Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории поля. Учебно-методическое пособие
.pdf
51
Вдоль отрезка M0B имеем y = y0 – const, z = z0 – const, dy = dz = 0. Для
отрезка BC справедливо x – const, z = z0 – const, dx = dz = 0, и вдоль CM
выполняется x – const, y – const, dx = dy = 0. Тогда
Так как потенциал векторного поля
определяется с точностью до
произвольной константы C0, то имеем следующую формулу для вычисления
потенциала:
(24)
Пример.
Найти потенциал векторного поля
Решение.
Сначала проверим, существует ли потенциал для данного векторного поля.
Для этого вычислим компоненты
по формуле (18)
То есть , векторное поле
– потенциальное, и задача имеет
решение.
В качестве начальной точки M
0
выберем начало системы координат:
M0(0,0,0). Для вычисления потенциала U применим формулу (24):
52
Ответ. Потенциал
53
20.Задания для самостоятельного решения
Условия задач:
1. Найти производную функции u(x,y,z) в точке М0 по
направлению внешней нормали к поверхности S , заданной уравнением
S(x,y,z) = 0 или по направлению вектора .
2. Найти наибольшую скорость изменения скалярного поля =
(x,y,z) в заданной точке М.
3. Вычислить расходимость и вихрь в произвольной точке М, а
также найти уравнения векторных линий поля градиента скалярного поля
= (x,y,z).
4. Найти поток векторного поля = (x,y,z) через часть
плоскости P, расположенной в первом октанте, если нормаль образует
острый угол с осью OZ.
5. Тело Т лежит в первом октанте и ограничено плоскостями
координат и поверхностью Q, заданной уравнением F(x,y,z) = 0. С
помощью формулы Гаусса-Остроградского вычислить поток вектора
через поверхность, ограничивающую тело T.
6. Тело Т лежит в первом октанте и ограничено плоскостями
координат и поверхностью Q, заданной уравнением F(x,y,z) = 0. С
помощью формулы Стокса вычислить циркуляцию поля вектора вдоль
линии пересечения поверхности Q с плоскостями координат в
направлении от точки пересечения Q с осью OX к точке пересечения Q с
осью OY.
7. Убедиться, что поле вектора потенциально, найти потенциал
поля и вычислить работу при перемещении точки единичной массы из
точки A в точку B.
54
Задание 1.
1.
;
; .
2. ;
; .
3.
;
; .
4.
;
; .
5. ;
; .
6. ;
; .
7.
;
; .
8.
;
; .
9.
;
; .
10. ;
; .
11. ;
; .
12. ;
;
.
13.
;
; .
14.
;
;
.
15.
;
; .
16. ;
; .
17. ;
; .
18.
;
; .
19. ;
; .
20.
;
; .
21. ;
; .
22. ;
; .
23. ;
; .
24.
;
; .
25. ;
; .
55
Задание 2.
1.
;
.
2. ; .
3.
;
4.
.
5. ; .
6. ; .
7.
; .
8.
; .
9.
; .
10. ; .
11. ; .
12.
; .
13. ;
14.
; .
15.
; .
16. ; .
17.
;
18. ; .
19.
; .
20. ; .
21. ;
22. ;
23.
;
24. ; .
25.
;
56
Задание 3.
.
2.
3.
.
4.
5. .
6. .
7.
.
8. .
9. .
10.
11.
12.
.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
.
19.
.
20.
.
21. .
22.
.
23.
.
24.
.
25.
.
57
Задание 4.
1. ;
.
2. ;
.
3. ;
.
4. ;
.
5. ;
.
6. ;
.
7. ;
.
8. ;
.
9.
;
.
10. ;
.
11. ;
.
12. ;
.
13.
;
.
14.
;
15. ;
16. ;
17. ;
18. ;
19. ;
20. ;
21. ;
22. ;
.
23. ;
24. ;
25. ;
.
58
Задание 5.
1. ; .
2. ; .
3. ;
4. ; .
5. ;
6. ; .
7. ; .
8. ;
9. ; .
10. ;
11.
;
12. ;
13. ;
14.
; .
15. ;
16. ;
17. ; .
18. ; .
19. ;
20.
;
21. ;
22. ;
23. ;
24.
; .
25. ;
59
Задание 6.
1.
;
2.
;
3. ;
4. ; .
5. ; .
6.
;
7. ;
8. ;
9. ;
10. ; .
11. ;
12. ;
13.
;
14. ;
15.
;
16. ; .
17. ;
18. ;
19. ;
20. ;
21. ;
22. ;
23. ;
24. ;
25. ;
60
Задание 7.
1.
;
;
2.
;
;
3.
;
;
4.
; ;
5.
; ;
6.
;
;
7.
; ;
8.
;
;
9.
; ;
10.
; ;
11.
; ;
12.
; ;
13.
; ;
14.
;
;
15.
; ;
16.
; ;
17.
; ;
18.
; ;
19.
; ;
20.
; ; .
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]