Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы функционального анализа линейные операторы, уравнения в банаховых пространствах. Учебное пособие
.pdf
21
x t z t e y s ds y t
A y t y t e y s ds
1
A
A B X X
1
C I AB
1
D I BA
I AB C I
B I AB CA BA
BCA BA I BCA I BCA BA I BCA I
I BA I BCA I
I BCA I BA I
1
D I BA
D I BCA
,
a x
a x H
Ax a x b
, , , 0, 0
H
Y b
1
r
A
1
lA
D A H
R A b
A a x b a x b A
A a b
axa
A Ax a b
A a b
отсюда дифференцированием получаем
t
t s
1
Итак, показано, что
ность тождественного оператора и линейного интегрального оператора
Вольтерры, значит, является непрерывным.
0
t
t s
0
.
;
есть раз-
Пример 1.26. Пусть X – ЛНП,
линейные операторы, и оператор
что существует оператор
По условию
ва на B, справа на A:
, :
и выразим его через C.
; умножим обе части этого равенства сле-
; далее:
0 ( )
;
непосредственно проверяется также равенство
Таким образом, оператор
Пример 1.27. Пусть H гильбертово пространство,
произведение элементов
,
существует и
. Рассмотрим оператор
– всюду определенные
существует. Докажем,
.
скалярное
,
.
a b x H a b
во
тор
Линейность оператора A следует из линейности скалярного произве-
дения;
ского получаем
ˆ
во
, порожденное элементом b. Докажем, что существует опера-
и найдем его. Докажем, что оператор
( )
( , )
и ссылаясь на теорему 1.4, получаем противоположное неравенст-
,
ˆ
как оператор из
( )
, а с ним и равенство
; с помощью неравенства Коши - Буняков-
ограничен,
в одномерное пространст-
не существует.
.
; полагая
22
1
lA
Ax y
1
r
A
R A
,
Ax a x b
2
axa
Ax y y b
A y y b
p
l
, ,...
, ,...
, ( , ,...), , 1, 2,..., ,
Ax y y y y y b x k n
, 1
k j
N
, 1
k j
det 0
, 1
k j
, , 1, 2,..., , , 1, 2,...
( )
N A
( , )
A L X Y
( )
N A
dx
dt
: 0,1 0,1 , , ( ) 0,1 : (0) 0
dt
Оператор
более одного решения, и
теперь
Пусть
– все пространство Y.
не существует, так как уравнение
N A
; легко видеть, что
; значит,
1
r
. Оператор
a
2
.
существует, так как
– решение уравнения
a
Пример 1.28. Выясним, какие из следующих операторов, действую-
1
щих в пространстве
Ax x x
а)
б)
матрица,
2 3
y x k n n n
k k
l p
p
, где
1 2
x x x
k k j j
1 2
n
j
1
, 1, 2,...,
, обратимы на всем
;
.
где
:
B b
имеет
n
kj
1, 0, 0,...N A
а) обратный оператор не существует, так как
n
B b
б) здесь преобразуются матрицей
ординат; оператор будет обратимым в том, и только том случае, если
B
x A y x c y k n x y k n n
Задача 1.20. Докажите, что оператор, обратный линейному, линеен.
Задача 1.21. Докажите, что
Задача 1.22. Докажите, что если
ство X (т.е. является замкнутым в X).
Задача 1.23. Докажите, что оператор дифференцирования
: 0,1 0,1 ,
A C C Ax
, тогда
1
(1)
N A
k k j j k k
Задачи для самостоятельного изучения
n
1
j
. Пусть
не имеет обратного.
kj
1
B c
– линейное многообразие в X.
n
k j
, то
только первые n ко-
, тогда
.
подпростран-
;
Задача 1.24. Докажите, что оператор дифференцирования
A C C Ax D A x C x
имеет обратный. Найдите его.
(1) (1)
dx
,
23
: , , ,
A C a b C a b
( ) , ( ) , : ( ) 0 , , ,
Ax t x p t x D A x C a b x a p C a b
: , , ,
A C a b C a b
( ) ( ) , ( ) , : ( ) 0, ( ) 0 ,
, , ,
p q C a b
: , , ,
A C a b C a b
q ,
Ax t x x
R
( ) ( )
Ax t x s ds
1
I A
( ) ( ) , : 0,1 0,1
1
I A
H
a b H
( , )
Ax x a x b
1
A
, ,...
0, , ,...
,2 , 5 3 , , ,...
k k k
Ax y y y y y x
k K
1, 2,...
0
dx
dt
: 0,1 0,1 ,
( ) ( )
Ax t x s ds
0,1
Задача 1.25. Докажите, что
имеет обратный. Найдите его.
Задача 1.26. Докажите, что оператор
Ax t x p t x q t x D A x C a b x a x a
Задача 1.27. Найдите оператор, обратный к оператору
(2)
Задача 1.28. Обратим ли оператор интегрирования
на своем образе? Ограничен ли обратный оператор?
имеет обратный.
( ) , : ( ) 0, ( ) 0 , qD A x C a b x a x a
(2)
оператор
(1)
(2)
(2)
(1)
.
t
0
Задача 1.29. При каких значениях
1
Ax t t s x s ds A C C
ратор
Задача 1.30. Пусть
ратим? Найдите
Задача 1.31. Какие из следующих операторов, действующих в
пространстве
а)
б)
в)
k
, если
Ax x x
Ax x x x x x x x
, где
.
. При каких значениях оператор A непрерывно об-
.
1
l p
p
1 2
1 2 3 2 3 4 5
, , ,... ,
K
– заданное число?
2 3
0
– гильбертово пространство,
, обратимы на всем
;
1 2
;
,
существует оператор
? Найдите опе-
l x x x
p
1 2
1, 2,... , 0
,
:
k
,
,
Задача 1.32. Докажите, что оператор дифференцирования
(1)
: 0,1 0,1 ,
A C C Ax
левого обратного. Найдите правый обратный оператор.
A C C
Задача 1.33. Докажите, что оператор интегрирования
имеет правый обратный, но не имеет
t
0
на всем пространстве
C
не
24
, ( ) ;
y y R A Y
x x D A X
, 1, 2
R
R A
y y Ax Ax A x x Ax R A
R A
Ax x s ds x s ds x s ds x
1
ˆ
( ) 1
su p m ax 1 1
A Ax A x ds
1,
1
1
m ax ( , )
A K t s d s
2
1
1
( )
D A
2
x l
21k k
x
( )
R A
2
y l
0
0
0 1, 2,...
2
R A l
2 2 2 2
A x x K x K x
sup
k
1kk
A K
0
k k
0
k
1 2 0
x x x x x k k
K
, 1, 2,...
имеет правого обратного, но имеет левый обратный. Найдите его.
Ответы и указания к задачам
1.1. Пусть
, ( )
1 2
1 2
ления образа
1 2 1 2 1 2
Таким образом,
1 2
такие, что
( ), ,x x x D A
. В силу линейности оператора A и опреде-
:
содержит линейные комбинации своих элементов,
по определению образа найдутся
что и требуется.
t t t
1.2.
max ( ) max ( ) max ( ) max
0,1 0,1 0,1 0,1
t t s t
0 0 0
Таким образом, оператор A ограничен и
t
1
x
1.3. а) – в)
0 ,1
t
1
A e d s
m ax
t
0 ,1
0
A
1
0
( )
t s
ˆ
t
. 1.4. Согласно результату из примера 1.9.
. Поэтому а)
e
0 ,1
0
; в)
A t s d s
y Ax i
i i
A
. Пусть
. Значит,
max sin ( )
A t s ds
0 ,1
t
m ax
0 ,1
t
1
x t
A
1
0
0
, причем
.
.
;
и тогда
1
A
. 1.6.
.
; б)
Нет. 1.7. Область определения
для которых сходится ряд
которых
K
ность
неравенство. Если
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
последовательность
y
k
при
1 1
k k
; таким образом, оператор A непрерывен, если последователь-
k
N
, ,... , 1, 0
ограничена; при этом
K
k k
0
k
k
; если
k k k
sup
k
N
k
j
состоит из последовательностей
; образ
k
2 2
k
при некотором
; в противном случае существует
; тогда положим
состоит из тех
, то
( )
;
, для
,
; докажем противоположное
, то положим
ˆ
x j
j k
j
; в
,
25
A K
A K
sup
n
A c
( ), ( )
R A R B
1
n
0
A
0
A x Ax
0,1
1 1
n n
x D A A x Ax
0,1
A A
1
, 0 ,
, 1,
n
t t
2 1
n
N
1
1 1
2 1 2 2
n
n
A
n
A
0 0 0
1
e
0,1
1 1
n n
обоих случаях с помощью теоремы
ге
1.8.
Образ
функций;
.
n
N
A B
1.9. Линейность и ограниченность операторов очевидна.
представляет собой множество четных (нечетных)
.
1.4 получаем, что
, а в ито-
1.10. Ограниченность оператора следует из неравенств
n n
Ax p x p x p x
C C C C C
k k
k k k
0 0
1.11. Так как при
ничена и при любом
A x A x A x Ax A x x A x Ax n
n n n n n n n
1.12. Пусть
x C
( )
n k
n x x
x X A x Ax
max max
C
0 0
k n k n
n
n
, последовательность
непрерывно дифференцируема. Тогда по формуле
, то
k
C
n n
.
огра-
n
0
.
A x t nx x t t
Лагранжа
n n n n
номерной непрерывности
что при любой функции
n
ˆ
( ) ( )
x t x t n
n n
сильно. 1.13. Пусть
2
n
' '
' : ' '
x x x t n
, тогда
( )
n
n
в пространстве
n
ˆ ˆ
A A x A A x t A A
n n n n n
ры
не сходятся равномерно. 1.14. Оценим сверху норму оператора
A x t t x x
:
n
A A A
n n n
max
0,1
t
max 1
0,1
t
n
n
1 1
n n
n
1
n
1 1
n n
n
1
,
n
x t
n
, а в силу рав-
. Это означает,
C
2
nt
( )
n
2
1 1
2
n n
, т.е. операто-
n
1
.
t
ˆ
x
n
, т.е.
,
1.15. Пусть
x C
A x t n x s ds n x x t t
n n n n
; по теореме о среднем
1
t
n
( ) ,
t
;
26
x x t
A x x
0,1
A I
1
n
x t t
1
1 1 1 1
... .
2 2 2
0
1
ˆnx
0
C x x
n
0
n
Bx A Px
x H
0
A
R
x D A
1, 2
1
A
1 2 1 2
x x A y A y
R
( ) 0
( )
N A
X
x
( )
N A
( )
x N A
x x
A
0 1, 2,...
0
( )
x N A
( )
N A
( )
N A
( ) const
в силу равномерной непрерывности
n
. Следователь-
но,
что здесь равномерной сходимости нет. Пусть
и.
1.17.а) для любого
сильно. Равномерной сходимости здесь нет, так как согласно теореме 1.4
n
A I x n s ds t t t t t A I
n n n
B B x x
n n
в пространстве
1
t
n
1 1 1 2
n n n n n
ˆ
t
x l B x n
n n
ˆ ˆ
C
2
n
(последовательность
, т.е.
n
n n
n
0
сильно. 1.16. Покажем,
ˆ
( )
n
n
, следовательно,
; тогда
– та же, что и в
ˆ
x
B
n
n
1
примере 1.17.); б) здесь
C
n
, так как
n
; это означает, что
1
C
n
быть продолжен на L с сохранением нормы по теореме 1.9. Пусть P –
оператор ортогонального проектирования на L. Положим
. 1.18. Пусть L – замыкание L; тогда оператор A может
,
для
1.19.
A B B A A B
n n n
n
такие, что
ра
1 1 1
A y y A Ax Ax A A x x
A x y Ax Ay
гда
в
ность
ратора
. 1.22. Пусть
Ax
. Тогда B – продолжение A с сохранением нормы.
A B AB A B A B A B AB
n n n n n n
, так как последовательность
ограничена. 1.20. Пусть
y Ax i
i i
:
1 2 1 2 1 2
1 1
– предельная точка
n
1
n
из равенств
, которое означает, что
такая, что
; учитывая это, получаем линейность операто-
y R A
lim
n
Ax n
( ), ,
i
. 1.21. Пусть
, т.е.
n
n
. В силу непрерывности опе-
. Значит
; найдутся
, ( ), ,x y N A
– линейное многообразие
. Найдется последователь-
следует равенство
i
; то-
– замкнуто.
1.23. Данный оператор не имеет обратного, так как имеет нетривиальное
ядро:
состоит из функций
x t
. 1.24. В данном случае
27
( ) 0
( ) 0,1
0,1
( )
A y t y s ds
( ) ( )
x p t x y t
( ) 0
,
y C a b
( ) 0
( ) 0
( ) ,
R A C a b
( ) ( )
x t A y t e y s ds
sin ( ) ( ) , 0,
s ( ) ( ) , 0.
( ) 0
0,1
( ) 0
( ) 0
A y t y t
1
A
6
1
I A
x
I A x y
0,1
( ) ( ) ( )
x t t s x s ds y t
( ) ( )
x t t y t
( )
s x s ds
3
t
6
( )6s y s ds
( ) ( ) ( )
x t y t t s y s ds
6
I A I A
, 0
N A
всем пространстве
дача Коши
лишь тривиальное решение
найти, надо найти решение указанной задачи Коши:
1.26. Решение находится по формуле Коши (см. пример 1.23).
1
1.27.
1.28. Да. Из равенства
это означает, что
A y t t s y s ds q
R A C
,
C
; это значит, что обратный оператор существует; чтобы его
( ) ( ) ( ) , 0,
t
1
q
a
t
a
t
1
h q t s y s ds q
q
a
0
N A
; поэтому обратный оператор существует на
1
и
x a
,
, а соответствующая однородная задача имеет
1
t
q t s y s ds q
x s ds
. Так как
t
a
однозначно разрешима при лю-
x t
t
t
s
a
при всех
1
. 1.25. Как известно, за-
. Поэтому
p d
t
следует, что
.
,то
N A
x t
– неогра-
,
;
ниченный оператор. 1.29. При
целью разрешим относительно
y C
Умножив уравнение на
6
. Согласно определению оператора A это уравнение имеет вид
1
2 3
0
1
3
0
1
,
6
. 1.30. Если
. Найдем оператор
уравнение
2
, или
и проинтегрировав, при
1
6
6
0
2 3
a b
, где
; окончательно
, то при любом
. С этой
, где
1
3
0
получим
.
28
A y y a y b
, 0
A y y a y b
,
a x
x b y
p
l
p
R A y y y l
p
N A R A l
2 1
5 3
2 1 3 1
5 3 5 2
1 1
x A y x y
2 2 3 3 2 3
3 , 5 2
x y y x y y
4,5,...
( ) 0
p
R A l
, 1, 2,...
1
l
A
Ax y
( ) , ( ) 0,1
( ) ( )
A y t y s ds
1
rA
Ax y
1
x A y
y Y
R A Y
( ) , ( ) 0,1
A y y
1
,
; если
a b
, то при
, 1 ,
a b a b
надо обозначить
слева на a, и решить полученное уравнение относительно . 1.31. а) на
всем
( ) 0, , ,...
оператор обратим; здесь изменяются только вторая и третья координаты;
это изменение определяется матрицей второго порядка
1
x y n
n n
обратим;
1
1
обратный оператор не существует, так как
2 3
x A y x k
, то
; в) здесь
1
k
, умножить обе части уравнения
y
k
k
,
; б) здесь
1
,
. Для получения этих результатов
N A
( ) 0 , ( )
,
( )
,
.
, поэтому
; так как
, поэтому оператор
,
1.32. Если существует левый обратный
иметь не более одного решения и
N A R A C
левого обратного, но имеет правый обратный:
Если существует правый обратный
шение
N A R A C
го обратного, но имеет левый обратный:
при любом
r
, то оператор дифференцирования не имеет
, то оператор интегрирования не имеет право-
, то уравнение
, то уравнение
, т.е.
1
l
может
( )N A
1
r
( )
.
. Так как
t
0
имеет ре-
. Так как
. 1.33.
29
f X Y
YR
Y
x X
( )
f x
,
L X Y
YR
YC
X
X
f
D f X
f
f f
( ) ( )
f x f x
( )
x D f
X
x X
( , )
R
1
0 0
f x x
R
M
X
M
0
f x t x
f x t x t x x
1
0
x x
1
t
0 0
f x x
M
X
1 2 1 2
x x X x x
( , )
R
1 2
( ) ( )
f x f x
1 2
1 2
x x
x x
( , )
R
( ) 1
1 2
( ) ( )
f x f x
2. Линейные функционалы. Сопряженные пространства
и сопряженные операторы
2.1. Линейные непрерывные функционалы.
Норма линейного функционала. Теорема Хана - Банаха
Определение 2.1. Пусть X – ЛНП. Оператор
:
, где
или
на элементе
В этой главе рассматриваются только линейные функционалы. Поскольку линейный функционал является частным случаем линейного оператора, для него остаются в силе понятия непрерывности, ограниченности
и нормы, а также теоремы из пп. 1.1, 1.2.
Определение 2.2. Пространство непрерывных линейных функциона-
лов
обозначается
Теорема 2.1. (Хан – Банах) Пусть в вещественном ЛНП X задан ог-
раниченный линейный функционал
определенный всюду в X ограниченный линейный функционал
что
Рассмотрим также следствия из теоремы Хана - Банаха.
Теорема 2.2 (о достаточном числе функционалов). Пусть
, называется функционалом, при этом значение функционала f
, где
и
обозначается
или
.
для любого
.
, называется сопряженным к
с
( )
. Тогда существует
.
– ЛНП,
и
такой,
( )
0
странство
его очевидна;
функционал на
Банаха продолжим его на все пространство с сохранением нормы.
f L X
f L X
. Существует
Доказательство. Рассмотрим
. Определим на
, то
Следствие. Пусть
Доказательство. Положим
, так что
такой, что
такой, что
f L X
такой, что 1)
: ,M x x tx t
функционал
( )
, обладающий нужными свойствами. По теореме Хана -
0 0
( )
f x
0
– ЛНП,
x
. Итак, f – линейный ограниченный
0
, следовательно,
, следовательно,
.
f
0
( )
; 2)
;
, ,
. По теореме 2.2 существует
– подпро-
. Линейность
f
. Существует
.
; если
.
30
X
M
M X
\
y X M
( , )
R
( ) 0
M
( ) 1
1
d
,
d y M
1 0
M M y
1
y M
0
y x tx
R
R
0
x x t t x
0
t t
M
M
0
t t
t t x x
0
t
y M
0
y y
0, 1
x t
( )
f y t
1
M
( ) 0
x M
( ) 1
f
t y t y y y y
y x ty d
1
d
x M
x y d
f x f y f x y f d
f d
1
d
1
d
1
M
H
f
q H
x H
( ) ( , )
f x x q
H
f q
Теорема 2.3. (об аннуляторе) Пусть
подпространство,
такой, что 1)
значно представляется в виде
что
лежит
очевидна;
0
Доказательство. Рассмотрим
, а правая не принадлежит
,
.
Полагаем
f x
f x
.
, ,y x t x x M t
0
. Если
,
. Если
. Этим f определен на
для
,
на
0
; 2)
– другое представление. Тогда
, то левая часть этого равенства принад-
,
– ЛНП,
. Тогда существует
f y
0
. Докажем, что
,x M t
, а если
. Докажем ограниченность
, то
f y
,
, что невозможно. Значит,
0
f L X
; 3)
; линейность его
f
одно-
. Предположим,
– его
, где
, то
и найдем его норму.
( )
f y t
что доказывает ограниченность f и оценку
Пусть последовательность
lim
n
откуда следует, что
это означает, что
щий нужными свойствами. По теореме Хана - Банаха продолжим его на
все пространство с сохранением нормы.
0
x
y
0
t
y
0
f
1 0 1 ( ) ( )
0
n
. Тогда
1
f
, т. е.
. Итак, построен функционал на
n n
f
1nn
0 0
. Вместе с ранее доказанным
x
t
.
такова, что
,
, обладаю-
,
Теорема 2.4 (Рисс). Пусть
линейный непрерывный функционал на нем. Существует
что для любого
,
– гильбертово пространство и
такой,
причем
.
–
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]