Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории поля. Учебно-методическое пособие
.pdf
41
Здесь имеется в виду, что, например, при раскрытии определителя
справедливо:
.
Пример. Найти вихрь векторного поля в точке M(0,-1,2)
Решение.
Используем формулу (19)
Вихрь в точке М равен
Ответ.
Пример. Найти ротор поля линейных скоростей твердого тела,
вращающегося вокруг оси OZ с постоянной угловой скоростью ω (рад/с).
Решение. Рассматриваемое поле представлено на рис. 19.
Рисунок 19 – Поле скоростей для данного тела
Для линейной скорости справедливо соотношение
, где – радиус-вектор точки, лежащей в плоскости вращения XOY,
– вектор, задающий ось вращения (ось OZ). С помощью формулы
для векторного произведения векторов вычислим скорость
:
42
Вычислим ротор этого поля:
Ответ.
Последний пример показывает, что вихрь поля линейных скоростей
вращающегося тела направлен параллельно оси вращения, а его модуль равен
удвоенной угловой скорости вращения. В этом и состоит физический смысл
ротора. Вектор
указывает направление оси, вокруг которой вращательная
способность векторного поля
наибольшая, а его модуль равен удвоенной
угловой скорости вращения вокруг этого направления.
Если для векторного поля
циркуляция вектора по произвольному
замкнутому контуру равна нулю (или, что то же самое, ), то такое поле
называется потенциальным или безвихревым. В противном случае поле
называется вихревым или соленоидальным.
Пример. Проверить, является ли данное поле потенциальным
.
Решение. Для того, чтобы векторное поле было потенциальным,
необходимо, чтобы в каждой точке этого поля
.
Вычислим вихрь:
Следовательно, данное векторное поле
имеет потенциал.
43
17.Формула Стокса
Теорема. Пусть – векторное поле,
имеющее непрерывные компоненты, L+ – произвольный замкнутый
положительно ориентированный контур в этом поле, S – гладкая
ориентированная поверхность, опирающаяся на этот контур (то есть им
ограниченная). Тогда справедлива следующая формула, называемая формулой
Стокса.
. (20)
Здесь направление нормали к поверхности S и ориентация контура
согласованы по правилу правой руки или правилу буравчика.
Физический смысл формулы Стокса: циркуляция вектора
вдоль
произвольного замкнутого контура равна потоку вектора
через
поверхность, опирающуюся на этот контур.
Доказательство.
Разобьём поверхность S на конечное число m достаточно малых
фрагментов. При достаточно мелком разбиении можно приближенно считать
каждый фрагмент плоским. Обозначим как ΔЦ
i
циркуляцию вдоль границы i-го
фрагмента, ΔS
i
– его площадь, в некоторой
внутренней точке фрагмента на единичную нормаль
к площадке ΔSi (рис. 20).
Рисунок 20 – Разбиение поверхности S на фрагменты
Для некоторой внутренней точки i-го кусочка поверхности запишем
выражение для ротора (17) в следующем виде:
или
Просуммируем последнее выражение по всем фрагментам
44
Нетрудно видеть, что каждая внутренняя граница между фрагментами
проходится дважды в противоположных направлениях. Поэтому при
суммировании циркуляции по внутренним границам между фрагментами
взаимно уничтожатся, и в левой части последней формулы останется только
циркуляция по внешнему контуру L+, ограничивающему поверхность S. Чтобы
получить точное равенство, перейдем к пределу при m→∞ и получим
или
Если векторное поле имеет вид , то
формулу Стокса (20) можно записать в виде
. (21)
Пример. Найти циркуляцию векторного поля вдоль
линии пересечения поверхностей: x2 + y2 = Rz, z = R, x = 0, y = 0.
Решение. Замкнутый контур образован тремя линиями пересечения
параболоида вращения с координатными плоскостями (рис. 21).
Рисунок 21 – Замкнутый контур и его проекция на плоскость XOY
Нормаль
к поверхности S, ограниченной данным контуром, образует
тупой угол с осью OZ (cos γ < 0). Тогда
Вычислим компоненты вихря
Найдем поток ротора через поверхность параболоида вращения:
45
По формуле Стокса:
Здесь был использован переход в полярную систему координат (4)
Ответ.
46
18.Потенциальные, соленоидальные и гармонические поля
Векторное поле называется потенциальным, если , где U –
скалярная функция, называемая потенциалом векторного поля . Если
, то потенциальность поля означает, что
(22)
Теорема. В потенциальном поле не содержится вихрей.
Доказательство. Продифференцируем первое соотношение в формулах
(22) по переменной y, а второе – по x. Имеем
В силу теоремы о независимости величины смешанной производной от
порядка дифференцирования справедливо
. Тогда
. Это
означает, что третья компонента вектора равна нулю:
Аналогично можно показать, что ω
2
= ω
3
= 0. Таким образом,
Замечание. Условие является не только необходимым, но и
достаточным для потенциальности поля
В некоторых случаях величина криволинейного интеграла второго рода
одинакова по любому пути L,
связывающему две фиксированные точки (B и C на рис. 22), и не зависит от пути
интегрирования, связывающему эти точки.
Теорема. Величина криволинейного интеграла второго рода в некоторой
области не зависит от пути интегрирования тогда и только тогда, когда для
любого замкнутого контура в этой области справедливо:
(23)
47
Доказательство.
Рисунок 22 – Дуги, связывающие фиксированные точки B и C
1.Пусть величина интеграла не зависит от пути интегрирования, то есть
Составим замкнутый контур
. В силу свойства аддитивности
области интегрирования
2.Обратное утверждение тоже справедливо: из формулы (23) вытекает
условие независимости интеграла от пути интегрирования. Для этого достаточно
на произвольном замкнутом контуре L зафиксировать две точки B и C,
представить контур в виде
и воспользоваться свойством
аддитивности.
Следствие. Если в векторном поле
величина криволинейного интеграла не зависит от пути интегрирования, то
циркуляция по любому замкнутому контуру равна нулю: Ц = 0. Согласно
определению (15), это означает, что . То есть данное поле является
потенциальным. Справедливо и обратное утверждение.
Физический смысл потенциала U векторного поля: работа W силового
поля при перемещении материальной точки из точки B в точку С равна разности
потенциалов в этих точках: W = U(C)- U(B).
Векторное поле называется соленоидальным, если , где
называется векторным потенциалом поля
.
Теорема. В соленоидальном поле дивергенция равна нулю.
Доказательство.
48
Замечание. Справедливо и обратное утверждение: если , то поле
вектора
соленоидально.
Свойства соленоидальных полей:
1.В соленоидальном поле отсутствуют источники и стоки, а поток вектора
через любую замкнутую поверхность равен нулю.
2.Векторные линии в этом поле либо замкнуты, либо имеют концы на
границе поля.
3.Поток вектора через поперечное сечение векторной трубки,
образованной определенной совокупностью векторных линий, имеет постоянное
значение, называемое интенсивностью трубки.
Векторное поле
называется гармоническим полем, если оно
одновременно потенциальное и соленоидальное, то есть если
и
.
Теорема. Если поле
гармоническое, то его потенциал U удовлетворяет
уравнению Лапласа
Доказательство. Так как по условию теоремы а то
Имеем
Пример. Проверить, является ли данное поле потенциальным
.
Решение. Для того, чтобы векторное поле было потенциальным,
необходимо, чтобы в каждой точке этого поля
.
Вычислим вихрь:
49
Следовательно, данное векторное поле
имеет потенциал.
50
19.Вычисление потенциала в декартовых координатах
Пусть – потенциальное векторное
поле, имеющее непрерывные компоненты. Требуется найти формулу для
вычисления потенциала данного поля U(x,y,z). Отметим, что величина
потенциала определяется с точностью до константы, то есть, если U(x,y,z) –
потенциал данного векторного поля, то U(x,y,z) + C0 – тоже потенциал, где C0 –
произвольная константа.
Согласно выражению (20):
С другой стороны, для
полного дифференциала функции справедливо:
Поэтому
(*)
Возьмем две точки в векторном поле
: с фиксированными координатами
M0(x0,y0,z0) и произвольными координатами M(x,y,z) (рис. 23). Проинтегрируем
выражение (*) по контуру M0M, соединяющему эти две точки. Поскольку в
потенциальном поле величина криволинейного интеграла второго рода не
зависит от пути интегрирования, соединяющего две выбранные точки, то в
качестве пути выберем ломаную линию, каждый участок которой параллелен
соответствующей координатной оси (рис. 23). То есть,
Рисунок 23 – Путь интегрирования, соединяющий точки M0 и M
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]