Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы функционального анализа линейные операторы, уравнения в банаховых пространствах. Учебное пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Рязанский государственный радиотехнический университет
С.А. НЕЛЮХИН,
А.И. СЮСЮКАЛОВ,
Е.А. СЮСЮКАЛОВА
ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА:
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Рязань 2019
УДК 519.1
Элементы функционального анализа: линейные операторы,
уравнения в банаховых пространствах: учеб. пособие / С.А. Нелюхин,
А.И. Сюсюкалов, Е.А. Сюсюкалова; Рязан. гос. радиотехн. ун-т. – Рязань,
2019. - 84 с.
Содержит теоретические сведения о линейных операторах и
функционалах, уравнениях с компактными операторами в банаховых
пространствах, спектральной теории линейных операторов. Разобраны
типичные примеры по решению практических задач по перечисленным
темам. Приведены задачи для самостоятельного изучения и закрепления
материала.
Предназначено студентам, обучающимся по направлениям
подготовки 010400 “Прикладная математика и информатика”, 02.03.01
“Математика и компьютерные науки”, 02.03.03 “Математическое
обеспечение и администрирование информационных систем”.
Библиогр.: 12 назв.
Линейные операторы, линейные функционалы, норма линейного
оператора, обратный линейный оператор, уравнение 2-го рода
Фредгольма с компактным оператором, спектр линейного оператора,
собственные функции линейного оператора
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Рязанского государственного радиотехнического университета.
Рецензент: кафедра высшей математики Рязанского государственного
радиотехнического университета (канд. физ.-мат. наук, доц. М.И. Купцов)
© Рязанский государственный
радиотехнический университет, 2019
Предисловие
X Y
F X X
x X
0
x
0
( ) ( )
F x F x
0
x x
D F X
R F Y
( )
D F
,
X Y
Учебное пособие предназначено для студентов направлений подготовки “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”, “Прикладная математика и информатика”, “Математика и
компьютерные науки” и является непосредственным продолжением пособия [12]. При изложении материала авторы постарались сохранить стиль и
обозначения пособия [12].
В учебных планах нового поколения предусмотрено увеличение числа
часов на самостоятельную работу студентов при одновременном сокращении числа аудиторных часов. В этих условиях возрастает роль учебных пособий, которые помогли бы студенту самостоятельно разобраться в некоторых разделах курса. В данном пособии изложен базовый теоретический
материал по пяти темам (разделам) функционального анализа: “Линейные
операторы. Обратные операторы”, “Линейные функционалы. Сопряженные пространства и сопряженные операторы”, “Вполне непрерывные операторы”, “Уравнения в банаховых пространствах”, “Спектральная теория
линейных операторов”. Приведены доказательства основных утверждений,
некоторые утверждения предложено доказать студентам в качестве упражнений. Приведены решения практических задач и упражнений технического характера. В конце каждого параграфа даны задачи для самостоятельного решения, ответы и указания к ним.
Материал данного пособия является классикой, поэтому не представляет научной и методической новизны, но помогает студенту систематизировать базовые структуры функционального анализа по перечисленным
темам.
1. Линейные операторы. Обратные операторы
1.1. Линейные операторы. Непрерывные и ограниченные
линейные операторы. Норма оператора
Одним из важнейших и наиболее хорошо изученных классов операторов является класс линейных операторов, определенных в линейных пространствах.
Пусть
,
линейные нормированные пространства (ЛНП),
отображение или оператор, определенный в окрестности точки
:
0
.
Определение 1.1. Оператор F называется непрерывным в точке
если
, при
Пусть F – оператор с областью определения
значений
( )
.
.
( )
и с областью
Определение 1.2. Оператор F называется ограниченным, если пере-
водит любое ограниченное множество из
в множество, ограниченное
в пространстве Y.
Пусть
– ЛНП, оба вещественные или оба комплексные.
,
4
D X
x x D
( , )
x x D
A X Y
D A X
( )
D A
X
, ( )
x x D A
( , )
1 1 2 2 1 1 2 2
A x x Ax Ax
( ) ( ) : ( ) 0
A X Y
D A X
X
A X Y
X
x X
A X Y
D A X
, 0
c c
R
(0)
(0)
X
1
r
Ax c
A X Y
D A X
x X
Ax c x
A X Y
D A X
A X Y
D A X
Ax Ax
A x
x
x X
0 , 0 0
I X X
x X
x I x x
n
R
, , ...
A
y x
A , , 1,...,
a i j n
Определение 1.3. Множество
многообразием, если для любых
1 1 2 2
.
Определение 1.4. Оператор
( )
и для любых
венство
называется линейным, если
1 2
( )
и любых
Определение 1.5. Множество
,
1 2
:
,
1 2
.
N A x D A A x
ядром оператора A.
Определение 1.6. Линейный оператор
ся непрерывным, если он непрерывен в точке
Теорема 1.1. Линейный оператор
непрерывный в точке
0
, непрерывен в любой точке
:
Определение 1.7. Линейный оператор
ся ограниченным, если существует
x U
, где
1
U
– замкнутый шар с центром в точке
1
называется линейным
и любых
,
1 2
1 2
с областью определения
– линейное многообразие в
1 2
выполняется ра-
называется
:
0
.
с
( )
называет-
, заданный на всем X и
0
:
с
( )
.
называет-
такое, что для любого
0
и радиу-
сом
гда и только тогда, когда для любого
, справедливо неравенство
Теорема 1.2. Линейный оператор
.
Теорема 1.3. Линейный оператор
.
:
с
( )
ограничен то-
выполняется неравенство
:
с
( )
непрерывен то-
гда и только тогда, когда он ограничен.
Определение 1.8. Нормой ограниченного линейного оператора
sup
:
с
( )
называется число
, 1
x X x
.
Теорема 1.4. (О норме линейного оператора).
Для всякого ограниченного оператора A имеет место равенство
su p su p
A A x
.
1 0
x x
Пример 1.1. Нулевой оператор ; этот оператор ставит в соответст-
вие каждому элементу
элемент
Пример 1.2. Тождественный оператор
Y x
:
.
; этот оператор ста-
вит в соответствие каждому
Пример 1.3. В линейном пространстве
x x y y
n n
i i
1 1
квадратная матрица порядка n, понимаемое как матричное равенство (матрица-столбец yравна произведению матрицы A на матрицу-столбец x),
равенство
сам
:
.
, где
n-мерных столбцов
ij
–
5
x
, : 1,1 1,1
1,1
( , ) ( ) , : , ,
Ax t K t s x s ds A C a b C a b
( , ) ( ) , : , ,
Ax t K t s x s ds A C a b C a b
( , )
2
,
a b
dx
dt
,
C a b
: , ,
A C a b C a b
( )
D A
,
C a b
( ) sin
x t nt
,
m ax sin 1
x n t
A x n t n n t n
( ) ,
R A C a b
x y
( ) ( )
x t y s ds
,
y C a b
dx
dt
,
C a b
,
C a b
max '( ) max ( ) max '( ) 1
: , , , ( )
A C a b C a b Ax t x a x s ds
Ax x a x s ds b a x
), задает некоторый оператор A. В курсе линейной алгебры
доказывается, что этот оператор линейный. При доказательстве используются свойства матриц.
Пример 1.4. Оператор умножения на независимую переменную:
Ax t tx t A C C
Это всюду определенный оператор, однако
Пример 1.5. Линейные интегральные операторы Фредгольма:
b
и Вольтерра
функция
менных в квадрате
Пример 1.6. Оператор дифференцирования
мый как оператор, действующий в
K
множество непрерывно дифференцируемых функций.
, называемая ядром, непрерывная по совокупности пере-
a
t
a
.
.
R A C
Ax
, т.е.
.
;
, рассматривае-
, где
Оператор A на
пусть
а
решение
быть замкнутым. Рассмотрим линейный оператор
Он является ограниченным, так как
n
m ax s in m ax c o s
n
Отметим также, что
Если рассматривать оператор
, то он будет ограниченным и имеет место оценка его нормы:
Ax x t x t x t x A
Пример 1.7. Образ ограниченного линейного оператора может не
d
t t
d t
t
a
C C
, , ,
t a b t a b t a b
на
при любой
не является ограниченным. В самом деле,
. Тогда
Ax
n
, поэтому
, так как уравнение
t
s u pxA x
1
.
действующим из
t
a
t
max ( ) ( ) 1
,
t a b
a
1
,
.
имеет
(1)
.
в
.
,
6
,
C a b
( )
R A
,
C a b
1
n
N
1,1
0
( )nx t
x t t
( )
x t
1,1
1 1
n n
R R
, 1
i ka
i ik k
y a x
Ax A x
Ax C x
A C
Ax y a x a x
x a a x
0
k
0,...,0,1,0,...,0
T
0
k
T
1
ik
A a
однако переводит все пространство
в множество
непре-
рывно дифференцируемых функций, которое не является замкнутым в
. Покажем это на следующем примере: функции
всех
то
n
непрерывно дифференцируемы на
2
t t
равномерно сходится к
1 1 1
n
n t t
2
1
n
( )
. Значит,
множества непрерывно дифференцируемых на
( )
x t t
n
. Так как
,
n
– предельная точка
функций, при этом
2
при
сама не является таковой.
Теперь приведем примеры на вычисление норм операторов.
:
Пример 1.8. Пусть оператор
n
ik
. Обозначим
матрицей
A
A
n
k
задан в некотором базисе
. Оценим норму операто-
1
ра сверху с помощью неравенства
па
с каким-нибудь C, будем иметь оценку
n n n n n
i ik k ik k
1 1 1 1 1
i i k i k
n n n
k ik ik
1 1 1
k i i
max
1
k n
. Доказав неравенство ти-
.
.
Следовательно, оператор A ограничен (а значит, и непрерывен) и для
n
нормы имеет место оценка
max
A a
1
k n
i
1
ik
.
Чтобы доказать противоположное неравенство, воспользуемся теоремой 1.4. Пусть
правой части последнего неравенства. Положим
месте с номером
– номер столбца, на котором достигается максимум в
ˆ
x
,
– знак транспонирования). Очевидно,
ˆ
x
(1 на
. Со-
гласно теореме 1.4
n
A A x Ax a A
sup ,
1
x
ˆ
i
ik
0
1
.
Вместе с ранее доказанным неравенством, это означает, что
n
max
1
k n
.
1
i
7
,
C a b
Ax K t s x s ds K t s x s ds
x K t s ds A K t s ds M
( , )
( , )
K t s ds
,
t a b
( , )
M K t s ds
0
, , 1
A M
max ( , )
A M K t s ds
A
,
CL a b
Ax Ax t dt K t s x s ds dt
2
2 2 2 2
L
K t s ds x s ds dt K t s dsdt x
A K t s dsdt
A
y x
, 1, 2,...,
, ,... , , ,...
T T
ij
a
Пример 1.9. а) Рассмотрим линейный интегральный оператор
Фредгольма в пространстве
b b
max , ( ) max ( , ) ( )
, ,
t a b t a b
b b
max , max ,
, ,
t a b t a b
a a
Так как ядро
этому найдется
для любого
a a
K
непрерывно, то непрерывен и интеграл
0
такое, что
найдется
sup
A Ax Ax Ax t M
1
x
ˆ ˆ
x C a b x
:
ˆ ˆ
Ввиду произвольности отсюда следует:
b
t a b
,
a
b
0
a
такой, что
0
.
.
b
a
, по-
. Можно доказать, что
.
и, значит,
б) Оценим норму оператора
CL a b x t C a b x x t dt
, ( ) , ; ( )
2
L
2
как оператора в
b
a
1
2
2
.
Применяя неравенство Коши - Буняковского, получаем
b b b
2
L
b b b b b
a a a a a
2
a a a
( , ) ( ) ( , )
2
Таким образом,
, ( )
b b
a a
( , )
2
Пример 1.10. Равенство
x x x y y y
1 2 1 2
– столбцы и
2
.
, где
.
y a x i
i ij j
j
A
– матрица беско-
2
, где:
и
1
нечного порядка, при некоторых ограничениях, может определять опера-
торA в нормированных пространствах последовательностей.
8
A
x x m
n
x
n
, ,...,
n
x x x
m
a x a x a x x x
sup
k i
x x
n ij
a
m
a x x
m m
Ax x
ij
a
, 1, 2,...
, 1
a q
A
y x
p
l
11p
q
l
1
q
y l
p
x l
q q
ij ij
x a x a
n
q
i ij
y y x a
q
y l
A
1
q
2 2
Например, если
sup
i
j
a
ij
1
, то
является ограниченным ли-
нейным оператором в пространстве m ограниченных числовых последо-
вательностей. Действительно, пусть
i
1
, а
имеет первые
координат
Тогда
где
Значит,
1 2
n n n
1 1 1
j j j
1
i n
ij j ij j ij j n
,
ij j
1
j
, а остальные – нули.
sup
J
n
sup
1
i n
1
j
.
, откуда
Рассмотрим бесконечную матрицу
что
1 1
i j
q
ij
. Тогда равенство
непрерывный оператор A, заданный на
1 1
и принимающий значения в
, где
p q
n
k
A
с нормой
.
,
;
i j
.
, такую,
определяет линейный
x x
p
j
j
p
Покажем, что
, если
. Имеем (пользуясь неравенством
Гельдера для сумм)
n n n
q
y a x x a
i ij j j ij
1 1 1 1 1 1
i i j i j j
n
q q
1 1 1 1
i j i j
q p q
.
1 1
p q
q
Так как это неравенство верно для любого n , то можно перейти к пределу
при
и, значит,
A a
. Тогда получим
1 1
i j
q
ij
q q q
1 1 1
i i j
,
– ограниченный оператор с нормой
. Отметим, что при
p q
.
9
( )
A R A
( )tAx t x s ds
0,1 , : 0,1 0,1
: 1,1 0,1 , ( ) (0)
A C C Ax t t x
2
: 0,1 0,1 , ( ) ( )
A C C Ax t x t
: , , , ( ) ( )
A C a b C a b Ax t x t
: 0,1 0,1
( )( ) sin ( )
Ax t t s x s ds
( )( ) ( ) 0
( )( ) ( ) 0, 0
,
X Y
A X Y
, ,..., ( )
x x x D A
n
Ax Ax Ax
,
X Y
A X Y
, ,..., ( )
x x x D A
, , ...,
n
Ax Ax Ax
2 2
A l l
( , ,..., ,...) ( , ,..., , ...)
( )
D A
( )
R A
1, 2,...
1
n n
1
n n
( 1, 2,...)
Задачи для самостоятельного изучения
Задача 1.1. Докажите, что для линейного оператора
ное многообразие в Y.
Задача 1.2. Рассмотрите оператор интегрирования
как оператор, действующий в пространстве
кажите, исходя непосредственно из определений, что A – линейный ограниченный оператор и найдите его норму.
Задача 1.3. Доказать, что следующие операторы являются линейными
ограниченными и найти их нормы:
а)
б)
в)
Задача 1.4. Найдите норму оператора
а)
б)
Ax t t s x s ds
в)
1
Ax t e x s ds
1
t s
0
1
0
1
0
;
C A C C
2
;
;
.
A C C
;
.
– линей-
0
, если:
. По-
Задача 1.5. Пусть
нейный оператор и система элементов
сима. Доказать, что система
Задача 1.6. Пусть
ный оператор и система элементов линейно
Верно ли, что система элементов
Задача 1.7. Оператор
A x x x x x x
1 2 1 1 2 2
при каких
Задача 1.8. Пусть
в гильбертовом пространстве H,
вательность. Докажите, что равенства
k k k
k
k
непрерывен? Найдите его норму.
e
– линейные пространства,
1 2
, , ...,
1 2
– линейные пространства,
1 2
:
– полная ортонормированная система (ОНС)
c
– ограниченная числовая последо-
:
n
линейно зависима.
линейно зави-
:
1 2
определяется равенством
; укажите
Ae c e n
n n n
n
линейно независима?
независима.
определяют
– ли-
– линей-
и
;
10
A H H
( )
D A
1,1
( ) ( ) ( )
2
Ax t x t x t
( ) ( ) ( )
2
Bx t x t x t
,
A B
( )
R A
( )
R B
: , , , ( )( ) ( ) ( )
A C a b C a b Ax t p t x t
( , , 0,1,..., )
p C a b k n
,
X Y
,
A B
X
( ) , ( ) , sup ,
A B x Ax Bx A x Ax A Ax
( , )
L X Y
( , ) ( )
L X X L X
AB x A Bx
( )
L X
I X X I x x
( , )
A L X Y
N
( , )
A L X Y
( )
0 ( )
( , )
A L X Y
N
( , )
A L X Y
( )
0 ( )
( , )
L X Y
n
0
:
C
k
. Укажите
рассмотрите операторы
. Докажите, что
n k
,
; найдите нормы
, со значе-
ограниченный линейный оператор
Найдите норму этого оператора.
Задача 1.9. В пространстве
1
,
линейные ограниченные операторы; укажите
этих операторов.
Задача 1.10. Докажите, что линейный дифференциальный оператор
( )
n
ограничен, оцените сверху его норму.
k
1.2. Пространство линейных операторов. Сходимость линейных
операторов. Продолжение линейного оператора по непрерывности
Пусть
ограниченные линейные операторы, определенные на всем
– ЛНП, оба вещественные или оба комплексные,
1
k
.
–
ниями в Y. Полагая, по определению,
получаем линейное нормированное пространство
линейных операторов.
В пространстве
единицей является тождественный оператор
Определение 1.9. Последовательность
вают равномерно сходящейся (сходящейся по норме) к оператору
A A n
n
Определение 1.10. Последовательность
вают сильно сходящейся к оператору
, тем самым
и записывают
.
, 1
x X x
полагаем, по определению
становится алгеброй с единицей, где
: ,
n
A A n
n
n
и записывают
ограниченных
.
n
n
назы-
, если
назы-
A A n
n
x X A x Ax n
Теорема 1.5. Если Y – банахово пространство, то
во пространство.
Доказательство данной теоремы будет представлено далее в примерах
1.12 - 1.14.
n
сильно, если для любого
.
– банахо-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]