Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории игр. Учебное пособие
.pdf
41
взаимных уступках, у каждого равно по 2 единицы (каждый идет на
свое любимое зрелище, не принуждая к этому другого), т. е. T1 = 2 и
T2 = 2. Значит, точка угрозы T
),(21TT
есть точка T
)2;2(
. Тогда отре-
зок DE стороны ВС, лежащий выше и правее точки угрозы, является переговорным множеством. Очевидно, что точка N, являющаяся
серединой отрезка DE (и одновременно серединой стороны ВС),
будет тем компромиссным решением, от которого нет смысла отказываться ни одному из игроков (супругов). Она одновременно максимально продвинута вправо и вверх на множестве S. Если сдвигать
ее вдоль стороны ВС к точке D, будет уменьшаться ее абсцисса h1,
т. е. будет уменьшаться удовольствие мужа, а если сдвигать ее к
точке E вдоль ВС, то будет уменьшаться ее ордината h2, т. е. удовольствие жены. Значит, точка N является точкой Нэша этой игры.
Рис. 4.2
В точке Нэша максимально произведение приростов удовольствия мужа и жены по сравнению с удовольствием от независимого
посещения ими футбола и балета.
В силу симметрии области S (треугольника АВС) относительно биссектрисы первого координатного угла абсцисса точки N равна ее ординате (
xy
). Это значит, что игроки должны согласовы-
вать свои интересы в равной пропорции, т. е. половину своего свободного времени они должны вместе посещать балет, а другую половину отдавать совместному посещению футбола.
A B C
D E N T 0
1 1 2 2 3 3 4
4
1h2
h
S
42
ВОПРОСЫ ДЛЯ КОНТРОЛЯ
1. Что составляет содержание теории игр как раздела исследова-
ния операций?
2. Дайте определение конфликтной ситуации и перечислите ее
основные черты.
3. Сформулируйте основную задачу теории игр.
4. В чем состоит различие между реальным конфликтом и иг-
рой?
5. Что понимается под оптимальной стратегией?
6. Перечислите принципы классификации игр.
7. Что понимается под принципом оптимальности в теории игр?
8. Определите антагонистическую игру.
9. Сформулируйте принцип максимина.
10. Определите матричную игру.
11. Дайте определение верхней и нижней цены игры в чистых
стратегиях.
12. Что понимается под седловой точкой игры?
13. В чем различие игр с седловой точкой и без нее?
14. Как определяется смешанная стратегия?
15. Что понимается под полным решением игры в смешанных
стратегиях?
16. Сформулируйте основную теорему теории матричных игр.
17. Для каких игр используется геометрический метод решения?
18. Какое максимальное число чистых стратегий могут включать
оптимальные смешанные стратегии игроков в играх 2
n и
m2?
19. Какие стратегии игроков называются полезными (активны-
ми)?
20. Какие стратегии игроков называются доминирующими и ка-
кие доминируемыми?
21. В каких случаях и как проводится сокращение (редукция)
платежной матрицы?
22. Какие стратегии игроков называются эффективными?
23. В чем состоит различие между полезными и эффективными
стратегиями игрока?
24. Каким образом определяются цена игры и оптимальные сме-
шанные стратегии игроков по оптимальным решениям пары
двойственных задач линейного программирования?
43
25. В чем заключается принципиальное отличие игр двух участ-
ников с ненулевой суммой от игр двух участников с нулевой
суммой?
26. Каковы критерии выбора оптимальных стратегий для игр с
ненулевой суммой? Что называется точкой равновесия по
Нэшу?
27. Что означает оптимальность по Парето в биматричной игре?
Каково свойство Парето-оптимального множества решений?
28. Что такое точка угрозы? Что понимается под переговорным
множеством?
29. Как определяются принципы оптимальности в кооператив-
ной игре?
30. Что называется точкой решения по Нэшу?
44
УПРАЖНЕНИЯ
Определение максиминной и минимаксной
стратегий
1**. Игрок А записывает одно из двух чисел: 1 или 2, игрок В
– одно из трех чисел: 1, 2 или 3. Если оба числа одинаковой четности, то А выигрывает и выигрыш равен сумме этих чисел, если четности выбранных игроками чисел не совпадают, то В выигрывает,
выигрыш равен сумме этих чисел. Построить платежную матрицу
игры, определить нижнюю и верхнюю цены игры и проверить
наличие седловой точки.
В задачах 2–7 для следующих платежных матриц определить
нижнюю и верхнюю цены игры, минимаксные стратегии и оптимальные решения игры, если существует седловая точка.
2. 3. 4.
0,4 0,5 0,7
0,2 0,4 0,9
0,8 0,6 0,3
.
3 2 5
4 7 6
3 5 4
.
6 5 4 3
7 8 5 6
4 9 9 8
.
5. 6. 7.
3 7 4 5 8
11 8 10 6 7
6 5 6 4 3
9 7 6 5 4
.
7 4 3 8
6 2 4 7
9 6 8 7
3 5 9 4
.
4 3 2
6 7 3
5 4 6
3 5 2
.
8. Игра задана матрицей:
А
В
В
1
В2
В
3
В
4
А
1
0,4
0,5
0,9
0,3
А
2
0,8
0,4
0,3
0,7
А
3
0,7
0,6
0,8
0,9
А4
0,9
0,2
0,4
0,6
Найти решение игры.
*
Задачи, помеченные *, взяты из [1] и [2], помеченные **, – из [5].
45
9. Игра задана матрицей:
А
В
В
1
В2
В
3
В
4
А
1
2 4 7 5
А
2
7 6 8 7
А
3
5 3 4 1
А4
3 2 4
6
Найти решение игры.
10*. Игра «Вооружение и самолеты»
В нашем распоряжении имеется три вида вооружений: А
1
, А2,
А
3
; у противника – три вида самолетов: В1, В2, В3. Наша задача –
поразить самолет; задача противника – сохранить его непораженным. При применении вооружения А
1
самолеты В1, В2, В3 поража-
ются соответственно с вероятностями 0,5, 0,6 и 0,8; при вооружении А
2
– с вероятностями 0,9, 0,7 и 0,8; при вооружении А3 – с веро-
ятностями 0,7, 0,5 и 0,6. Найти решение игры.
11*. Игра «ПВО и самолеты»
Сторона А – средства ПВО – обороняет от воздушного налета
участок территории, располагая двумя орудиями № 1 и № 2, зоны
действия которых S1, S2 не перекрываются. Каждое орудие может
обстрелять только самолет, проходящий через его зону действия,
но для этого оно должно заранее (до входа цели в зону) следить за
ней и вырабатывать прицельные данные. Если цель обстреляна, она
поражается с вероятностью р = 1. Сторона В располагает двумя самолетами, каждый из которых может быть направлен в любую зону. В момент, когда сторона А осуществляет целераспределение
(назначает, какому орудию по какой цели стрелять), движение самолета-цели № 1 направлено в зону действия S
1
орудия №1, а цели
№ 2 – в зону действия S2 орудия № 2. Однако после принятия решения по целераспределению каждая цель может сманеврировать,
применив «обманный маневр». Задача стороны А – обратить в максимум, а стороны В – обратить в минимум число пораженных целей. Найти решение игры (оптимальные стратегии сторон).
46
Смешанные стратегии.
Графический метод решения.
Редукция платежной матрицы
В задачах 12–14 решить игры 22 и дать их графическую интерпретацию.
12. 13. 14.
1- 1
2 2-
2 1
3 2
3 1
2- 4
15*. Игра «Поиск»
Имеются два игрока А и В; игрок А прячется, а В его ищет. В
распоряжении А имеется два убежища (I и II), любое из которых он
может выбрать по своему усмотрению. Условия игры таковы: если
В найдет А в том убежище, где А спрятался, то А платит ему штраф
10 руб.; если В не найдет А (т. е. будет искать в другом убежище),
то он сам должен заплатить А такой же штраф. Найти решение игры.
16*. Игра состоит в следующем. Имеются две карты: туз и
двойка. Игрок А наугад вынимает одну из них; В не видит, какую
карту он вынул. Если А вынул туза, он заявляет: «у меня туз», и
требует у противника 1 рубль. Если А вынул двойку, то он может
либо (А1) сказать «у меня туз» и потребовать у противника 1 рубль,
либо (А2) признаться, что у него двойка, и уплатить противнику
1 рубль. Противник, если ему добровольно платят 1 рубль, может
только принять его. Если же у него потребуют 1 рубль, то он может
либо (В1) поверить игроку А, что у него туз, и отдать ему 1 рубль,
либо (В2) потребовать проверки с тем, чтобы убедиться, верно ли
утверждение А. Если в результате проверки окажется, что у А действительно туз, В должен уплатить А 2 рубля. Если же окажется,
что А обманывает и у него двойка, игрок А уплачивает игроку В
2 рубля. Требуется проанализировать игру и найти оптимальную
стратегию каждого из игроков.
17*. Игра «Два бомбардировщика и истребитель»
Сторона А посылает в район расположения противника В два
бомбардировщика I и II; I летит спереди, II – сзади. Один из бом-
47
бардировщиков – заранее неизвестно какой – должен нести бомбу,
другой выполняет функцию сопровождения. В районе противника
бомбардировщики подвергаются нападению истребителя стороны В. Бомбардировщики вооружены пушками различной скорострельности. Если истребитель атакует задний бомбардировщик II,
то по нему ведут огонь пушки только этого бомбардировщика; если
же он атакует передний бомбардировщик, то по нему ведут огонь
пушки обоих бомбардировщиков. Вероятность поражения истребителя в первом случае 0,3, во втором 0,7.
Если истребитель не сбит ответным огнем бомбардировщиков,
то он поражает выбранную им цель с вероятностью 0,6. Задача
бомбардировщиков – донести бомбу до цели; задача истребителя –
воспрепятствовать этому, т. е. сбить бомбардировщик-носитель.
Требуется выбрать оптимальные стратегии сторон:
а) для стороны А: какой бомбардировщик сделать носителем;
б) для стороны В: какой бомбардировщик атаковать?
18*. Игра «Самолеты и зенитные орудия»
Сторона А нападает на объект, сторона В – обороняет его. У
стороны А – два самолета; у стороны В – три зенитных орудия.
Каждый самолет является носителем мощного поражающего средства; для поражения объекта достаточно, чтобы к нему прорвался
хотя бы один самолет. Самолеты стороны А могут выбирать для
подхода к объекту любое из трех направлений: I, II, III.
Противник (сторона В) может разместить любое из своих орудий на любом направлении; при этом каждое орудие простреливает
только область пространства, относящуюся к данному направлению, и не простреливает соседних направлений. Каждое орудие
может обстрелять только один самолет; обстрелянный самолет поражается с вероятностью 1. Сторона А не знает, где размещены
орудия; сторона В не знает, откуда прилетят самолеты. Задача стороны А – поразить объект; задача стороны В – не допустить его поражения. Найти решение игры.
19*. Те же условия, что в предыдущей задаче, но для стороны
А возможны не три, а четыре направления удара, а сторона В рас-
полагает четырьмя орудиями. Найти решение игры.
48
20**. Игрок А записывает одно из двух чисел: 1 или 2, игрок В
– одно из трех чисел: 1, 2 или 3. Если оба числа одинаковой четно-
сти, то А выигрывает и выигрыш равен сумме этих чисел, если четности выбранных игроками чисел не совпадают, то В выигрывает,
выигрыш равен сумме этих чисел. Найти решение игры.
21. Игра задана ма
трицей:
А
В
В1 В2 В3 В4 В5
А1 4 7 2 3 4
А2 3 5 6 8 9
А3 4 4 2 2 8
А4 3 6 1 2 4
А5 3 5 6 8 9
Найти решение игры, предварительно упростив ее.
22*. Игра «Распределение сил в наступлении и обороне»
Сторона А, располагающая тремя батальонами пехоты, стремится захватить некоторый объект В; сторона В, располагающая
четырьмя батальонами пехоты, стремится воспрепятствовать этому.
Каждый из наступающих батальонов может быть направлен к объекту по любой из двух дорог: I и II. Сторона В также мо
жет расположить любой из своих батальонов на любой из дорог. Если на
дороге силы стороны В встречаются с превосходящими силами
стороны А, то последние оттесняют оборону, проходят к объекту
и занимают его; если же на дороге оборона численно превышает
нападение, то атака отбивается, силы стороны А отходят и больше
не во
зобновляют нападение. Если на дороге встречаются силы одинаковой численности, сторона А с вероятностью 0,4 побеждает и
проходит к объекту, а с вероятностью 0,6 атака оказывается отбитой.
Требуется дать рекомендации сторонам по количеству батальонов, которые следует направить на каждую из дорог.
23*. В нашем распоряжении имеются разработанные четыре
об
разца зенитных управляемых ракет: А
1
, А2, А3, А4, предназначен-
ные для стрельбы по самолетам; известны типы самолетов противника: В
1
, В2, В3, В4, В5, которые он может применять, однако неиз-
49
вестно заранее – в какой пропорции. Вероятность поражения самолета противника при применении каждого типа вооружения задана
матрицей:
А
В
В
1
В2
В
3
В
4
В
5
А
1
0,2
0,4
0,6
0,4
0,7
А
2
0,3
0,4
0,6
0,5
0,8
А
3
0,4
0,5
0,6
0,5
0,8
А4
0,7
0,3
0,5
0,2
0,1
Требуется, исходя из принципов теории игр, обосновать про-
порции, в которых надо заказывать вооружение разных типов.
24. Игра задана матрицей:
А
В
В
1
В2
В
3
В
4
А
1
1 2 4 3
А
2
0 2 3 2
А
3
1 2 4 3
А4
4 3 1
0
Найти решение игры, предварительно упростив (редуцировав)
ее.
25. Сторона А располагает четырьмя стратегиями А1, А2, А3 и
А
4
, сторона В – тоже четырьмя: В1, В2, В3 и В
4
. Матрица игры имеет
вид
А
В
В
1
В2
В
3
В
4
А
1
3 4
10
12
А
2
8 4 3 2
А
3
2 3 8 10
А4
4 3 1
2
Найти решение игры, предварительно редуцировав ее.
50
26**. Найти решение игры, предварительно упростив (редуцировав) ее:
4 7 3 1
2 3 1- 2
1 6 0 4
1- 5 2- 3
.
27. Предприятие планирует выпуск изделий двух моделей. В
зависимости от состояния спроса на эти модели прибыль предприятия различна и определяется матрицей
0614
5132
.
Найти оптимальное соотношение между объемами выпуска
каждой модели, при котором предприятию гарантируется средняя
величина прибыли при любом состоянии спроса.
У к а з а н и е. Найти максимум нижней границы игры.
28**. Предприятие выпускает скоропортящуюся продукцию,
которую может сразу отправить потребителям (стратегия А1), отправить на склад для хранения (стратегия А
2
) или подвергнуть до-
полнительной обработке (стратегия А
3
) для длительного хранения.
Потребитель может приобрести продукцию: немедленно
(стратегия B1), в течение небольшого времени (стратегия B2), после
длительного периода времени (стратегия B3).
В случае стратегий А
2
и А3 предприятие несет дополнительные
затраты на хранение и обработку продукции, которые не требуются
для А
1
, однако при А
1 и А2
следует учесть возможные убытки из-за
порчи продукции, если потребитель выберет стратегии B2 или B3.
Определить оптимальные пропорции продукции для применения стратегий А
1
, А2, А
3
, руководствуясь минимаксным критерием
(гарантированный средний уровень убытка) при данной матрице
затрат.
B1 B2 B
3
A1 2 7 12
A2 5 6 10
A3 8
10
8
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]