Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории поля. Учебно-методическое пособие
.pdf
21
Согласно определению для градиента функции справедливы следующие
свойства:
В скалярном поле дифференцируемой функции F(x,y,z) = (P(x,y,z), Q(x,y,z),
R(x,y,z)), рассмотрим фиксированную точку M0 и некоторую точку M в ее
окрестности. Обозначим .
Производной функции F по направлению вектора
называется следующее
выражение:
В силу дифференцируемости F имеем
Подставим это выражение в определение производной
.
Так как Δx, Δy, Δz – проекции отрезка ρ на координатные оси, то имеем
выражение для направляющих косинусов
Здесь α, β и γ – углы между
и положительными направлениями
координатных осей OX, OY и OZ соответственно. Тогда выражение для
производной по направлению примет вид:
(6)
Можно переписать формулу (5) в следующем виде
Окончательно получим выражение для производной по направлению
(7)
Известно, что скалярное произведение векторов равно произведению их
модулей и косинуса угла между ними. Поэтому для фиксированных значений
модулей наибольшее значение произведения достигается при = 0. Значит,
согласно формуле (7), наибольшее значение производной по направлению будет,
если направления и
совпадают. Поэтому справедливы два важных свойства
градиента функции F:
1. Градиент
(M) указывает направление наибольшего роста
функции F в точке M.
2. Максимальное значение скорости роста функции в точке M
определяется значением .
22
Пример. Найти наибольшую скорость возрастания поля
в точке M(1,-1,1).
Решение. Вычислим градиент поля
.
Найдем значение градиента в точке M
.
Тогда наибольшая скорость возрастания поля равна
Ответ.
Пример. Найти производную поля в точке M
0
(1,-
1,1) в направлении от этой точки к точке M1(0, 2, -3).
Решение. Найдем вектор
и его длину (модуль):
,
.
Вычислим компоненты градиента функции:
.
Применяем формулу (7)
Так как производная отрицательная, то поле в данном направлении
убывает.
Ответ.
23
10.Поверхностный интеграл 2-го рода. Поток векторного поля
Рассмотрим векторное поле
и некоторую гладкую ориентированную
поверхность S в этом поле (рис. 7). Ориентация поверхности определена
единичным вектором нормали
, компонентами которой являются
направляющие косинусы Разобьем поверхность на
достаточно мелкие фрагменты ΔS
i
, так что каждый из них приблизительно
можно считать плоским, а значение вектора
постоянным.
Рисунок 7 – Расположение вектора
на поверхности S
Ориентированной площадкой назовем выражение
.
Потоком вектора через ориентированную площадку
называется
выражение
Поток вектора
через всю поверхность S получим в пределе при
дроблении фрагментов до бесконечности
(8)
Здесь dydz + dxdz +
dxdy. Интеграл от скалярного
произведения (8) и называется поверхностным интегралом 2-го рода или
интегралом по координатам. Если векторное поле представлено
покомпонентно
, то формулу (7) можно переписать в виде:
(9)
Каждый из интегралов в формуле (9) сводится к двойному интегралу по
проекции поверхности на соответствующую координатную плоскость. Имеем
24
Здесь
– проекции поверхности S на координатные плоскости
YOZ, XOZ и XOY соответственно, знак плюс или минус выбирается в зависимости
от того, острый или тупой угол составляет нормаль
с соответствующей
координатной осью OX, OY или OZ,
– выражения, где одна
переменная выражена через две другие из уравнения поверхности.
Поток можно вычислить и с помощью поверхностного интеграла 1-го рода
Поэтому поверхностные интегралы 1-го и 2-го родов выражаются один
через другой. Это означает, что все основные свойства интеграла 1-го рода
справедливы и для второго рода. Отличие лишь в том, что интеграл второго рода
вычисляется по ориентированной поверхности и знак перед ним определяется
направляющими косинусами.
Если поверхность S – замкнутая, то используется обозначение
Резюмируем свойства поверхностного интеграла второго рода:
1.Линейность
,
,
3.Для любого разбиения S =
4.Если векторное поле перпендикулярно нормали, то
5.
25
6.
Здесь α, β – константы;
– две противоположные стороны одной и той
же поверхности S.
–
Пусть вектор – скорость среды, ρ – ее плотность, тогда
=
количество движения. Поток вектора
через площадку ΔS определяется
формулой
Здесь – единичная нормаль к площадке,
– проекция вектора скорости
на направление нормали. Тогда ΔП представляет собой массу вещества,
протекающего через площадку ΔS за единицу времени. В этом и заключается
физический смысл потока.
Рассмотрим поверхность S (рис. 8). Если поток векторного поля ΔS через
эту поверхность положительный (ΔП > 0), то больше векторных линий выходит
из поверхности, чем входит. Если ΔП < 0, то больше линий входит, чем выходит.
Если ΔП = 0, то количество входящих и выходящих линий совпадает либо среда
через поверхность не течет (поверхность совпадает с векторной линией).
Рисунок 8 – Возможное расположение векторных линий относительно
поверхности
Пример. Вычислить поток векторного поля через часть
плоскости -x + 2y +6z = 6, расположенной во втором октанте (нормаль составляет
тупой угол с осью OX).
Решение. Вектор, нормальный к плоскости, имеет компоненты (-1, 2, 6) и
составляет острые углы с осями OY, OZ и тупой угол с осью OX. В уравнении
поверхности нужно также выразить переменную z: z =1 + (x – 2y)/6. Применяем
формулу (9), выбирая знаки минус перед первым интегралом и плюс перед
вторым и третьим:
26
.
Ответ. П = -9.
Пример. Вычислить поток векторного поля через
внешнюю сторону S поверхности конуса x2+ y2 = z2, ограниченной плоскостью z
= h (h > 0) , см. рис. 9.
Рисунок 9 – Поток вектора через поверхность S
Решение. Согласно определению потока (9)
Вычислим второй интеграл
. Конус пересекает
плоскость y = 0 по прямым z = x и z = -x (рис. 10). Поверхность S представим как
, где S1 лежит над плоскостью XOZ, а S2 – под ней. Нормаль к S1
составляет острый угол с положительным направлением оси OY, а к S2 – тупой
угол. Проекциями этих поверхностей на плоскость XOZ является один и тот же
треугольник Ω. Поэтому
Рисунок 10 – Проекция поверхности на плоскость XOZ
27
Аналогично I
1
= 0.
Вычислим третий интеграл.
Проекцией Ω конуса на плоскость XOY является круг с границей x2+ y2 =
h2 (рис. 11). Нормаль к поверхности составляет тупой угол с осью OZ. Тогда
Рисунок 11 – Проекция поверхности на плоскость XOY
Здесь был использован переход к полярным координатам (4).
28
Теперь сложим эти три интеграла
.
Ответ. Поток через данную коническую поверхность равен
29
11.Дивергенция векторного поля
Пусть M – некоторая точка векторного поля
. Окружим ее замкнутой
поверхностью ΔS произвольной формы. Обозначим через ΔV объем, который
поверхность ΔS ограничивает, ΔП – поток векторного поля через данную
поверхность. Если ΔП > 0, то говорят, что в точке M существует источник
векторного поля, а если ΔП < 0, то сток. Средняя интенсивность источников и
стоков характеризуется отношением
Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля в точке
M (div ) называется предел отношения потока векторного поля через внешнюю
сторону поверхности, окружающей эту точку, к объему, ограниченному этой
поверхностью, при стягивании объема в точку M:
(10)
Дивергенция – скалярная характеристика векторного поля. Ее физический
смысл в том, что она характеризует наличие или отсутствие в какой-либо точке
источников и стоков (где поле начинается и заканчивается). Если в точке
дивергенция положительна, то в этой точке находится источник поля, то есть его
начало. Там, где поле заканчивается, дивергенция отрицательна и это называется
стоком. В точке, где нет источников и стоков, дивергенция равна нулю.
Некоторые свойства дивергенции, вытекающие из ее определения:
1. Если – постоянный вектор, то div
= 0,
2. div
, где с – константа,
3. div( + ) = div + div
,
4. Если u – скалярное поле, то div + .
30
12.Выражение для дивергенции в декартовых координатах
Рассмотрим векторное поле в декартовой системе координат.
Пусть поверхность ΔS, окружающая точку M, является поверхностью
достаточно малого прямоугольного параллелепипеда, грани которого
параллельны координатным плоскостям (рис. 12).
Рисунок 12 – Окрестность точки М в прямоугольной декартовой системе
координат
Обозначим через Δx, Δy, Δz длины ребер параллелепипеда. Его объем
составляет ΔV = Δx Δy Δz. Поток через поверхность равен сумме потоков через
все шесть его граней
Пусть грани под номерами 1 и 2 параллельны между собой и
перпендикулярны оси OX.
– единичная нормаль к первой грани, ее
направление совпадает с положительным направлением оси OX,
– единичная
нормаль ко второй грани, ее направление совпадает с отрицательным
направлением оси OX. Найдем поток через первую грань:
Соответственно, поток через вторую грань равен
Здесь P1, P
2
– средние значения первой компоненты вектора
на первой и
второй гранях соответственно. Сложим это два потока
Применим к разности значений компоненты P теорему Лагранжа о
среднем
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]