Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории игр. Учебное пособие
.pdf
31
Неизвестными в ней являются
m
ppp ...,,,
21
и . Так как
0
, то
разделим все неравенства на
и введем новые переменные.
Введем
i
i
p
x
. Поскольку
0ip
,
0
, все
0ix
, где
mi ,1
.
В новой системе неравенств все переменные неотрицательны:
).,1(0
,1...
,1...
,1...
2211
2222112
1221111
mix
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
i
mmnnn
mm
mm
Рассмотрим функцию
1
...
21 m
xxxF
, так как
1
i
p
.
В интересах игрока А цена игры должна быть максимальной.
Но если
max
, то
min
1
. Значит,
min...
21
m
xxxF
.
Получили задачу линейного программирования. Решая эту задачу,
находим
0
и все
0
i
p
, т. е. находим оптимальную смешанную стра-
тегию игрока А и цену игры:
00
2
0
1
21
0
...
...
m
m
ppp
AAA
S
A
и
0
.
Для того чтобы решить задачу для игрока B, т. е. найти его оп-
тимальную смешанную стратегию
00
2
2
0
1
1
0
...
...
n
n
B
qq
BB
q
B
S
, надо ре-
шить двойственную задачу линейного программирования. В частном случае, так как
0
найдена и
0
i
p
– тоже, можно выделить по-
лезные стратегии игрока A. И если число их окажется большим или
равным
1n
, где n – число эффективных стратегий игрока В, то мы
сможем определить и оптимальные стратегии игрока B, не прибегая
к решению двойственной задачи. Но если число полезных стратегий игрока А меньше
1n
, то придется решать двойственную зада-
чу (пользоваться теорией двойственности).
Если в исходной игре платежная матрица содержала отрицательные элементы и для их ликвидации все ее элементы были увеличены на
0L
, то, чтобы найти цену игры исходной задачи, надо
из найденной цены игры вычесть L:
L
0
исх
.
32
Пример. Игроки A и B одновременно и независимо друг от
друга записывают каждый одно из трех чисел: 1, 2 или 3. Если
сумма написанных чисел четная, то B платит A эту сумму в рублях;
если она нечетная, то, наоборот, A платит B эту сумму. Найти решение игры в смешанных стратегиях.
Составим платежную матрицу игры. Так как это игра с нулевой суммой, то достаточно выписать платежную матрицу игрока А.
Игра 33. Седловой точки нет. Сделаем все элементы матрицы неотрицательными. Добавим ко всем элементам матрицы величину
5L
. Получим новую матрицу.
Нижняя цена игры
2
, верхняя цена игры
9
. Составим систе-
му неравенств:
.0,0,0
,1109
,092
,927
321
321
321
321
ppp
ppp
ppp
ppp
Введем новые переменные
0
i
i
p
x
.
.0,0,0
,11109
,1092
,1927
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxx
min
321
xxxF
.
Получили стандартную задачу линейного программирования.
1
B
2
B
3
B
1
A
2
–3
4
2
A
–3 4 –5
3
A
4
–5 6
1
B
2
B
3
B
1
A
7 2 9
2
A
2 9 0
3
A
9 0 11
33
Введем балансовые переменные
0,,
321
zzz
.
.0,,
,0,,
,11109
,1092
,1927
321
321
3321
2321
1321
zzz
xxx
zxxx
zxxx
zxxx
min000
321321
zzzxxxF
.
Решая эту задачу симплекс-методом, получаем:
3211
80
81
40
11
80
99
20
1
zzzx
,
3212
40
9
20
1
40
11
10
1
zzzx
,
3213
80
59
40
9
80
81
20
1
zzzx
,
321
20
1
10
1
20
1
5
1
zzzF
.
Дальнейшее уменьшение функции
F
за счёт перевода пере-
менных z из свободных в базисные невозможно. Так как
0,,
321
zzz
,
то минимальное значение целевая функция F принимает при
0
321
zzz
.
Решение задачи линейного программирования найдено:
20
1
0
1
x
,
10
1
0
2
x
,
20
1
0
3
x
,
5
1
min
F
.
5
1
0
F
,
055
00
исх
L
.
Поскольку
1
1
p
x
,
2
2
p
x
,
3
3
p
x
, то
4
1
5
20
1
00
1
0
1
xp
,
2
1
5
10
1
00
2
0
2
xp
,
4
1
5
20
1
00
3
0
3
xp
.
Итак, оптимальная стратегия игрока А в такой игре –
4
1
2
1
4
1
321
0
AAA
S
A
.
Найдем оптимальную стратегию игрока B:
0
3
0
2
0
1
321
0
qqq
BBB
S
B
. Так
как
321
,, AAA
– полезные стратегии игрока A (их частоты в опти-
мальной смешанной стратегии игрока А отличны от нуля), то для
34
этого достаточно найти решение системы уравнений, составленной
для двух пар стратегий, например
),(
0
2
B
SA
и
),(
0
3
B
SA
:
:),(
:),(
0
3
0
2
B
B
SA
SA
.1
,51109
,5092
321
321
321
qqq
qqq
qqq
Получаем
.1
,5119
,592
321
31
21
qqq
qq
qq
Откуда следует, что
4
1
0
1
q
,
2
1
0
2
q
,
4
1
0
3
q
.
Значит,
4
1
2
1
4
1
321
0
BBB
S
B
,
4
1
2
1
4
1
321
0
AAA
S
A
,
0
0
исх
.
Для отыскания
03020
1
,, qqq
можно было также воспользоваться соот-
ношениями двойственности. Игра полностью решена.
ГЛАВА 4
ПОНЯТИЕ ОБ ИГРАХ С НЕНУЛЕВОЙ СУММОЙ
И КООПЕРАТИВНЫХ ИГРАХ
4.1. Игры с ненулевой суммой
В играх с ненулевой суммой выигрыш одного игрока не равен
проигрышу другого и возможны ситуации, когда оба игрока выигрывают или оба проигрывают.
Необходимо написать матрицу выигрышей для одного игрока,
затем матрицу для другого игрока, но обычно их (платёжные матрицы) совмещают:
1
B
2
B
…
n
B
1
A
1111
, ba
1212
, ba
…
nn
ba11,
2
A
2121
, ba
2222
, ba
…
nn
ba22,
… … … … …
m
A
11
,mmba
22
,mmba
…
mnmn
ba ,
35
Функцию выигрыша (или платежную функцию) игрока А (первого
игрока) обозначим
ji
BAh ,
1
, а функцию выигрыша второго игрока
(игрока В) обозначим
ji
BAh ,
2
. Величина
jji i
aBAh ,
1
. Она пока-
зывает выигрыш игрока А в ситуации, когда он выбирает стратегию
i
A
, а игрок В выбирает стратегию
j
B
. Величина
jji i
bBAh ,
2
. Она
показывает выигрыш игрока В в той же ситуации, т. е. когда игрок
А выбирает стратегию
i
A
, а игрок В выбирает стратегию
j
B
. Для
игр с ненулевой суммой в общем случае
jj ii
ba
.
Например,
11111
, aBAh
,
11112
, bBAh
– это соответственно
выигрыши игрока А и игрока В, когда каждый из них выбирает
свою первую стратегию: игрок А – стратегию
1
A
, а игрок В – стра-
тегию
1
B
.
В играх с ненулевой суммой появляется возможность более
разнообразного поведения игроков. В играх с нулевой суммой невыгодно сообщать своему противнику о своей выбранной стратегии
(это может уменьшить наш выигрыш). В играх же с ненулевой
суммой возникает возможность договариваться (сообщать свои
стратегии) с целью увеличить выигрыш каждого из игроков путем
совместных действий.
Игры с ненулевой суммой подразделяются:
на кооперативные: игроки могут договариваться о сов-
местных действиях (согласовывать свои стратегии);
некооперативные: в такой игре игроки принимают реше-
ния независимо друг от друга потому, что соглашение для них невозможно или запрещено правилами игры.
Пример. Дилемма заключённого.
Два преступника ожидают приговора суда. Адвокат конфиденциально предлагает каждому из преступников облегчить участь
и даже освободить, если он сознается и даст показания против сообщника, которому грозит в этом случае 10 лет. Если никто не сознается, то обоим угрожает заключение на определённый срок
(пусть на 1 год) по обвинению в незначительном преступлении. Если сознаются оба преступника, то с учётом чистосердечного признания им обоим грозит попасть в тюрьму на 5 лет. Преступники не
имеют возможности общаться друг с другом.
36
Здесь мы имеем дело с некооперативной игрой двух лиц с
ненулевой суммой. Взаимодействие игроков невозможно по условиям игры.
У игрока А две стратегии:
1
A
– сознаться,
2
A
– не сознаться. У
игрока В тоже две стратегии:
1
B
– сознаться,
2
B
– не сознаться. Со-
ставим сдвоенную платежную матрицу игры.
Цель каждого игрока – минимизировать свою платежную функцию.
Одним из подходов к решению такого вида задач является поиск точек равновесия ненулевой игры.
Пара стратегий называется точкой равновесия игры по Нэшу,
если каждому из соперников невыгодно отклоняться от такой стратегии в одиночку.
Обозначим
**
,
B
A
SS
стратегии игроков, дающие точку равнове-
сия игры по Нэшу.
Пара стратегий
),(
**
B
A
SS
называется точкой равновесия игры
по максимуму, если для любой стратегии игрока А (т. е.
A
S
)
),(),(
**
1
*
1
B
A
B
A
SShSSh
и для любой стратегии игрока В (т. е.
B
S
)
),(),(
**
2
*
2
B
A
B
A
SShSSh
,
т. е. при отклонении любого игрока в одиночку от своей равновесной стратегии значение его платежной функции может только
уменьшиться или остаться прежним.
Пара стратегий
),(
**
B
A
SS
называется точкой равновесия игры
по минимуму, если для любой стратегии игрока А (
A
S
)
),(),(
*
1
**
1
B
A
B
A
SShSSh
и для любой стратегии игрока В (
B
S
)
),(),(
*
2
**
2
B
A
B
A
SShSSh
,
т. е. при отклонении любого игрока в одиночку от своей равновесной стратегии значение его платежной функции может или увеличиться или остаться прежним.
В дилемме заключенного точкой равновесия по Нэшу (равновесия по минимуму) является пара стратегий (
1
A
,
1
B
), т. е. лучшей
1
B
2
B
1
A
(5; 5)
(0; 10)
2
A
(10; 0)
(1; 1)
37
стратегией для каждого заключенного является стратегия сознаться. Отклоняющийся от этой стратегии в одиночку игрок сразу
ухудшает свое положение до 10 лет заключения. Пара стратегий
(
2
A
,
2
B
), дающая лучший результат для обоих игроков вместе, об-
ладает неустойчивостью: отказавшийся в одиночку от такой стратегии игрок сразу улучшает свое положение (освобождается). Так как
игроки в этой игре не могут договориться о совместных действиях
и добиваются только своей личной выгоды, то каждому из них выгоднее сознаться. В результате оба получат по 5 лет тюрьмы. Если
же один из игроков решит не сознаваться, рассчитывая на такое же
поведение другого игрока, то он рискует получить 10 лет тюрьмы.
Для пар стратегий (
1
A
,
2
B
) и (
2
A
,
1
B
) изменение стратегии одним
из игроков (решение сознаться игрока В в первом случае и игрока А
– во втором) изменяет позицию этого игрока в лучшую сторону (с
10 лет до 5).
Итак, решением задачи «Дилемма заключенного» является
точка равновесия (
1
A
,
1
B
). Результат игры (решение по Нэшу) –
(5; 5).
В игре с ненулевой суммой может быть несколько точек равновесия. Рассмотрим, например, игру с данной платежной матрицей.
Игроки максимизируют свои выигрыши.
В этой платёжной матрице – две точки равновесия
),(11BA
и
),(22BA
, но платежи в них различные.
В каждой точке равновесия каждому игроку невыгодно в одиночку отклоняться от выбранной стратегии. Так как игра некооперативная, т. е. соглашение между игроками невозможно, а выигрыши в разных точках равновесия у игроков различны, то решения в
чистых стратегиях у этой игры нет. Если игрок А, максимизируя
свой выигрыш, выберет стратегию А
1
, а игрок В из тех же сообра-
жений выберет стратегию В
2
, то результатом игры будет пара (0; 0),
т. е. каждый игрок получит нулевой выигрыш.
1
B
2
B
1
A
(4; 1)
(0; 0)
2
A
(0; 2)
(2; 4)
38
Доказано, что для любой конечной некооперативной игры с
ненулевой суммой всегда существует по крайней мере одна равновесная пара смешанных стратегий.
В общем случае равновесное решение может быть не единственным и каждому из них могут соответствовать различные значения выигрыша каждого из игроков.
4.2. Кооперативные игры
Кооперативной называется игра с ненулевой суммой, в кото-
рой игрокам разрешается обсуждать перед игрой свои стратегии и
договариваться о совместных действиях, т. е. игроки могут образовывать коалиции.
Основная задача кооперативной игры состоит в дележе общего выигрыша между членами коалиции.
В случае кооперативной игры двух лиц предполагается, что
два игрока не могут воздействовать друг на друга, пока не придут к
некоторому соглашению, т. е. игра определяется как некоторое
множество
S
в пространстве переменных
1
h
и
2
h
, где
1
h
и
2
h
– пла-
тёжные функции каждого из игроков. S – множество возможных
выигрышей.
Рис. 4.1
A
B
C D N
T
T
1
T
2
h
1
h
2
Точка Нэша
S
39
В случае применения смешанных стратегий выигрыши меняются непрерывно.
Заданы два числа
1
T
и
2
T
, определяющие максимальный выиг-
рыш каждого из игроков, который можно получить, не вступая в
коалицию со своим партнёром.
Игра имеет наиболее простое решение, если S (множество
возможных выигрышей) – множество выпуклое, замкнутое и ограниченное сверху.
Точку с координатами
),(21TT
называют точкой угрозы.
На множестве возможных выигрышей S выделяется множество Парето-оптимальных решений (Парето-оптимальное множество).
4.3. Парето-оптимальное множество решений
Множество Парето-оптимальных решений – это множество точек, принадлежащих множеству возможных выигрышей
S
,
для которых увеличение выигрыша одного из игроков возможно
только за счёт уменьшения выигрыша его партнера.
Дуга (граница множества S) от точки A до точки B – северовосточная граница множества S – будет представлять Паретооптимальное множество (рис 4.1).
Все точки Парето-оптимального множества, находящиеся одновременно выше и правее точки угрозы, образуют переговорное
множество.
Дуга CD – переговорное множество (часть дуги AB, т. е. часть
Парето-оптимальных решений) – на этой дуге имеет смысл вступать в коалицию (в переговоры, рис. 4.1).
Для первого игрока желательно достижение точки D, для второго игрока – точки C. Возможен компромисс.
Как выбрать точку, чтобы не ущемить ни одного игрока?
На переговорном множестве определяется точка Нэша. Это
точка, в которой достигается максимум произведения превышения
выигрышей каждого из игроков над платежами, которые могут
быть получены без вступления в коалицию:
))((max
2211
ThTh
.
40
Эта точка представляет одно из возможных решений кооперативной игры, от которого нет оснований отказываться ни одному из
игроков.
В теории игр показано, что если множество возможных выигрышей выпукло, замкнуто и ограничено сверху, то точка Нэша существует и она единственна.
Пример «Семейный спор»
Согласно условиям этой игры семейная пара решает задачу
отдыха (как им проводить свой досуг). Из зрелищ имеется балет и
футбол.
Жена предпочитает балет, муж – футбол. Они так привязаны
друг к другу, что посещение в одиночку любимого зрелища снижает удовольствие от этого мероприятия, т. е. если жена идет на балет
с мужем, то получает максимальное удовольствие – условно 4 единицы; муж недолюбливает балет, но присутствие жены скрашивает
это, и он получает 1 единицу. Для футбола наоборот: удовольствие
мужа в присутствии жены – 4 единицы, жены – 1 единица. Они могут сходить на свое любимое зрелище и в одиночку, но тогда они
получат по 2 единицы удовольствия. Они получат по 0 единиц удовольствия, если муж отправится на балет, а жена на футбол.
У мужа и у жены есть две стратегии: идти на балет или идти
на футбол. Платежную матрицу игры можно представить следующим образом:
Жена
балет
футбол
Муж
балет
(1; 4)
(0; 0)
футбол
(2; 2)
(4; 1)
Можно показать, что если супруги будут придерживаться различных смешанных несогласованных стратегий, то множество возможных выигрышей S изобразится в координатах h1 и h2 областью,
занятой треугольником АВС (рис. 4.2).
Северо-восточная граница этой области – сторона ВС – является множеством Парето-оптимальных решений игры (увеличение
удовольствия одного из супругов возможно лишь при уменьшении
удовольствия другого). Максимальное удовольствие, которое могут
получить супруги в одиночку, не договариваясь друг с другом о
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]