Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории игр. Учебное пособие
.pdf
51
Сведение к задачам линейного программирования
Найти решения игр 29–31 путем сведения их к задаче линейного программирования, предварительно редуцировав платежные
матрицы.
29. 30. 31.
4457
2349
2356
8863
.
3 6 5 2 7
7 8 6 7 3
6 5 5 4 6
9 4 3 5 2
.
2123
6013
0231
3123
.
32*. Игра «Три пальца»
Игроки А и В одновременно и независимо друг от друга показывают один, два или три пальца. Выигрыш или проигрыш решает
общее число показанных пальцев. Выигрыш (в рублях) равен этому
числу; если оно нечетное – выигрывает А, а В ему платит; если четное – наоборот. Найти решение игры.
33*. Игра «Вооружение и самолеты»
В нашем расп
оряжении имеется три вида вооружений: А
1
, А2,
А
3
; у противника – три вида самолетов: В1, В2, В3. Наша задача –
поразить самолет; задача противника – сохранить его непораженным.
При применении вооружения А
1
самолеты В1, В2, В3 поражаются
соответственно с вероятностями 0,9, 0,4 и 0,2; при вооружении А
2
–
с вероятностями 0,3, 0,6 и 0,8; при вооружении А
3
– с вероятностя-
ми 0,5, 0,7 и 0,2. Требуется сформулировать ситуацию в терминах
теории игр и решить игру в смешанных стратегиях.
34*. Спортивный клуб А располагает тремя вариантами состава команды: А
1
, А2 и А3. Клуб В – также тремя вариантами В1, В2 и
В
3
. Подавая заявку для участия в соревновании, ни один из клубов
не знает, какой состав изберет противник. Вероятности выигрыша
клуба А при различных вариантах составов команд, примерно известные из опыта прошлых встреч, заданы матрицей:
52
А
В
В1 В2 В3
А1 0,8 0,2 0,4
А2 0,4 0,5 0,6
А3 0,1 0,7 0,3
Найти, с какой частотой клубы должны выставлять каждый из
составов во встречах друг с другом, чтобы добиться наибольшего в
среднем числа побед.
35**. Магазин может завести в различных пропорциях товары
трех типов (Т
1
, Т2, Т3); их реализация и прибыль магазина зависят
от вида товара и состояния спроса. Предполагается, что спрос
может иметь три состояния (С
1
, С2, С3) и не прогнозируется. Опре-
делить оптимальные пропорции в закупке товаров из условия максимизации средней гарантированной прибыли при следующей
матрице прибыли:
Тип
товара
Спрос
С1 С2 С3
Т1
Т
2
Т
3
20
16
13
15
12
18
10
14
15
У к а з а н и е. Найти максимум нижней границы игры, т. е.
оптимальную максиминную смешанную стратегию игрока А.
36**. Предприятие может выпускать три вида продукции (А
1
,
А
2
и А3), получая при этом прибыль, зависящую от спроса, который
может быть в одном из четырех состояний (В
1
, В2, В3, В4). Дана
матрица, ее элементы
ij
a
характеризуют прибыль, которую полу-
чит предприятие при выпуске i-й продукции с j-м состоянием спроса.
B
1
B
2
B
3
B
4
A
1
3 3 6 8
A
2
9 10 4 2
A
3
7 7 5 4
53
Определить оптимальные пропорции в выпускаемой продук-
ции, гарантирующие среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса, считая его неопределенным.
У к а з а н и е. Найти максимум нижней границы игры, т. е.
оптимальную максиминную смешанную стратегию игрока А.
37*. Игра «Вооружение – помехи»
Сторона А располагает тремя видами вооружения А1, А2, А
3
, а
сторона В – тремя видами помех В1, В2, В
3
. Вероятность решения
боевой задачи стороной А при различных видах вооружения и помех задана матрицей:
А
В
В
1
В
2
В
3
А
1
0,7
0,3
0,1
А
2
0,2
0,4
0,8
А
3
0,5
0,6
0,4
Сторона А стремится решить боевую задачу, сторона В – воспрепятствовать этому. Найти оптимальные стратегии сторон.
54
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ
1. Ответ. Матрица игры
543
432
, α = –3, β = 2. Седловой точки нет.
Максиминная стратегия – А1, минимаксная – В1.
2. Ответ. α = 0,4, β = 0,6. Седловой точки нет. Максиминная стратегия – А3, минимаксная – В2.
3. Ответ. α = β = ν = 4, (А0, В0) = (А2, В3).
4. Ответ. α = 5, β = 7. Седловой точки нет. Максиминная стратегия
– А2, минимаксная – В4.
5. Ответ. α = β = ν = 6, (А0, В0) = (А3, В2).
6. Ответ. α = β = ν = 6, (А0, В0) = (А2, В3).
7. Ответ. α = 4, β = 6. Седловой точки нет. Максиминная стратегия
– А2, минимаксная – В1 или В3.
8. Ответ. (А0, В0) = (А3, В2), ν = 0,6.
9. Ответ. (А0, В0) = (А2, В2), ν = 6.
10. Ответ. (А0, В0) = (А2, В2), ν = 0,7.
11. Указание. Рассмотреть стратегии игроков:
А
1
– каждое орудие следит за направляющейся в его зону целью;
А
2
– орудия следят за целями «крест-накрест» (каждое – за це-
лью, направляющейся к соседу);
А
3
– оба орудия следят за целью № 1;
А
4
– оба орудия следят за целью № 2;
В
1
– оба самолета не меняют направления;
В
2
– оба самолета применяют обманный маневр;
В
3
– первый самолет применяет обманный маневр, а второй нет;
В
4
– второй самолет применяет обманный маневр, а первый нет.
Ответ. (А3, В
3
), или (А
3
, В
4
), или (А
4
, В
3
), или (А
4
, В4), ν = 1.
Оптимальные стратегии: орудия следят оба за одним и тем же
самолетом (любым), а самолеты направляются после целераспределения в одну и ту же зону (любую). Цена игры – один неизбежно
сбитый самолет.
12. Ответ. (
0
A
S
;
0
B
S
) = (1/3, 2/3; 1/2, 1/2), ν = 0.
13. Ответ. (А0, В0) = (А1, В1), ν = 2.
14. Ответ. (
0
A
S
;
0
B
S
) = (1/4, 3/4; 5/8, 3/8), ν = 7/4.
15. Ответ. (
0
A
S
;
0
B
S
) = (1/2, 1/2; 1/2, 1/2), ν = 0.
16. Ответ. (
0
A
S
;
0
B
S
) = (1/3, 2/3; 1/3, 2/3), ν = 1/3.
17. Ответ. (
0
A
S
;
0
B
S
) = (0,7, 0,3; 0,7, 0,3), ν = 0,874.
55
18. Указание. Рассмотреть стратегии игроков:
А
1
(1+1+0) – послать по одному самолету на два разных (любых)
направления;
А
2
(2+0+0) – послать оба самолета по одному (любому) направ-
лению;
В
1
(1+1+1) – поставить по одному орудию на каждое направле-
ние;
В
2
(2+1+0) – поставить два орудия на одно (любое) направление
и одно – на другое, а третье оставить незащищенным;
В
3
(3+0+0) – поставить все три орудия на одно (любое) направле-
ние, а два других оставить незащищенными.
Ответ. (А0, В0) = (А2, В2), ν = 2/3. Оптимальное поведение сторон:
сторона А должна всегда посылать оба самолета лететь вместе, а
сторона В должна всегда расставлять орудия по схеме (2+1+0), т. е.
ставить два орудия на какое-то одно направление, одно орудие – на
другое, и одно направление оставлять вообще незащищенным.
19. Указание. Рассмотреть стратегии игроков:
А1(1+1+0+0) – послать самолеты порознь;
А
2
(2+0+0+0) – послать самолеты вместе;
В
1
(1+1+1+1) – поставить по одному орудию на каждое направ-
ление;
В
2
(2+1+1+0) – поставить два орудия на одно (любое) направле-
ние, по одному – на два других, а одно оставить незащищенным;
В
3
(2+2+0+0) – поставить по два орудия на два направления, а
два других оставить незащищенными;
В
4
(3+1+0+0) – поставить три орудия на одно направление, одно
– на другое, а два оставить незащищенными;
В
5
(4+0+0+0) – поставить все четыре орудия на одно направле-
ние, а остальные три оставить незащищенными.
Ответ. (
0
A
S
;
0
B
S
) = (3/8, 5/8; 1/4, 0, 3/4, 0, 0), ν = 5/8.
20. Ответ. (
0
A
S
;
0
B
S
) = (7/12, 5/12; 7/12, 5/12, 0), ν = –1/12.
21. Ответ. (
0
A
S
;
0
B
S
) = (3/5, 2/5, 0, 0, 0; 4/5, 0, 1/5, 0, 0), ν = 3,6.
22. Указание. Рассмотреть стратегии игроков:
А
1
(2+1) – направить два батальона по одной из дорог (любой) и
один – по другой;
А
2
(3+0) – направить все три батальона по одной из дорог (лю-
бой);
В
1
(2+2) – направить по два батальона на каждую из дорог;
56
В
2
(3+1) – направить три батальона на одну из дорог (любую), а
один батальон – на другую;
В
3
(4+0) – направить все четыре батальона на одну из дорог (лю-
бую), а другую дорогу оставить незащищенной.
Ответ. (
0
A
S
;
0
B
S
) = (0,4–0,5, 1– p1; В2), ν = 0,7. Множество реше-
ний: игрок А может применять стратегию А1 с любой частотой p
1
от
0,4 до 0,5, а стратегию А
2
с частотой 1– p1. Игрок В должен приме-
нять свою чистую стратегию В
2
. Таким образом, нападающая сто-
рона должна с вероятностью, принимающей любое значение между
0,4 и 0,5, направлять два батальона по любой из дорог, а оставшийся батальон – по другой дороге; во всех же остальных случаях посылать все три батальона по одной из дорог (любой). Обороняющаяся сторона всегда должна выставлять три батальона на одну дорогу (любую), а один батальон – на другую дорогу. Устойчивый выигрыш стороны А при этом будет равен 0,7, т. е. в 70 % случаев
сторона А захватит объект.
23. Ответ. (
0
A
S
;
0
B
S
) = (0, 0, 5/6, 1/6; 1/2, 0, 0, 1/2), ν = 0,45.
24. Ответ. (
0
A
S
;
0
B
S
) = (2/3, 0, 0, 1/3; 1/2, 0, 0, 1/2), ν = 2.
25. Ответ. (
0
A
S
;
0
B
S
) = (0,2–0,8, 1– p1, 0, 0; В2), ν = 4. Множество ре-
шений: игрок А может применять стратегию А1 с любой частотой p
1
от 0,2 до 0,8, а стратегию А
2
с частотой 1– p1. Стратегии А3 и А4 он
применять не должен. Игроку В выгоднее применять чистую стратегию В
2
.
26. Ответ. (
0
A
S
;
0
B
S
) = (0, 1/3, 0, 2/3; 1/2, 1/2, 0, 0), ν = 2.
27. Ответ.
0
A
S
= (5/7, 2/7), ν = 17/7;
0
B
S
= (0, 5/7, 2/7, 0)
28. Указание. Дана матрица затрат игрока А. Значит, игрок А должен минимизировать платежи матрицы, а игрок В – их максимизировать. Игроки А и В как бы поменялись местами. В данном случае
игрок А должен придерживаться минимаксной (минимизировать
свои затраты), а игрок В максиминной (наихудшей для игрока А)
стратегии. Нужно найти минимум верхней границы игры для игрока А или максимум нижней границы игры для игрока В.
Ответ.
0
A
S
= (0, 1/3, 2/3), ν = 26/3;
0
B
S
= (0, 1/3, 2/3).
29. Ответ. (
0
A
S
;
0
B
S
) = (2/5, 0, 0, 3/5; 1/5, 4/5, 0, 0), ν = 27/5 = 5,4.
30. Ответ. (
0
A
S
;
0
B
S
) = (0, 2/3, 1/3, 0; 1/2, 1/2, 0, 0, 0), ν = 5.
31. Ответ.
44
1
,
44
3
,
2
0
ttt
S
A
,
10 t
;
0
B
S
= (0, 0, 3/4, 1/4), ν = 1,5.
57
32. Ответ. (
0
A
S
;
0
B
S
) = (1/4, 1/2, 1/4; 1/4, 1/2, 1/4), ν = 0.
Решение. Составляем платежную матрицу.
α = -4, β = 3, α ≠ β.
Седловой точки нет. Ищем решение в смешанных стратегиях. Избавляемся от отрицательных элементов матрицы, добавляя ко всем
ее элементам число L = 6.
Все стратегии обоих игроков эффективные. Матрица игры не редуцируется. Рассматриваем смешанную стратегию игрока А:
321
321
ppp
AAA
S
A
,
.1
321
ppp
Составляем систему неравенств и вводим новые переменные.
:),(
:),(
:),(
3
2
1
BS
BS
BS
A
A
A
.0112
,1129
,294
321
321
321
ppp
ppp
ppp
3,1,
i
p
x
i
i
.
Записываем пару двойственных задач линейного программирования:
,10112
,11129
,1294
321
321
321
xxx
xxx
xxx
3
2
1
y
y
y
,10112
,11129
,1294
321
321
321
yyy
yyy
yyy
3
2
1
x
x
x
,0,,
321
xxx
,0,,
321
yyy
min
1
321
xxxf
;
.max
1
321
yyyF
В
1
В
2
В
3
α
i
А
1
-2 3 -4
-4
А
2
3 -4
5
-4
А
3
-4 5 -6
-6
β
j
3 5 5
В
1
В
2
В
3
А
1
4 9
2
А
2
9 2
11
А
3
2 11
0
L = 6.
58
Решаем вторую задачу (как более простую) симплекс-методом.
1-й шаг.
↑
2-й шаг.
↑
3-й шаг.
↑
Получили решение:
На основании теорем двойственности запишем решения ис-
ходной и двойственной задачи.
1 -y1
-y2
-y3
Δ
i
y4 1 4 9 2
1/4
y5
1 9 2
11
1/9
y6 1 2
11 0 1/2
F 0 -1
-1
-1
max
1 -y5
-y2
-y3
Δ
i
y4
5/9
-4/9
73/9
-26/9
5/730,068
y1
1/9
1/9
2/9
11/9
1/2 = 0,5
y6
7/9
-2/9
95/9
-22/9
7/950,074
F
1/9
1/9
-7/9
2/9
max
1 -y5
-y4
-y3
Δi y
2
5/73
-4/73
9/73
-26/73
y1
7/73
9/73
-2/73
95/73
7/95
y6
4/73
26/73
-95/73
96/73
4/96
F
12/73
5/73
7/73
-4/73
max f x2 x1 x3
1
-y5
-y4
-y6
x5 y2
1/12
1/24
-11/48
13/48
x4 y1
1/24
-11/48
121/96
-95/96
x6 y3
1/24
13/48
-95/96
73/96
1 F 1/6
1/12
1/24
1/24
max
59
Итак,
.6
1
;
6
1
;
24
1
,
12
1
,
24
1
0
3
0
2
0
1
F
Fyyy
.066;
24
1
,
12
1
,
24
1
0
0
3
0
2
0
1
Lxxx
Отсюда следует, что
.
4
1
6
24
1
,
2
1
6
12
1
,
4
1
6
24
1
0
3
0
3
0
2
0
2
0
1
0
1
yqyqyq
Аналогично получим, что
.
4
1
6
24
1
,
2
1
6
12
1
,
4
1
6
24
1
0
3
0
3
0
2
0
2
0
1
0
1
xpxpxp
Стратегии игрока А можно также найти, решив систему
,60112
,61129
,6294
321
321
321
ppp
ppp
ppp
так как у игрока В три полезные стратегии,
или систему
,1
,60112
,61129
321
321
321
ppp
ppp
ppp
взяв две полезные стратегии игрока В: В2 и В3 – и дополнив полученную систему условием
.1
321
ppp
Итак,
41214
1
321
0
AAA
S
A
,
41214
1
321
0
BBB
S
B
,
.00
33. Ответ. (
0
A
S
;
0
B
S
) = (19/52, 29/52, 1/13; 9/26, 6/13, 5/26),
ν = 139/260 ≈ 0,53.
Решение. Составим платежную матрицу.
α = 0,3, β = 0,7, α ≠ β.
В
1
В
2
В
3
α
i
А
1
0,9
0,4
0,2
0,2
А
2
0,3
0,6
0,8
0,3
А
3
0,5
0,7
0,2
0,2
β
j
0,9
0,7
0,8
60
Седловой точки нет. Ищем решение в смешанных стратегиях.
Для упрощения расчетов увеличим все элементы матрицы в 10 раз.
Цена игры при этом также увеличится в 10 раз. Стратегии не изменятся.
Матрица не редуцируется. Все стратегии игроков эффективные. Сведем задачу к паре двойственных задач линейного программирования. Рассмотрим смешанную стратегию игрока А:
321
321
ppp
AAA
S
A
,
.1
321
ppp
Запишем систему неравенств, соответствующую применению смешанной стратегии игроком А и чистых стратегий игроком В, и введем новые переменные.
:),(
:),(
:),(
3
2
1
BS
BS
BS
A
A
A
.282
,764
,539
321
321
321
ppp
ppp
ppp
3,1,
i
p
x
i
i
.
Составим пару двойственных задач линейного программирования:
,1282
,1764
,1539
321
321
321
xxx
xxx
xxx
3
2
1
y
y
y
,1275
,1863
,1249
321
321
321
yyy
yyy
yyy
3
2
1
x
x
x
,0,,
321
xxx
,0,,
321
yyy
min
1
321
xxxf
;
.max
1
321
yyyF
Решим вторую задачу (как более простую) симплекс-методом.
1-й шаг.
↑
В
1
В
2
В
3
А
2
3 6
8
А
3
5 7 2 1 -y1
-y2
-y3
Δ
i
y4
1 9 4 2 1/9
y5 1 3 6 8
1/3
y6 1 5 7 2
1/5
F 0 -1
-1
-1
max
0
10
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]