Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы функционального анализа линейные операторы, уравнения в банаховых пространствах. Учебное пособие
.pdf
61
l
,dim 1
dim dim 1
X
:
A X X
y X
0
*
X
R I A X
1
x I A y
y X
I A
*
X
0
I A
0
*
X
k k
x x c x
r N I A
1,2,...,kk r
x
c P
x X
0, / 2
sin , 0, / 2
0, / 2
0, / 2
R
ние (4.11), найдем, что
N I A t l N I A
странство,
уравнение (4.1) имело решение при
бы
нения (4.4).
значно разрешимо относительно элемента
существует ненулевое решение
для любого ненулевого решения
*
4.4. Третья теорема Фредгольма
Теорема 4.3 (третья теорема Фредгольма). Пусть
линейный компактный оператор. Для того чтобы
y
В результате получаем следующие выводы:
1)
2)
y
3)
для любого решения
,
N I A
. В этом случае уравнение (4.1) одно-
N I A
(оператор
. В этом случае уравнение (4.1) не имеет решений;
N I A
(оператор
. Итак,
однородного сопряженного урав-
уравнения
не является обратимым) и
уравнения
любое число. Значит,
, необходимо и достаточно, что-
при любом
не является обратимым) и
N I A N I A
банахово про-
*
A
A
, для которого
*
. В этом слу-
*
.
;
y
чае уравнение (4.1) разрешимо, причем любое решение имеет вид
r
0
k
где
ния (4.4)),
ла.
Из теорем Фредгольма 1 и 3 следует утверждение, которое принято
называть альтернативой Фредгольма: либо уравнение (4.1) однозначно
разрешимо относительно элемента
ное уравнение (4.2) имеет ненулевые решения.
Приведем примеры, иллюстрирующие третью теорему Фредгольма.
Пример 4.9. Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма в пространстве
dim
:N I A z X I A z
частное решение уравнения (2.1),
0
C
x t t x s ds y t y t C
,
:
4
x
(фундаментальная система решений уравне-
/ 2
2
есть базис пространства
0
,
1
k
, либо соответствующее однород-
произвольные чис-
.
Выясним, при какой правой части
разрешимо относительно функции
было установлено, что
нение имеет ненулевые решения
y t C
данное уравнение
x t C
. Выше (см. пример 4.8)
N I A
(соответствующее однородное урав-
2
sin , z t k t k
), что означает невы-
62
k z s ds
x t k t y t
sin sin sin 0 sin 0
0
y s ds
x t
2 / 4 / 2 0
4 2 /2 / 2 0
kR
2 2 2 4
x t ts t s x s ds t t
3 5
2 2
x t
3
2
1 0 0, 0 1 0
, 0
N I A
1 1 1
z t c a t c t
0
b s y s ds s s s ds
4
35
полнение условий первой теоремы Фредгольма. Обозначив
4
. Подставляя решение в
sin
2
уравнение, получаем
/ 2
4 4 4
2 2 2
sin sin sink t y t t k s y s ds y t
2 2 2 2
k t t k s y s ds k k sds y s ds
/ 2
0
0
/ 2 / 2 / 2
4 4
0 0 0
.
Последнее условие есть условие разрешимости уравнения относи-
/ 2
0
,
тельно функции
. Например, для функции
2y t t
условие не
выполняется:
/ 2
а для функции
s ds s s
0
4y t t
/ 2
s ds s s
0
выполняется, так как
2 2 2
2 2 2
В последнем случае решение имеет вид
/ 2
,
0
/ 2
.
0
4
2
sin 4x t k t t
,
.
Пример 4.10. Рассмотрим интегральное уравнение
1
1
В примере 4.6 показано, что при
,
. (4.12)
множество
N I A
и данное интегральное уравнение имеет единственное решение относительно функции
При
система
имеет нетривиальное множество решений
при любой правой части.
2 2
c c c c
1 2 1 2
3 5
c c
R , и
1 2
. При этом коэффициенты
b
1 1
a
1
1
2 4
b
,
b s y s ds s s s ds
2 2
a
1
2 2 4
1
.
63
3
2
2
7
2 2 4
7
x t c t t t t
5
2
1 0 0, 0 1 0
R
2
N I A z t c a t c t
5
2
0 0,
0 0 .
5
2
x Ax y
n
P
P
, 1
i j
n
x x x x y y y y P
z Az
1
x I A y
1
E A
z Az
n n
P P
0
n
С
Система (4.8) при
2
c c
1 2 1
1 0 ,
3
2
c c
1 2 2
0 1
принимает вид
0 0 0,
c c
1 2
0 ,
c c
1 2
2 4
5 35
c c
R .
1 2
5
В результате решение уравнения (4.12) имеет вид
При
имеет решение
Система (4.8) при
1 0 ,
c c
1 2 1
0 1
c c
1 2 2
2
система
3
2
5
2 2
c c c c
1 2 1 2
0,c c
1 2
3 5
и множество
принимает вид
c c
2
1 2
3
4
c c
1 2
35
,
2
1
2 2 2
.
.
В силу ее несовместности при
уравнение (4.12) не имеет решений.
Пример 4.11. Установим критерий совместности системы линейных
алгебраических уравнений
(4.13)
n
в пространстве
вектор-столбцами
Если
N I A
(
числовое поле) с квадратной матрицей
, ,..., , , ,...,
1 2 1 2
T T
n n
(однородная система
A a
и
ij
.
имеет только нулевое
решение), то система (4.13) однозначно разрешима относительно вектор-
столбца
Пусть
(обратный оператор задается матрицей
N I A
решение, и однородная сопряженная система
решение
, т.е. однородная система
*
, для которого
, ,...,
1 2
n
T
A
).
имеет ненулевое
*
имеет ненулевое
y
. В этом слу-
чае система (2.13) несовместна.
Заметим, что в случае пространства
теме
A
*
соответствует система уравнений с эрмитово-
однородной сопряженной сис-
64
, 1
i j
k k
y y
k
y
k
y
n n
P P
0
k k
x x c x
r N I A
1,2,...,kk r
x
c P
n
C
1 0
A i
i i i
2
i
z Az
N I A
1 1 0
E A i
i i i
0 0 0
i
E A i i
z Az
i i i i
E A i i i
i i i i i
11i
c
c C
1 2 1 1 2 2 2 0
y y i i i i
n
k
n
1
k
k k
1
, где
есть сопря-
. В этом случае ис-
сопряженной матрицей
женное выражение для
Пусть
, ,...,
1 2
*
A
N I A
, и для любого ненулевого решения
T
n
выполняется равенство
T
A a
, а
.
*
однородной сопряженной системы
n
ji
y y
ходная система имеет бесконечное множество решений в виде
r
0
k
N I A z P I A z
какое-нибудь частное решение уравнения (4.13),
0
, где
1
n
:
dim
,
x
есть базис пространства
(фундаментальная система решений),
k
произвольные
числа.
Исследуем на совместность систему в пространстве
i i
2 0
1 2 1
и вектор-столбцом
y
2
1
. Сначала найдем
с матрицей
решения однородной системы
рица этой системы имеет вид
(найдем множество
i i
2 1
1 2
. Приводя ее к ступен-
). Мат-
1 2
чатому виду, получаем
0 1 3 1
. Ранг этой матрицы ра-
вен 2, что означает существование ненулевых решений однородной системы
Далее найдем решение однородной сопряженной системы
(
N I A
).
A
*
Матрица этой системы имеет вид
1 1 0 1 2 1
*
2 1 1 1 2
T
. Решая систему методом Гаусса,
1 2 0
получаем общее решение
, где
есть произвольное число.
.
Проверим условие ортогональности
n
k
k k
1
равенства показывает, что система (4.13) разрешима и имеет бесконечное
множество решений.
. Справедливость
65
3
R
0 2 3
4 4 0
5 7 4
352
2
C
i i
i
1
i
0,
x t t s x s ds y t
1,1
2 2 2 4
x t ts t s x s ds t t
x t t t x s ds y t
0,1
4 2
y t t t
2
y t t t
x t
R
dim 1
R
dim 1
0
C
dim 1
C
dim 1
1 0
3 3
4 2
x t
Задания для самостоятельного изучения
Задание 4.1. С помощью теорем Фредгольма 1 и 3 исследовать в
вместность систему с матрицей
Задание 4.2. С помощью теорем Фредгольма 1 и 3 исследовать в
вместность систему с матрицей
Задание 4.3. Исследовать на совместность интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром в пространстве
sin 2
ция, б)
Задание 4.4. Исследовать на совместность интегральное уравнение Фред-
гольма 2-го рода в пространстве
Задание 4.5. Показать, что для уравнения
пространстве
Показать, что при
0
2y t t
C не выполняются условия первой теоремы Фредгольма.
.
A
1 1
A
1 2
, если а)
C :
3
уравнение разрешимо, а при
и вектором
и вектором
C
0,y t C
1
1
произвольная функ-
1
6
0
2
y
y
.
:
на со-
.
на со-
.
в
3
не разрешимо относительно функции
Ответы и указания к решению
4.1. Система совместна, при этом множество
N I A z c c c c
N I A c c c c
ортогональности (совместности системы)
4.2. Система совместна, при этом множество
N I A z i c c c
N I A ic c c
тогональности (совместности системы) выполняется:
4.3. а) При
*
*
y ic i c c c
5 ,4 , ,
1 , ,
, , ,
, ,
,
T
нетривиально,
T
нетривиально,
T
нетривиально,
T
нетривиально,
.
уравнение однозначно разрешимо относительно
.
y
N I A
N I A
выполняется.
N I A
N I A
*
*
, условие ор-
, множество
, условие
, множество
функции
при любой правой части и имеет вид
66
x t s y s ds s y s ds y t
3 3
4 2
x t
sin 2 2
3 4
x t t t
3
4
3
2
cos 2 2sin 2 2
x t C t t t
C const
3 5
2 2
x t
2 2 4
35 14
x t t t t
3
2
2 4
14
x t Ct t t
C
5
2
R
4 2
y t t t
4 2 0
y t dt t t dt
2
y t t t
2 0
y t dt t t dt
X
:
A X X
C
x X
x
Ax x
x X
C
x X
C
x X
A x A x x x
3 sin 2 3 cos 2
б) При
ции
неразрешимо, при
ний, все они имеют вид
4.4. При
функции
имеет бесконечное множество решений
ная константа, при
3 4 3 2
и имеет вид
t t
cos sin
0 0
,
уравнение однозначно разрешимо относительно функ-
12
,
и имеет вид
уравнение имеет бесконечное множество реше-
уравнение однозначно разрешимо относительно
уравнение неразрешимо.
24
, при
, при
5
.
,
уравнение
уравнение
,
произволь-
.
4.5. Множество
3
условие ортогональности (разрешимости) уравнения выпол-
1 1
няется:
вие ортогональности уравнения не выполняется:
Определение 5.1. Пусть
плексных чисел C,
ется собственным значением оператора A, если существует ненулевой
элемент
венным элементом (собственным вектором) оператора A, отвечающим
собственному значению
При этом собственный элемент
скалярного множителя, т.е. для любого
ется собственным элементом, так как в силу линейности оператора выпол-
0 0
5. Спектральная теория линейных операторов
5.1. Собственные значения и собственные векторы
,
3
линейного оператора
такой, что
— линейный оператор. Число
.
2
,N I A z t A t t A
. В случае правой части
банахово пространство над полем ком-
; при этом
не тривиально. В случае
3
1 1
0 0
определяется с точностью до
элемент
3
называется собст-
также явля-
усло-
называ-
.
няется
.
67
C
X x X Ax x
X x X Ax x
X x X Ax x N A I
I
, , ...,
n
e e e
,
, 1
n niji j
1, 2,...,
j n
j ij j
Ae a e
j j
x x e
ij j j
Ax a x e
Ax x
0, 1,2,...,
Ax x A E x a x x a x i n
ij
A E
det 0
C
C
C
0
det 0
Следующие утверждения известны из курса линейной алгебры (они
были доказаны в случае конечномерных пространств), которые будут
справедливы и в случае бесконечномерных пространств:
1) Если
есть собственное значение линейного оператора A, то
соответствующая ему совокупность собственных элементов
(с прибавлением к нему нулевого элемента) образует
:
линейное многообразие в X. Если при этом оператор A есть непрерывный
(ограниченный) оператор, то
- собственное подпро-
:
странство (замкнутое линейное многообразие).
2) Множество
, где
:
тождественный
оператор в пространстве X.
3) Собственные элементы линейного оператора, отвечающие различ-
ным собственным значениям, линейно независимы.
Напомним основные факты о собственных значениях и собственных
векторах линейного оператора в конечномерных пространствах.
Зафиксируем в X размерности n базис
ратору A в этом базисе соответствует матрица
n
любом
:
1
i
(разложение образов базисных векторов
по базису). При этом для любого элемента
n n
1 1
i i
. Тогда уравнение
B , и пусть опе-
1 2
A a
, так что при
n
1
j
имеем
можно переписать в сле-
дующем виде:
n n
где
ij j j ij ij j
1 1
i i
символ Кронекера. Для того чтобы последняя система имела не-
,
тривиальное решение относительно собственного вектора x, необходимо и
достаточно, чтобы определитель матрицы
A E
был равен нулю:
.
Это уравнение называется характеристическим уравнением и представляет собой уравнение n-й степени относительно
ные значения и только они являются корнями характеристического уравнения. В случае комплексного X характеристическое уравнение имеет ровно n корней с учетом их кратности.
Пусть
- одно из собственных значений оператора. Тогда систе-
0
ма определяет собственное линейное многообразие, отвечающее
так как эта система при
что
A E
. При этом собственные векторы, отвечающие различ-
имеет нетривиальные решения в силу того,
. Все собствен-
0
,
68
1 1 0
1 1 0
0 0 1
det 1 1 0 1 2 2 0
1 , 1
j j
x x e
1 0,
1 0,
1 0.
1
i
0,
0,
, , 0
C
, 1,0
: , ,
Ax t t s x s ds
Ax t x t
cos sin ,
t t x t
sx s ds sx s ds
0
cos sin
x t t t
x t
ным собственным значениям, линейно независимы.
Пример 5.1. Оператор задан матрицей
A
Характеристическое уравнение имеет вид
1 1 0
A E
0 0 1
Его корни (собственные значения линейного оператора):
2
1,2 3
i
Соответствующая однородная система для нахождения собственного
3
вектора
1
j
имеет вид
x x
1 2
Полагая в этой системе
x x
1 2
x
3
, получаем однородную систему
.
.
i x x
1 2
x ix
1 2
общее решение которой имеет вид
0,
ix
3
x i x x
1 2 3
соответствующий собственный вектор имеет вид
(
i .
). При этом
5.2. Примеры вычисления собственных значений и собственных векторов линейного оператора в бесконечномерных пространствах
Пример 5.2. Найти собственные значения и собственные векторы
оператора
Составим уравнение
cos cos cos sin sint s x s ds x t t s t s x s ds x t
где числа
При
A C C
,
1
. Подставляя функцию
,
cos , sin
cos
.
.
в уравне-
ние, получаем
69
t t x t t s s s ds
cos : cos cos sin ,
sin : sin cos sin ,
0, 0
cos , sin
x t t x t t
: 0,1 0,1
Ax t t s x s ds
Ax t x t
,
t s x s ds x t t x s ds sx s ds x t t x t
x s ds sx s ds
0
x t
cos sin cos cos cos sin
sin sin cos sin cos sin .
t s s s ds t t
Группируя коэффициенты при функциях косинуса и синуса, приходим к
системе уравнений
t s sds sds
откуда, учитывая, что
t sds s sds
2
cos sin 0, cos sins sds sds sds
2
. Так как собственная функция должна быть не-
2 2
, получаем
нулевой, то последняя система уравнений имеет ненулевое решение только
при
чении имеем два собственных вектора (функции)
. Значит, собственное значение оператора
1 2
. При этом зна-
.
Пример 5.3. Найти собственные значения и собственные векторы
1
оператора
A C C ,
0
(над полем ком-
плексных чисел).
Составим уравнение
1 1 1
0 0 0
где числа
ставляя функцию
t x t t ds s ds t
1 1
0 0
1 1
0 0
,
в уравнение, получим
s s
, т.е.
. При
x t t
1
. Под-
t t
2 3 2
.
Приравнивая коэффициенты при t и 1, приходим к системе уравнений
70
0,
0.
0
12
i
: 0, 0,
Ax t x t
0, : 0 0
0
const
0
0 0
0
k
0
t t
x t C e C e
0 0
0 0 0, 0
0
0
0
0
0 0
1 2
x t C C t
0 0
0 0 0, 0 0, 0
0
0
0
k
k i
i
cos sin
x t C t C t
0 0
0 0 cos 0 sin 0 0, cos sin 0
1
система уравнений имеет ненулевое решение только в том случае, когда
определитель матрицы системы равен нулю, т.е.
откуда в случае поля комплексных чисел находим собственное значение
2
3 2
Так как собственная функция должна быть ненулевой, то последняя
,
,
2
3 2
1
1 1 1
2 2 3
,
Пример 5.4. Найти собственные значения и собственные векторы
дифференциального оператора
D A x t C x x
Составим уравнение
для однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение имеет вид
2
решение уравнения имеет вид
x x
x x C e C e C e C e
C C C e C e
1 2 1 2
Данная система имеет только тривиальное решение
чает, что при
функций.
.
2
A C C
2
Ax t x t x t x t
, то приходим к краевой задаче
. Общее решение уравнения зависит от . Если
, приходим к системе
0 0
1 2 1 2
0, 0.
оператор дифференцирования не имеет собственных
(над полем вещественных чисел).
x t x t
. Исходя из условия
1 2
,
C C
1 2
. Так как
,
x x
, то общее
, что озна-
,
При
щее решение уравнения имеет вид
x x
x C C x C C C C
Значит, при
системе уравнений
x x C C C C
C C
1 2 1 2 1 2
При
(
. Исходя из условия
1 2
0, sin 0.
1 2
приходим к краевой задаче
, получим
x t
. Исходя из условия
оператор также не имеет собственных функций.
2
характеристическое уравнение
мнимая единица). При этом общее решение имеет вид
x x
1 2 1 2
,
x x
.
2
имеет корни
, приходим к
. Об-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]