Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории поля. Учебно-методическое пособие
.pdf
31
Где значение производной взято в некоторой внутренней точке
параллелепипеда. Тогда
Аналогично, если грани под номерами 3 и 4 параллельны между собой и
перпендикулярны оси OY, то для суммы потоков через эти грани справедливо
А для граней 5 и 6, перпендикулярных оси OZ, имеем
Сложим потоки по всем шести граням
и применим формулу (9), стянув параллелепипед в точку M:
(11)
Выражение (11) и есть формула для дивергенции в декартовых
координатах XYZ.
Пример. Найти дивергенцию векторного поля
в точке M(-1, 1, 2).
Решение.
Здесь
.
Имеем
В точке М
Тогда, согласно формуле (11),
div
= – 4 – 3 +29 = 22.
Ответ. div
= 22.
32
13.Формула Гаусса-Остроградского
Теорема. Пусть – векторное поле,
имеющее непрерывные компоненты, а также непрерывные частные
производные:
, а замкнутая поверхность S ограничивает объем V.
Тогда справедлива следующая формула, называемая формулой Гаусса-
Остроградского:
. (12)
Доказательство.
Разобьём объем V на конечное число n достаточно малых фрагментов.
Обозначим как ΔП
i
поток векторного поля
через поверхность i-го фрагмента,
ΔVi – объем i-го фрагмента. Величина всего объема
Для некоторой внутренней точки i-го фрагмента запишем выражение для
дивергенции (11) в следующем виде:
или
Просуммируем последнее выражение по всем фрагментам
При суммировании потоки по внутренним границам между фрагментами
учитываются дважды с противоположными знаками (за счет направления
внешней нормали к фрагменту). Поэтому они взаимно уничтожатся, и в левой
части последней формулы останется только поток через внешнюю границу S
данного объема. Чтобы получить точное равенство, перейдем к пределу при
n→∞ и получим
ч.т.д. (13)
Физический смысл формулы Гаусса-Остроградского: поток векторного
поля
через замкнутую поверхность S равен интегралу от дивергенции вектора
по объему V, ограниченному этой поверхностью (или равен суммарной
интенсивности источников и стоков поля
внутри объема V).
Замечание. Формулу Гаусса-Остроградского часто используют в
следующем виде:
(14)
33
Пример. Вычислить поток векторного поля через
замкнутую поверхность, образованную координатными плоскостями, и частью
плоскости G, расположенной в первом октанте (рис. 13) и проходящую через
точки А(1,0,0), В(0,1,0) и С(0,0,1).
Рисунок 13 – Изображение замкнутой поверхности
Решение. Запишем уравнение плоскости G в отрезках:
или x +y +z = 1.
Для вычисления потока применим формулу Гаусса-Остроградского.
Сначала вычислим дивергенцию векторного поля
:
Подставим в формулу (13) и вычислим тройной интеграл:
Ответ. П =
.
34
14.Циркуляция векторного поля
Пусть в непрерывном векторном поле
задана кусочно-гладкая
ориентированная кривая L (т.е. указано направление движения вдоль кривой, в
данном случае – положительное). Напомним, что криволинейным интегралом
2-го рода (или криволинейным интегралом по координатам, или линейным
интегралом от вектора ) называется интеграл от скалярного произведения
, где
– касательный вектор к линии L:
Если векторное поле – силовое, то физический смысл последнего
интеграла – работа силы . Пусть
– радиус-вектор
произвольной точки M линии L в прямоугольной декартовой системе координат
(), . Тогда имеем
(15)
Свойства криволинейного интеграла 2-го рода:
1.Линейность
,
2.Eсли и
– два взаимно противоположных направления движения
вдоль кривой L, то
,
3.Для любого разбиения L =
Здесь α, β – константы.
Циркуляцией Ц векторного поля
вдоль замкнутой линии L+
называется криволинейный интеграл 2-го рода (рис. 14):
(16)
Положительно ориентированной замкнутой кривой L+ будем называть
такую, что движение вдоль нее происходит против часовой стрелки. Положение
наблюдателя при этом определяется с помощью правила правой руки или
правила буравчика.
35
Рисунок 14 – Циркуляция векторного поля
вдоль линии L
(здесь )
Пример. Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль
эллипса L:
(рис. 15).
Рисунок 15 – Замкнутый контур для вычисления циркуляции
Решение. По определению (16) имеем
.
Будем использовать параметрическое уравнение эллипса:
Тогда
36
Ответ. Ц = πab.
Пример. Найти работу векторного поля
вдоль
линии L, получаемой пересечением конуса x2 + y2 = (z – 1)2 с координатными
плоскостями (рис. 16).
Рисунок 16 – Замкнутый контур для вычисления векторного поля
Решение. Линия L состоит из дуги AB окружности x2 + y2 = 1 и двух
отрезков прямых BC и CA. Поскольку контур замкнут, то работа поля равна
циркуляции поля вдоль этого контура. Имеем
Вычислим каждый из этих интегралов.
37
1.Вдоль дуги AB справедливо z = 0, dz = 0. Тогда
2.Вдоль отрезка BC справедливо: x = 0, dx = 0, y + z = 1, .
3. Для отрезка CA выполняется: y = 0, dy = 0, x + z = 1, 1.
Тогда работа силы (или, в данном случае, циркуляция) равна
Ц =
Ответ. Ц =
38
15.Ротор векторного поля
Пусть M – произвольная точка в непрерывном векторном поле
. Окружим
эту точку малым замкнутым контуром Δl, лежащим в окрестности этой точки.
При малых Δl можно считать, что этот контур ограничивает плоскую площадку,
содержащую точку M. Рассмотрим циркуляцию
вдоль этого
контура (рис. 17).
Рисунок 17 – Циркуляция вдоль контура Δl
Вихрь, или ротор поля в точке M – это вектор, проекция которого на
нормаль к площадке равна пределу отношения циркуляции векторного поля
по контуру Δl, окружающему точку M, к площади площадки ΔS, ограниченной
контуром, когда контур Δl стягивается к точке M:
(17)
39
16.Выражение для ротора в прямоугольных декартовых координатах
Представим ротор в декартовых координатах как:
Вычислим
. Можно считать, что контур Δl – прямоугольник, стороны
которого параллельны координатным осям. Тогда проекция ΔS на координатную
плоскость YOZ имеет вид:
Имеем
Где
– проекция контура Δl на координатную плоскость YOZ
(прямоугольник ABCD на рис. 18).
Рисунок 18 – Проекция контура на плоскость YOZ
Вычислим циркуляцию вектора вдоль этой проекции
Здесь учтено, что вдоль отрезков СD и AD направление движения
противоположно направлению осей и
соответственно. Тогда
40
Применим формулу Тейлора и получим
Пренебрегая бесконечно малыми o(Δy) и o(Δz), имеем
.
По теореме о среднем значении для определенного интеграла
Подставим эти формулы в выражение для
и перейдем к пределу при
и . Тогда
Аналогично можно получить
В окончательном виде
(18)
Для запоминания последнюю формулу можно записать в виде
определителя
(19)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]