Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории поля. Учебно-методическое пособие
.pdf
11
6.Свойства поверхностного интеграла 1-го рода
Обозначим через К произвольную точку, лежащую на ограниченной
поверхности. Пусть A и B – константы, f(K) и g(K) – непрерывные функции, m и
M – минимальное и максимальное значения функции f(K) на поверхности
соответственно, |S| – площадь области. Тогда справедливы следующие свойства:
1.Линейность
5.Теорема о среднем.
Существует такая внутренняя точка K* области S, что справедливо
равенство:
6.Аддитивность области интегрирования.
Разрежем область интегрирования S на несколько непересекающихся
частей (например, на две части: ). Тогда
Доказательство свойств
Справедливость этих утверждений вытекает из определения
поверхностного интеграла 1-го рода (2) и алгебраических свойств предела
функции. В частности,
1.
+=+
SSS
dSKgBdSKfAdSKВgKAf )()()()(
SS
dSKgdSKfKgKf )()()()( .2
SS
dSKfdSKf )()(.3
MKfm )( .4
12
=
=
2.Если f(K) ≤ g(K) для любой точки К, принадлежащей поверхности, то
3.Известно, что для некоторых величин a и b справедливо неравенство
треугольника:
. Тогда
4.Если m ≤ f(K
i
) ≤ M, то
. Тогда
В последнем неравенстве переходим к пределу при и, согласно
правилу предельного перехода в неравенствах, имеем
, где
.
5.Поделим все части последнего неравенства на |S| . Тогда
Согласно теореме Больцано-Вейерштрасса о непрерывных функциях, f(K)
пробегает все значения между минимальным m и максимальным M для
ограниченной замкнутой области. Таким образом, найдется такая внутренняя
точка области K*, что выражение в середине последнего двойного неравенства
равно f(K*):
Значение f(K*), определяемое последней формулой, называется средним
значением функции f(K) на поверхности S.
6.Пусть при разбиении области S в формуле (2)
.
13
Тогда
Будем дробить обе области до бесконечности раздельно и перейдем к
пределу в последней формуле:
14
7.Поверхностный интеграл 1-го рода в декартовых координатах
Пусть в декартовой системе координат XYZ задана гладкая поверхность S,
имеющая уравнение z = z(x,y) (рис. 3). Считаем, что поверхность – правильная
по отношению к оси OZ, т.е. любая прямая, параллельная оси OZ, пересекает S
не более, чем в одной точке. Таким образом, в каждую точку проекции
поверхности на плоскость XOY проецируется только одна точка из S.
Необходимо получить выражение для поверхностного интеграла в этой системе
координат.
Рисунок 3 – Сечение поверхности z=z(x,y) плоскостью ZOY
При разбиении поверхности на кусочки возьмем один из них (AB на рис.
3). Если разбиение достаточно мелкое, то приближенно можно считать, что
фрагмент АВ – плоский. Обозначим через
нормаль к площадке AB; α, β и γ –
углы между
и положительными направлениями координатных осей OX, OY и
OZ соответственно; ΔS – площадь площадки и ΔSxy – площадь проекции AC
площадки на плоскость XOY.
Перепишем уравнение поверхности в неявном виде F(x,y,z) ≡ z-z(x,y) = 0.
Тогда для нормали справедливо выражение
Если нормируем вектор нормали, то получим выражение для
направляющих косинусов:
Таким образом, например,
Согласно рис. 3 имеем
Подставляем последнее выражение в формулу (2) и получим
15
Таким образом, при вычислении поверхностного интеграла 1-го рода в
декартовой системе координат он свелся к вычислению обычного двойного
интеграла по проекции поверхности на координатную плоскость XOY:
(3)
Замечание 1. Проецировать S можно на любую другую координатную
плоскость (XOZ или YOZ), только нужно проверять, что S является правильной
по отношению к осям OY и OX соответственно.
Замечание 2. Если область неправильная, то ее нужно разрезать на
правильные фрагменты, а затем использовать свойство 6 аддитивности области
интегрирования поверхностного интеграла.
Пример.
Вычислить интеграл
, где поверхность S задана
уравнением: x2+y2+z2 = a2, z ≥ 0 (a > 0).
Решение.
Поверхность представляет собой верхнюю полусферу с центром в начале
координат и радиусом a (рис. 4).
Рисунок 4 – Поверхность интегрирования
Область интегрирования является правильной по отношению к оси OZ.
Поэтому будем проецировать поверхность на плоскость XOY. Запишем
уравнение поверхности в явном виде:
.
Проекция S на плоскость XOY задается неравенством:
Для вычисления интеграла используем формулу (3). Имеем
16
Подставляем в интеграл:
Каждый из трех интегралов вычисляем, используя полярные координаты:
(4)
Ответ. I = I1 + I2 + I3 = 3 π a
3
.
17
8.Векторные и скалярные поля. Векторные линии
Если каждой точке M пространства Ω поставлена в соответствие скалярная
величина F(M), то говорят, что на Ω задано скалярное поле величины F(M). В
обычной декартовой системе координат скалярное поле имеет вид F(x,y,z) или
, где – радиус-вектор точки М: ;
– орты
координатных осей OX, OY и OZ соответственно. Примеры скалярных полей:
поле температур, поле плотностей, поле давлений и т.д. Линии или поверхности
уровня скалярного поля (значение F(x,y,z) является константой вдоль этой линии
или поверхности) являются изотермы (для поля температур), изобары (для поля
давлений) и т.д. Поверхностный интеграл 1-го рода задан для скалярного поля.
Если каждой точке M пространства Ω поставлена в соответствие векторная
величина , то говорят, что на Ω задано векторное поле величины
. В обычной
декартовой системе координат векторное поле имеет вид или
, где
. Здесь P, Q, R – компоненты векторного поля или
проекции вектора
на соответствующие координатные оси. Примеры
векторных полей: поле скоростей, гравитационное поле, магнитное поле и т.д.
Поле называется стационарным, если его значение в данной точке
пространства с течением времени не меняется:
, где t – время.
На рис. 5a приведен пример скалярного поля (поля температур Т). Здесь
изображены изотермы. Поток тепла от горячей точки к холодной (отмечен
стрелками) – это векторное поле. На рис. 5б изображено векторное поле (ско-
рость атомов во вращающемся теле). Каждый вектор привязан к определенному
атому и имеет разное направление при движении и разное местоположение.
Важной характеристикой векторного поля являются также векторные
линии. Это линии, касательная к которой в каждой точке задает направление
векторного поля. Найдем уравнения этих линий.
(а) (б)
Рисунок 5 – Примеры скалярного и векторного полей
18
Обозначим через вектор, касательный к векторной линии
вектора . Условием коллинеарности этих двух
векторов является пропорциональность их компонентов:
Запишем эти уравнения как систему двух дифференциальных уравнений
первого порядка:
(5)
Интегральные кривые, которые являются решением системы (5) дают
представление о геометрии поля. В частности, если векторное поле является
стационарным полем скоростей, то векторные линии – это траектории частиц
вещества.
Пример.
Найти уравнение векторных линий поля:
Решение.
Система (5) позволяет ввести параметр t:
Имеем
Тогда
Сложим уравнения в последней системе и получим
Или
Т.е. множество первообразных имеет вид: x2+y2+z2 = R2, где R –
произвольная постоянная.
Аналогично систему уравнений можно записать в виде
19
Сложив уравнения, получим
Интегрируем последнее уравнение:
-ln x +ln y +ln z = ln C или
Здесь С – произвольная постоянная.
Ответ. Векторные линии данного векторного поля имеют уравнение:
20
9.Градиент и производная по направлению
Пусть задано скалярное поле дифференцируемой функции F(x,y,z).
Градиентом этой функции называется вектор (обозначается или ),
составленный из частных производных:
.
Рассмотрим поверхность уровня F(x,y,z) = C (C = const). Возьмем
фиксированную точку M
0
на поверхности с радиусом-вектором
и
произвольную точку M на поверхности с радиусом-вектором . Обозначим
Устремим точку M вдоль поверхности к M0. В пределе вектор
становится касательным к поверхности вектором Применим
оператор дифференциала к уравнению поверхности: dF(x,y,z) = dC = 0. Согласно
определению полного дифференциала имеем:
Используя определение скалярного произведения векторов, получим
или . Скалярное произведение
ненулевых векторов равно нулю при условии их ортогональности. Поэтому
справедлива теорема.
Теорема. Градиент скалярного поля ортогонален поверхности
уровня F(x,y,z) = C.
Иллюстрацией к теореме является рис. 6.
Рисунок 6 – Направление градиента по отношению к линиям или
поверхностям уровня
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]