суммарного выигрыша игры бывают:
с нулевой суммой, когда выигрыш одного игрока равен проиг-
рышу другого игрока;
с ненулевой суммой, когда выигрыш одного игрока не равен
проигрышу другого игрока.
В дальнейшем будем рассматривать только конеч
ные матричные игры двух лиц, являющиеся стратегическими играми с неполной информацией.
Итак, рассматривается конфликтная ситуация с двумя участниками. Обозначим их – участник (игрок) А и участник (игрок) В.
Пусть игрок A имеет m стратегий, игрок B – n стратегий. Стратегии
игрока А обозначим А
1
, А2, …, Аm. Стратегии игрока B обозначим
B
1
, B2, …, Bn. В этом случае возникает матричная игра m n.
Обычно одного из игроков, чаще всего A, отождествляем с собой, а игрока B – с нашим противником.
Для игр двух лиц (игр m
n) составляется платёжная матри-
ца. Она показывает, какой выигрыш получает игрок A, если он
применяет одну из своих стратегий (A
i
), в то время как игрок B
применяет одну из своих стратегий (B
j
).
B
1
B
2
…
B
n
A1 a
11
a
12
…
a
1n
A2 a
21
a
22
…
a
2n
… … … … …
A
m
a
m1
a
m2
…
a
mn
Через a
ij
обозначен выигрыш игрока A, если он применяет
стратегию A
i
, в то время как игрок B применяет стратегию Bj. В играх с нулевой суммой выигрыш игрока А в точности равен проигрышу игрока В, поэтому нет необходимости выписывать платежную матрицу для игрока В. Заметим, что если в платежной матрице
игрока А величина a
ij
отрицательна, то это означает, что
7
игрок А данную сумму (|aij|) проигрывает, а игрок В ее выигрывает.
Для игр с ненулевой суммой необходимо составить две платежные
матрицы: матрицу игрока А и матрицу игрока В, которые уже не
будут соответствовать друг другу.
1.2. Игры с нулевой суммой
Определяющий принцип таких игр – принцип гарантирован-
ного результата.
Это принцип максимально осторожной игры, т. е. мы хотим
обеспечить себе некоторый гарантированный результат при
наихудшем для нас поведении противника.
Принимая во внимание принцип разумности противника, мы
ведём игру так, чтобы обеспечить себе наилучший результат при
наихудших для нас действиях противника, т. е. просчитываем игру,
рассчитывая на максимальное сопротивление второго игрока. Мы
исходим из того, что противник будет действовать оптимальным
для него образом.
Просматриваем строки платёжной матрицы, т. е. результаты
игры при выборе каждой нашей стратегии и всевозможных стратегиях противника.
Выбираем в строке наименьшую величину, т. е. выигрыш при
наихудшем для нас способе действий противника. Обозначим эту
величину для i-й строки как ai:
ij
j
i
aa min
.
Из всех этих наименьших значений мы выбираем наибольшее
(самую большую величину из полученных наименьших в строках).
Обозначим эту величину
:
ij
j
i
i
i
aa minmaxmax
.
Таким образом, как бы противник ни действовал, мы выбрали
такую стратегию, что хуже (т. е. добиться, чтобы наш выигрыш
стал меньше, чем ) он нам сделать не сможет. Значит, – это га-
8
рантированный результат игрока А, это лучший для игрока А показатель при наихудших для него действиях противника.
Если = a
k
, то стратегия A
k
и есть та стратегия, которая
обеспечит игроку А получение гарантированного результата (выигрыша), равного
. Такая стратегия называется максиминной: мы
ищем максимум среди минимумов, гарантируя себе результат .
Величина
называется нижней ценой игры.
Рассмотрим эту же игру с позиции игрока В. Цель игрока B –
уменьшить свой проигрыш. Цель игрока A – увеличить свой выигрыш. (Мы рассматриваем платежную матрицу игрока А, выигрыш
игрока А – это проигрыш игрока В.)
Теперь будем действовать в интересах игрока B, т. е. уменьшать проигрыш игрока B. Мы смотрим, что получится при выборе
определенной стратегии игроком B (т. е. каков будет его проигрыш
при различных стратегиях игрока А).
Просматриваем столбцы и выбираем в каждом столбце максимальную величину выигрыша игрока А (т. е. считаем, что игрок A
играет наихудшим для игрока B способом). Обозначим эту величи-
ну для j-го столбца через bj:
ij
i
j
ab max
.
Среди всех величин bj надо выбрать наименьшую. Обозначим
ее
. Величина называется верхней ценой игры.
ij
i
j
j
j
ab maxminmin
.
Таким образом, среди максимальных величин в столбцах выбирается минимальная (например, это bk =). Игрок B должен придерживаться стратегии Bk, тогда он проиграет не больше, чем –
это гарантированный проигрыш игрока B (лучший для игрока В результат при наихудших для него действиях игрока А).
Стратегия Bk, дающая игроку В гарантированный результат ,
т. е. обеспечивающая при любых действиях игрока А проигрыш не
больше, чем , называется минимаксной стратегией. В этом случае
мы ищем минимум среди максимумов, гарантируя игроку В результат
.
Итоги анализа отражают в нижеследующей таблице.
9
B1 B2 …
B
n
ai
A1
a
11 a12
…
a
1n
a
1
A2
a
21 a22
…
a
2n
a
2
… … … … …
…
Am a
m1 am2
…
a
mn am
bj
b1 b2 …
b
n
Утверждение. Нижняя цена игры меньше или равна верхней
цене игры:
. (Максимин всегда меньше или равен минимаксу).
Действительно, пусть
= akl. Элемент akl – минимальный в
своей строке. Элементы bj выбираются так, чтобы это был максимальный элемент в своем столбце. Следовательно, = a
kl
bj для
всех j. Но – это минимум среди bj. Значит, = a
kl
min bj = .
Пример. Игроки одновременно и независимо друг от друга
записывают числа 1, 2, 3. Если сумма записанных чисел четная, то
игрок B платит игроку A эту сумму в рублях, если нечетная, то игрок A платит эту сумму игроку B. Проанализировать игру, составить платежную матрицу. Найти верхнюю и нижнюю цену игры.
Решение.
В
1
В
2
В
3
ai
А
1
2 –3 4 –3
А
2
–3 4 –5
–5
А
3
4 –5 6 –5
bj
4 4 6
= –3, = 4, –3 ≤ 4.
Если игрок A будет придерживаться своей максиминной стратегии А
1
, то он не проиграет больше, чем 3 единицы. Его гаранти-
рованный результат: проигрыш не более 3 рублей.
Игрок B проиграет не больше 4 единиц при выборе своей минимаксной стратегии В1 или В2.
Если нижняя цена игры не совпадает с верхней ценой игры, то
максиминная и минимаксная стратегии игроков обладают своеоб-
10
разной неустойчивостью. Если игрок догадывается о стратегии
противника, он может изменить свою стратегию и выиграть более
своего гарантированного результата. Но если
=
, то говорят, что
игра имеет седловую точку, а величину
= называют чистой
ценой игры и обозначают символом . В этом случае максиминная
стратегия игрока А и минимаксная стратегия игрока В являются их
оптимальными стратегиями. Отклонение какого-либо игрока от его
оптимальной стратегии при условии, что его противник придерживается своей оптимальной стратегии, может лишь ухудшить результат отклоняющегося игрока.
Элемент платежной матрицы, стоящий на пересечении строки
и столбца, соответствующих оптимальным стратегиям игроков
называется седловым элементом платежной матрицы. Это элемент, который будет минимальным в своей строке и максимальным
в своем столбце (так как игра имеет седловую точку). Величина
седлового элемента как раз и равна цене игры.
= = – чистая цена игры.
В этом случае игра имеет решение в чистых стратегиях.
1.3. Свойства оптимальных стратегий
Если один из игроков придерживается своей оптимальной
стратегии, то информация, полученная вторым игроком об этой
стратегии, не меняет цену игры.
Рассмотрим игру, заданную следующей платежной матрицей:
Найдем нижнюю и верхнюю цену игры:
= 0,6 = 0,6 = = 0,6.
Нижняя и верхняя цена игры совпадают, следовательно, игра
имеет седловую точку. Если игра имеет седловую точку, то это
означает, что игра имеет решение в чистых стратегиях, т. е. суще-
В
1
В
2
В
3
В
4
ai
А
1
0,4
0,5
0,9
0,3
0,3
А
2
0,5
0,4
0,3
0,7
0,3
А
3
0,7
0,6
0,8
0,9
0,6
А
4
0,7
0,2
0,4
0,6
0,2
bj
0,8
0,6
0,9
0,9
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]