Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории игр. Учебное пособие
.pdf
11
ствуют оптимальные стратегии Ai = A° и Bj = B°, при которых 1-й
игрок выигрывает величину
, а 2-й игрок эту величину проигры-
вает.
В нашем случае 0,6 – седловой элемент матрицы.
Игра имеет решение – это пара оптимальных стратегий (максиминная стратегия игрока А и минимаксная стратегия игрока В):
A° = A3, B° = B2, и цена игры = 0,6 = = .
Анализ платежной матрицы позволяет сделать следующий
вывод: что бы ни делал игрок B, игрок A получает свой выигрыш
(или больше), если он придерживается своей оптимальной стратегии; игрок B, отклоняясь от своей оптимальной стратегии, может
только ухудшить, но не улучшить свое положение (т. е. только увеличить, но не уменьшить свой проигрыш) при условии, что игрок А
следует своей оптимальной стратегии.
Аналогичная ситуация с игроком В.
В теории игр доказано, что для каждой игры с седловой точкой существует решение, определяющее пару оптимальных стратегий обеих сторон и обладающее следующими свойствами:
1. Если обе стороны придерживаются своих оптимальных
стратегий, то средний выигрыш равен чистой цене игры, одновременно являющейся ее нижней и верхней ценой.
2. Если одна из сторон придерживается своей оптимальной
стратегии, а другая отклоняется от своей, то от этого отклоняющаяся сторона может только уменьшить, но не увеличить свой выигрыш.
Теорема. Каждая игра с полной информацией имеет седловую точку, т. е. каждая такая игра имеет решение; это значит,
что существует пара оптимальных стратегий той и другой стороны, дающая средний выигрыш, равный цене игры.
Оптимальными стратегиями в игре с седловой точкой являются максиминная стратегия игрока А и минимаксная стратегия игрока В.
1.4. Смешанные стратегии
Если игра не имеет седловой точки, то игрок А, придерживаясь своей максиминной стратегии, выиграет не менее , т. е. нижней цены игры, а игрок В, придерживаясь своей минимаксной стратегии, проиграет не более , т. е. верхней цены игры. Но во всякой
12
игре
, а в игре без седловой точки
. Нельзя ли в такой игре игроку A выиграть больше ? Оказывается, это можно сделать в
смешанных стратегиях.
Предполагается, что игра проигрывается нами неоднократно
(т. е. разыгрывается несколько партий), и мы ищем средний выигрыш (это среднее арифметическое из всех полученных выигрышей). Нельзя ли, меняя стратегии от партии к партии, увеличить
свой выигрыш? Будем от партии к партии менять свои стратегии
случайным образом.
Смешанными стратегиями будем называть такие комбини-
рованные стратегии, которые состоят в применении нескольких чистых стратегий, чередующихся по случайному закону с определенным соотношением частот (вероятностей). Обозначим частоту
применения стратегии Ai игроком А через pi. Частоту применения
стратегии Bj игроком В обозначим через qj. Смешанную стратегию
игрока А обозначим
m
m
A
pp
AA
pp
AA
S
...
...
3
3
21
21
,
где
i
p
– частота (вероятность) выбора стратегии Ai игроком А:
1...
321
m
pppp
.
Смешанную стратегию игрока В обозначим
n
n
B
qq
BB
q
B
S
...
...
2
2
1
1
,
где
j
q
– частота (вероятность) выбора стратегии B
j
игроком В:
1...21
n
qqq
.
Рассмотрим, например, игру 43, заданную следующей мат-
рицей
В
1
В
2
В
3
А
1
2,1
– 0,8
1,2
А
2
– 3,2
2,6
–1,7
А
3
0,6
– 1,3
2,4
А4
– 2,3
3,1
– 0,9
13
Выберем чередование стратегий игрока А с частотами (соответственно) 0,2; 0,4; 0,3; 0,1; а чередование стратегий игрока В с частотами 0,4; 0,3; 0,3.
Тогда смешанная стратегия игрока А будет записана как
1,03,04,02,0
4321
AAAA
S
A
, 0,2 + 0,4 + 0,3 + 0,1 = 1,
а смешанная стратегия игрока В как
3,03,04,0
321
BBB
S
B
, 0,4 + 0,3 + 0,3 = 1.
1.5. Теорема фон Неймана. Основная теорема теории игр
Теорема фон Неймана (доказана в 1928 г.). Каждая конечная
игра имеет, по крайней мере, одно решение или в области чистых,
или в области смешанных стратегий.
Теорема о смешанных стратегиях. Применение смешанной
стратегии игроком A может только увеличить нижнюю цену игры. Применение смешанной стратегии игроком B может только
понизить верхнюю цену игры.
Доказательство
Каждая чистая стратегия может быть представлена как частный случай смешанной стратегии. Например, чистая стратегия А1
игрока А может быть представлена как смешанная стратегия с частотами 1; 0; 0; …; 0:
0...0
...
01
321 m
A
AAAA
S
, 1 + 0 + 0 + … + 0 = 1.
В таком случае все чистые стратегии входят в набор всевозможных смешанных стратегий игрока. Приобретая новые стратегии, мы можем лишь увеличить возможный гарантированный выигрыш, т. е. нижнюю цену игры, но никоим образом не уменьшить
его, так как все прежние возможности, определяемые чистыми
стратегиями, остаются в распоряжении игрока. Дополнительно игрок приобретает новые возможности, которые определяются собственно смешанными стратегиями (т. е. теми смешанными стратегиями, которые не совпадают с чистыми стратегиями).
14
Те же рассуждения справедливы и для игрока B: множество
смешанных стратегий больше, чем чистых стратегий, если чистые
стратегии рассматривать как частный случай смешанных. Следовательно, применяя смешанные стратегии, игрок увеличивает свои
возможности, т. е. возможно уменьшение его гарантированного
проигрыша. Отсюда следует, что верхняя цена игры может лишь
понизиться, но никак не повыситься.
Следствия из основной теоремы теории игр (свойства смешанных стратегий):
1. Каждая конечная игра имеет цену. Выигрыш, получаемый в
результате решения игры, т. е. при применении пары оптимальных
стратегий равен цене игры. Эта цена игры лежит в пределах от
до , где – нижняя цена игры в чистых стратегиях, а – верхняя цена игры в чистых стратегиях:
.
2. Если один из игроков придерживается своей оптимальной
смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры независимо от того, что делает другой игрок, если
только он не выходит за пределы своих так называемых полезных
стратегий.
Полезные (активные) стратегии – это те стратегии игрока,
которые он употребляет в своей оптимальной смешанной стратегии с частотами, отличными от нуля.
Теорема. Каким бы образом ни применял игрок свои полезные
стратегии, в чистом виде или смешивая их в произвольных пропорциях, результат игры остаётся неизменным и равным цене игры,
если второй игрок применяет свою оптимальную смешанную
стратегию.
Доказательство теоремы проведем на примере игры 43.
Введем обозначения:
0
A
S
– оптимальная смешанная стратегия игрока А;
0403020
1
,,, pppp
– частоты применения игроком А стратегий А1,
А
2
, А3, А4 в его оптимальной смешанной стратегии;
0
B
S
– оптимальная смешанная стратегия игрока В;
0
302
0
1
,, qqq
– частоты применения игроком В стратегий В1, В2,
В
3
в его оптимальной смешанной стратегии.
15
Итак, рассмотрим
0
4
0
3
43
0
2
0
1
21
0
pp
AA
pp
AA
S
A
,
1
0
4
0
3
0
2
0
1
pppp
;
0
3
0
2
32
0
1
1
0
qq
BB
q
B
S
B
,
1
0
3
0
2
0
1
qqq
.
Предположим, что
0
0
1
q
,
0
0
2
q
,
0
0
3
q
, т. е.
321
,, BBB
– по-
лезные стратегии игрока B. Игра проводится неоднократно, рассматривается средний результат серии одинаковых (однородных)
игр данного типа. Средний результат игры при использовании иг-
роками своих оптимальных смешанных стратегий
),(
00
BA
SS
обозна-
чим через ν.
Рассмотрим пару стратегий игроков
),(
1
0
BS
A
. Здесь
0
A
S
– опти-
мальная смешанная стратегия игрока А, а
1
B
– чистая стратегия иг-
рока
B
. Средний результат такой игры обозначим
1
. Поскольку
игрок B не придерживается своей оптимальной стратегии, то этот
результат для игрока A будет не хуже ν, а для B – не лучше ν. Это
значит, что
1
. Теперь рассмотрим пару
),(
2
0
BS
A
. Средний ре-
зультат игры пусть будет
2
. Как и в предыдущем случае
2
.
Рассмотрим также пару
),(
3
0
BS
A
. Средний результат игры считаем
равным
3
. Аналогично предыдущему
3
. Рассмотрим теперь
произвольную смешанную стратегию игрока B:
32
32
1
1
qq
BB
q
B
S
B
,
1
321
qqq
.
Это означает, что проводя серию таких игр, игрок В в
1
q
части этих
игр применяет стратегию B1, в
2
q
их части применяет стратегию B2,
а в
3
q
части этих игр применяет стратегию B
3
, смешивая стратегии
в данной пропорции случайным образом.
В части игр, соответствующей
1
q
, результат игры будет
1
, в
части, соответствующей
2
q
, он будет равен
2
, а в части игр, соот-
ветствующей
3
q
, результат будет равен
3
. В этом случае общий
средний результат такой игры будет равен
332211
qqq
.
16
Такой результат получает игрок B в конце проведенной серии игр.
Так как в общем случае стратегия игрока В не оптимальная, то
. Это неравенство превратится в равенство, если игрок B бу-
дет придерживаться оптимальной стратегии:
0
3
0
2
32
0
1
1
0
qq
BB
q
B
S
B
.
Итак, при применении стратегий
);(
00
BA
SS
результат игры равен :
303202101
qqq
. (*)
Но это равенство возможно только в том случае, если все величины
1
,
2
и
3
равны :
321
.
Действительно, пусть
0
2
11
,
0
2
22
,
0
2
33
.
Тогда
2
11
,
2
22
,
2
33
. Подставим эти выраже-
ния в соотношение (*) и сгруппируем:
032
3
022
2
012
1
0
3
0
2
0
1
)( qqqqqq
.
Так как
1
0
3
0
2
0
1
qqq
, то получаем, что
032
3
022
2
012
1
qqq
.
Отсюда следует, что
0
032
3
022
2
012
1
qqq
.
Поскольку
0,,
0
302
0
1
qqq
(все стратегии игрока В мы считаем по-
лезными), то это значит, что
0
0
1
q
,
0
0
2
q
и
0
0
3
q
; и отсюда сле-
дует, что
0
2
3
2
2
2
1
.
Таким образом, доказано, что
321
.
Но тогда и
1)(
321332211
qqqqqq
.
Итак, мы доказали, что если игрок А придерживается своей
оптимальной смешанной стратегии
0
A
S
, то независимо от того, как
использует игрок В свои полезные стратегии (и только их): применяет ли их в чистом виде или смешивает в произвольных пропорциях, – результат игры остается неизменным и равным цене игры:
321
. Если же игрок В выходит за пределы своих
полезных стратегий, т. е. использует не только полезные, но и дру-
17
гие свои стратегии, то результат игры для него может либо ухудшиться, либо (в лучшем случае) остаться прежним, но ни в коем
случае не улучшится.
То же самое можно доказать и для второго игрока (игрока В).
Доказательство теоремы в общем виде для игры mn прово-
дится аналогично.
ГЛАВА 2
РЕШЕНИЕ ИГР 22 И 2n
2.1. Отыскание оптимального решения в смешанных
стратегиях
Рассмотрим элементарные методы решения игр 22 и 2
n.
Сначала рассмотрим игру 2
2.
Пусть
ij
j
i
aminmax
,
ij
i
j
amaxmin
и
, значит,
.
Так как нижняя цена игры не совпадает с верхней ценой игры, то
игра не имеет седловой точки. Необходимо использовать смешанные стратегии.
Обе стратегии игрока В оказываются его полезными стратегиями, т. е. они будут входить в его оптимальную смешанную стратегию. Если бы это было не так, то игра имела бы седловую точку.
Обозначим оптимальную стратегию игрока A через
0
A
S
, а иг-
рока В – через
0
B
S
:
21
21
0
pp
AA
S
A
,
21
21
0
qq
BB
S
B
.
Рассмотрим сначала пару стратегий
),(
1
0
BS
A
, а затем
),(
2
0
BS
A
.
На основании доказанной выше теоремы:
1
B
2
B
ai
1
A
11
a
12
a
1
a
2
A
21
a
22
a
2
a
bj
1
b
2
b
18
а) при использовании игроком В своей чистой полезной стратегии В1 и оптимальной смешанной стратегии игроком А результат
игры будет равен цене игры
:
221111
papa
;
б) при использовании игроком В своей чистой полезной стратегии В
2
и оптимальной смешанной стратегии игроком А результат
игры будет равен цене игры
:
222112
papa
. Кроме того, учтем,
что
121 pp
. В результате получим систему трех линейных урав-
нений с тремя неизвестными
1
p
,
2
p
и :
.1
,
,
21
222112
221111
pp
papa
papa
Решая систему уравнений, найдём
,,21pp
.
Теперь решим игру с позиции игрока В.
Обе стратегии игрока А оказываются его полезными стратегиями, т. е. они будут входить в его оптимальную смешанную стратегию. Если бы это было не так, то игра имела бы седловую точку.
Рассмотрим пару стратегий
),(
0
1 B
SA
. Этого достаточно, чтобы
найти две неизвестные
21
, qq
, так как цена игры
уже найдена.
При использовании игроком А своей чистой полезной стратегии А
1
и оптимальной смешанной стратегии игроком В результат
игры будет равен цене игры
:
212111
qaqa
. Кроме того, учтем,
что
121 qq
. Получим систему линейных уравнений с двумя не-
известными:
.1
,
21
212111
qq
qaqa
Решая эту систему уравнений, найдем
1
q
и
2
q
.
Таким образом найдем обе оптимальные стратегии (игрока А и
игрока В) и цену игры, т. е. найдем решение игры.
Пример. Два игрока A и B, не глядя друг на друга, кладут на
стол по монете вверх гербом или вверх цифрой, по своему усмотрению. Если игроки выбрали одинаковые стороны (у обоих герб
или у обоих цифра), то игрок А забирает обе монеты; иначе их забирает игрок В. Требуется проанализировать игру, составить ее
матрицу и найти решение игры в смешанных стратегиях.
19
Решение.
Нижняя цена игры
1
, верхняя цена игры
1
,
,
.
Седловой точки у игры нет, следовательно, в чистых стратегиях игра решений не имеет. Будем искать решение в смешанных
стратегиях:
21
21
0
pp
AA
S
A
,
121 pp
,
21
21
0
qq
BB
S
B
,
121 qq
.
Составим систему уравнений с позиции игрока А:
:),(
:),(
2
0
1
0
BS
BS
A
A
.1
,11
,11
21
21
21
pp
pp
pp
Найдем решение этой системы.
.1
,
,
21
21
21
pp
pp
pp
.
;22
;
21
21
2121
pp
pp
pppp
Тогда
2
1
12
211
ppp
. Отсюда следует, что
0
. Таким обра-
зом,
2
1
2
1
21
0
AA
S
A
и
0
.
Теперь решим игру с позиции игрока В.
:),(
0
1 B
SA
.1
,0
21
21
qq
qq
Отсюда находим
2
1
21
qq
. Таким образом,
2
1
2
1
21
0
BB
S
B
и
0
.
1
B
2
B
a
i
1
A
1
–1
–1
2
A
–1
1
–1
b
j
1
1
20
Итак, игра имеет решение в смешанных стратегиях:
2
1
2
1
21
0
AA
S
A
,
2
1
2
1
21
0
BB
S
B
,
0
.
2.2. Графический метод решения игры 22
Рассмотрим графический метод решения игры 2
2, заданной
платежной матрицей игрока А.
Пусть
. Значит, нет седловой точки.
Проведем две вертикальные оси: ось I соответствует стратегии
А
1
игрока А и ось II соответствует стратегии А2 игрока А. Расстоя-
ние между осями I и II будем считать равным 1.
На оси I отложим величины a11 и a12 – результаты игры в случае, когда игрок А выбирает стратегию А1, а игрок В – стратегию В1
(первая точка) или стратегию В
2
(вторая точка). Аналогично на оси
II отложим величины a21 и a22 – результаты игры в случае, когда
игрок А выбирает стратегию А2, а игрок В – стратегию В1 (первая
точка) или стратегию В
2
(вторая точка). Соединим отрезками точки,
соответствующие величинам a11 и a21 (отрезок В1В1), а также точки,
соответствующие величинам a12 и a22 (отрезок В2В2).
Уравнение первого отрезка можно записать в виде
221111
papa
, где p2 играет роль параметра, меняющегося от 0
до 1 (0
2p
1), а p1 = 1– p2. Это значит, что ордината точки данно-
го отрезка при определенном значении p2 равна результату игры,
когда игрок А смешивает свои чистые стратегии А1 и А2 в пропорции p1:p2, а игрок В все время придерживается своей чистой стратегии В1. Эту величину можно найти, отложив от оси I в сторону оси
II по оси абсцисс отрезок, равный p2 (так как расстояние между
осями I и II равно 1, то оставшийся отрезок от полученной точки до
оси II будет равен p1), и замерив ординату графика функции
1
B
2
B
1
A
11
a
12
a
2
A
21
a
22
a
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]