Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы функционального анализа линейные операторы, уравнения в банаховых пространствах. Учебное пособие
.pdf
31
H H
x q q x
( ) ( , )
f x x q
, , 0, ( ) : ( ) 0
( )
N f
H
N f H
\ ( )
x H N f
x x x
( )
x N f
( )
x N f
0
0
( )
xyf x
( ) 1
x
H
0
( )
z x f x y
( ) ( ) ( ) 1 0
( )
z N f
0
( )
x z f x y
0
2
yqy
( , ) ( ) ( ) ( )
x q x z f x y z f x y f x
0
f x
y x
0 0
f x q x
H
f q
( ) ( , )
f x x q
( ) ( )
k k
f x c x t
C a b a t t t b
f x c x t x t c c x
k
f x c
( ) , , 1, 2,...,
x t siqn c t t k n
( ) 1
Доказательство. Линейность скалярного произведения следует из его
аксиом, ограниченность – из неравенства Коши - Буняковского:
,
.
Покажем, что любой ограниченный функционал имеет вид
.
Пусть
f L H f N f x H f x
функционала f.
Фиксируем произвольный
R
– подпространство
0
– ядро
, причем
( )
. По теореме о разложении
.
гильбертова пространства в ортогональную сумму подпространств
0 0
ложим
, где
0
0
0
. Тогда
. Так как
,
0
f y
0
; следовательно,
. Пусть
f z f x f x
пробегает все
, то
f x
0
. По-
,
, т.е.
– представление x согласно упомянутой выше теореме о
разложении гильбертова пространства в ортогональную сумму подпро-
странств. Полагаем
y y y y
0 0 0 0
2 2 2 2
y y y y
0 0 0 0
0 0
. Тогда
0
,
y
причем
q
. Итак, равенства
0
y
0
Пример 2.1. Рассмотрим линейный функционал
пространстве
1
2
0 0
, ...
, т.е.
1 2
доказаны.
n
. Сначала докажем ограни-
. Это значит, что
n
k
ченность этого функционала и получим для нормы оценку сверху
n n n
( ) ( ) max ( )
k k k k
1 1 1
k k k
t a b
,
Значит, функционал f ограничен и
( )
.
n
.
1
k
Определим непрерывную функцию следующим образом:
ˆ
так, чтобы
k k
x t
.
; в остальных точках кусочно-линейна,
на
1
32
( ) 1
k k k k
f f x f x c siqn c c f c
k
f c
( ) ( ) ( )
f x q t x t dt
,
q C a b
f
,
C a b
f x q t x t dt q t dt x
( )
f q t dt
0
ˆ
( )
x t
,
C a b
1
f f x f x q t x t dt q t dt
( )
f q t dt
( )
f q t dt
k
f x x
mN
2
X l
f
f x x x x m m x
f m
1,1,...,1, 0,...
1
f x m
f m
f m
Легко видеть, что
sup ( ) ( )
1
x
n
Значит,
k
.
1
Пример 2.2. Пусть теперь
ˆ
x t
. По
n n n
теореме 1.4
ˆ
1 1 1
k k k
b
a
,
.
. Очевидно,
– линейный функционал на
b b
ла имеем
ционал f ограничен и
( ) ( ) ( ) ( )
a a
b
a
Можно также доказать, что для произвольного
функция
из
sup ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
x
такая, что
ˆ ˆ
Тогда в силу произвольности
b
a
.
Пример 2.3. Докажем, что функционал
. Из простейших свойств интегра-
, следовательно, функ-
.
существует
ˆ
x
имеем
и
b b
a a
( )
k
.
b
a
m
1
, и тогда
(
– фик-
сированное) является линейным непрерывным на банаховом пространстве
; найдите
.
Применяя неравенство Гельдера, получаем
m m m
( )
1 1 1
k k k
значит, f ограничен и
k k k
; для доказательства противоположного
1
ˆ
x
неравенства возьмем
откуда согласно теореме 1.4
m
m
, а в итоге
1
2
2
; тогда
,
m
ˆ
x
ˆ
( )
.
m
,
,
33
( ) (0)
0,1
0,1
( )
D f
0,1
( ) sin
x t nt
1
( ) 0,1
f x x x t x t x t x f
1
ˆ
( )
x t t
( ) (0) 1
1
1,1
( ) (0)
f x x
( ) ( 1) 2 (0) (1)
f x x x x
( ) 0 1
2
( ) ( ) ( 1)
( ) ( )
f x x t dt
( ) ( ) (0)
f x x t dt x
( ) ( ) ( )
f x x t dt x t dt
( ) ( )
f x tx t dt
( ) ( )
f x t x t dt
Пример 2.4. Рассмотрим линейный функционал
банаховом пространстве
а) Здесь
C
; б) на банаховом пространстве
– всюду плотное в
C
f x x
: а) на
(1)
C
.
множество непрерывно
дифференцируемых функций; функционал f не является непрерывным,
так как он неограниченный: пусть
( ) 0
f x x n
n n
б) в этом случае
ограничен,
f f x x
( ) (0) max ( ) max ( ) max ( )
f
;
D f C
0,1 0,1 0,1
t t t
(1)
; положив
, откуда
f
n
; тогда
;
, получим согласно теореме 1.4
.
x
n
C
, однако
(1)
0,1
Задачи для самостоятельного изучения
Задача 2.1. Докажите, что следующие функционалы в пространстве
C
являются линейными непрерывными; найдите их нормы.
а)
б)
в)
f x
;
( ) 2 (0) ( )
x x x
;
;
1
f x x t dt x
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
0
1
1
1
1
0 1
1 0
1
1
1
2
1
;
;
;
;
;
.
34
( ) ( )
f x x t dt
0,1
( ) ( )
f x tx t dt
1,1
f
k
f x x
m
N
X
f
1
X l
X l
k
x
k
X
f
1
X l
2
X l
( ) lim
k
f x x
f
k k
f x x y
p
l
1
,
X Y
A X Y
D A X
f Y
x X
Ax Y
f Ax
: ( ) ( )
x q x f Ax
q
q x f Ax f Ax f A x
Задача 2.2. Докажите, что
функционал
1
m
0
в
пространстве
Задача 2.3. Докажите, что функционал
нейным непрерывным на банаховом пространстве
те его норму
Задача 2.4. Докажите, что функционал
сированное число) является линейным непрерывным на банаховом про-
странстве
Задача 2.5. Докажите, что функционал
нейным непрерывным на банаховом пространстве
а)
C
; найдите
; б)
является линейным непрерывным, найдите его норму.
1
0
X C
.
m
( )
1
k
, если: а)
.
; б)
f x
( )
k
; найдите
является ли-
(1)
(
.
является ли-
1
и найди-
фик-
, если:
Задача 2.6. Докажите, что функционал
нейным непрерывным на банаховым пространстве c; найдите
Задача 2.7. Пусть
y y y l q
, ,... 1,
1 2
q
k
является ли-
( )
,
.
k
1
1 1
Докажите: f – линейный непрерывный функционал на
,
; оце-
p q
ните сверху его норму.
2.2. Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор
в гильбертовом пространстве
Пусть
(
числе
очевидно, q – линейный функционал на X. Если A – ограниченный опе-
) оператор,
– ЛНП,
, поставленном в соответствие элементу
:
,
– линейный всюду определенный
. Тогда
и можно говорить о
.
;
ратор, то
– ограниченный линейный функционал:
( ) ( )
, (2.1)
35
q X
f Y
q X
A Y X
A f x q x f Ax
A
A
,
A L X Y
A L X Y
A A
0
x X
ˆ
f Y
1
ˆ
f Ax Ax
A A
A A
A A
A B A B
A A
,
A B
A B f x f A B x f Ax Bx f Ax f Bx
A f x B f x A B f x A B A B
,
X Y
A f x f Ax A f x A A
Y X
AB B A
AB f x f ABx f A Bx A f Bx
B A f x B A f x AB B A
H
т.е.
Определение 2.3. Оператор
зывается сопряженным оператору A.
что если
деле здесь имеет место равенство. Из теоремы 1.4 о норме оператора и
свойства точной верхней грани следует, что для любого
числе функционалов найдется
Пример 2.5. Докажем, что
. Таким образом, каждому
, т.е. имеем оператор
такой, что 1x
, то
, Ax A
:
( )
, определяемый равенством (2.2), на-
– линейный оператор. Из (2.1) следует,
, определяемый равенством
,
, причем
. По теореме 2.2 о достаточном
Учитывая эти соотношения, получаем
A A f A f A f x A f x
.
ˆ ˆ ˆ ˆ
ставится в соответствие
. (2.2)
такой, что
. На самом
найдется
ˆ
f
,
ˆ
f Ax Ax A
Отсюда следует, что
получим
Пример 2.6. Докажем, что 1)
1) В силу линейности
.
.
и f имеем
, а с учетом неравенства
; 2)
2) пусть пространства
Пример 2.7. Докажем, что если
( ) ( )
– комплексные; тогда
( )
( )
, то
;
.
.
.
Пусть
Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала, определение
( ) ( )
– произвольное гильбертово пространство. В силу теоремы
.
36
A f x x A f Ax f f Ax
A L H
, ,
Ax y x Ay
S H
A B S H
AB S H
AB BA
A B S H
x y H
AB BA
ABx y Bx Ay
x BAy x ABy
( )
AB S H
( )
AB S H
x y H
ABx y x BAy x ABy
, 0
x H
0
y H
0
n
T
A A
T
A A
Ax y a x y x a y x a y x A y
ki k ik k
A y a y a y
ik ki
a a
T
A A
A A
x y a x b a y b
2 2
A CL CL
, Q
2 2
A CL CL
оператора, сопряженного ограниченному операторуA, может быть пере-
формулировано так:
, ,
.
Определение 2.4. Оператор
венство
Множество самосопряженных операторов обозначим
Пример 2.8. Покажем, что если
только тогда, когда A и B перестановочны:
Пусть
Пусть наоборот, известно, что
венств
из того, что это равенство верно для всех
, ,
BA AB y
BA AB
Пример 2.9. Пусть
,
, , ,
; отсюда, ввиду произвольности
, т.е. перестановочность A и B.
, называется самосопряженным оператором.
,
,
, ,
A L
и
, для которого выполняется ра-
,
; тогда
, т.е.
следует, что
в некотором базисе описывается
, то
,
,
.
x BA AB y
, следует, что
, получаем, что
.
тогда и
.
; тогда из ра-
;
матрицей A. Докажите, что тогда сопряженный оператор имеет в этом
базисе матрицу
самосопряженным, если его матрица эрмитово сопряженная:
n n n n n n
, ,
где
самосопряженным, если
Пусть
Q , / ,
Теорема 2.5. Интегральный оператор
1 1 1 1 1 1
i k k i k i
CL a b x t C a b x x t dt
ik k i k ik i k ik i
n n
1 1
k k
, ( ) , ; ( )
2
, следовательно такой оператор будет
,
T
.
.
или
b
L
2
a
1
2
2
:
,
; оператор будет
,
с непрерывным
.
K t C
вещественным ядром
:
, который является интегральным оператором с ядром
имеет сопряженный оператор
37
, ,
K t K t
A z K t z d
( )
z t
2
CL
,
K t
, ,
K t K t
, ,
y z C a b
Ay z Ay t z t dt K t y d z t dt
y d K t z t dt y A z d y A z
A
A z K t z d
A
A A
Ay A y
,
y C a b
Ay K t y d
A y K t y d
, , 0
,
y C a b
,
K t
, , , 0
Ay K t y d K t y d A y
,
y C a b
A
,
K t
( , ) ( , ) ( , )
K t K t K t
комплекснозначная функция из
Для того, чтобы оператор A был самосопряженным, необходимо и
достаточно, чтобы ядро
ством
Доказательство. Пользуясь соответствующими определениями и тео-
ремой о перестановке порядка интегрирования, получим при любых
, т.е.
.
было симметричным, т.е. обладало свой-
.
b
a
,
, где
b b b
, ( ) , ( )
b b b
a a a
a a a
, ( ) ,
.
–
Таким образом, сопряженный оператор
b
представляется по формуле
Необходимость. Пусть оператор
b
a
получаем
Можно доказать, что для непрерывного ядра
Достаточность. Если ядро симметрично, то имеем, очевидно,
b b
a a
доказана.
,
,
b
a
, ,
,
K t K t y d
ство
). Воспользуемся представлениями
b
a
H t K t K t
,
a
,
.
самосопряжен:
. Вычитая одно из другого,
,
,
существует и
.
справедливо равен-
.
. Теорема
(т.е.
Мы видим, что для интегрального оператора
ядром
ным ядром:
ядро сопряженного оператора совпадает с транспонирован-
T
с вещественным
.
38
,
K t
( , )
K t
A
( , ) ( , )
K t K t
,
K t
( , ) ( , )
K t K t
,
K t s
2
CL
, ,
K t s K s t
, ,
K t s K s t
A S H
,
Ax x
( ) 0 (0) (0) ( ) ( )
f x y x y x y f x f y
f x x x t x f
1
1
1
(0) 1
1
1
( ) ( 1) 2 (0) (1) ( 1) 2 (0) (1) 4 max ( ) 4
f x x x x x x x x t x
4
( ) 2 1
x t t
1, 0, 1
1, 4
4
4
2
( ) 2 1
1
В общем случае, когда
сопряженного оператора
задачу 2.8.) (т.е. наряду с транспонированием производится переход к ком-
плексно сопряженными величинами). Комплексное ядро
творяющее условию
симметричным.
Задачи для самостоятельного изучения
Задача 2.8. Докажите, что оператор, сопряженный линейному инте-
гральному оператору Фредгольма с ядром
странстве
*
, и значит, самосопряженный оператор обладает свойством
.
, есть линейный оператор Фредгольма с ядром
выражается формулой
комплексное, ядро
, называется эрмитово-
в комплексном про-
(см.
, удовле-
Задача 2.9. Покажите, что если
принимает вещественные значения.
Ответы и указания к задачам
2.1.а) Линейность функционала следует из линейности значения функ-
ции в точке:
Докажем ограниченность функционала, которая эквивалентна его непре-
( ) (0) max ( )
рывности
ˆ
пусть
да
на, как и в а);
x t
f
, и значит,
, так , что
1,1
t C
x
f
; по теореме1.4
; б) линейность функционала столь же тривиаль-
, то квадратичная форма
.
ограничен,
f f x x
ˆ ˆ
f
; отсю-
1,1
t C
этим доказана ограниченность функционала f и оценка
f
. Для дока-
;
;
зательства противоположного неравенства рассмотрим кусочно-линейную
функцию
коэффициента); тогда
f
ˆ
; в)
(знак функции в точках
ˆ ˆ
x f x
f
ˆ
x t
,
1
2
t
; по теореме 1.4
для
t
совпадает со знаком
ˆ
x t
;
f
для
, и значит,
t
;
39
( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1) 2
f x x t dt x x t dt x x
2
ˆ
( ) 2 1
x t t
1 0
ˆ
( ) 1
0 1
t
1,1
1
ˆ
( ) 1 ( 1) 2
2
2
( ) ( ) ( ) max ( ) 2
f x x t dt x t dt x t dt x dt x
2
1
2
3
3
( ) 1
1
n
( ) 2 1
x t n t
1
n
nN
2
n
nN
3
2
1 , 1 ,
( ) , 1 ,
1, 1 ;
t n
x t nt t n
t n
2
n
1
1, 1 ,
( ) , 1 ,
1, 1 ;
t n
x t nt t n
2
1
n
2
3
1
( ) ( ) ( ) , 1; ( ) 1
г) линейность функционала следует из линейности обоих слагаемых;
ограниченность – из нижеследующего:
1 1
отсюда также следует, что
неравенства рассмотрим кусочно-линейную функцию
f x
0 0
f
t
x t
,
для
; по теореме 1.4
. Для доказательства противоположного
; очевидно,
f
;
ˆ
x C
, и значит,
для
ˆ
,
f
; д) линей-
x
ность функционала следует из линейности интеграла; его ограниченность –
из следующей цепочки соотношений
1 1 1 1
1 1 1 1
t
отсюда также следует, что
ˆ
ваем положив
x t
; следовательно,
доказательстве неравенства
f
1,1
. Противоположное неравенство доказы-
f
f
; полагаем
; е)
ˆ
x t
n
,
f
; остановимся на
для
t
,
,
ˆ
n
ˆ ˆ ˆ
x C x f x nt dt dt
для
1,1 , 1, ( ) 2 (2 1) ( 1) 3
что ввиду произвольности
f
f
f
; ж)
; здесь надо взять
; здесь можно взять
t
,
; очевидно,
1
n
0
1
,
1
n
означает согласно теореме 1.4, что
f
; здесь
ˆ
n
ˆ
n
ˆ
x t
t n
.
тогда
, тогда
ˆ
( ) 2
f x
n
ˆ
( ) 1
f x
n
; з)
; и)
2.2. Линейность функционала следует из линейности интеграла
1 1
1
m
f x x t dt m s x s ds f x t
m
0 0
ˆ
.
40
1
2
1,1 1,1 1,1 1,1
f
1
2
1
( ) ( ) ( )
f x y x y x y f x f y
1
f x x x x x
f
1
1,0, 0,...
f m
f x x x x m x f
f m
1,1,...,1, 0,...
1
f x x x f
1
1, 0, 0,...
6
x
k k
x x
2
6
2.3. Линейность функционала следует из линейности интеграла.
f
( ) ( ) ( )
f x tx t dt t x t dt x x x x
следовательно, функционал
;
1 1
0 0
1 1 1
C C C C
2 2 2
ограничен, и
f
; противоположное
(1)
неравенство доказывается согласно теореме 1.4 с помощью функции
ˆ
x t
.
2.4. Линейность функционалов следует из линейности суммы:
m m m
k k k
k k k k
1 1 1
;
докажем ограниченность функционалов во всех пространствах и найдем их
( )
нормы. а)
f
;
следовательно, функционал
m m
k k k
1 1 1
k k k
ограничен и
;
f
; противоположное
ˆ
неравенство получается с помощью теоремы 1.4 и
m m m
( ) sup 1
, так как
k k k
1 1 1
k k k
1
k
x
; б)
ограничен,
; противоположное неравенство получается с помощью теоремы
ˆ
x
1.4 и элемента
m
. 2.5. Линейность функционала во всех
пространствах следует из того, что линейная комбинация абсолютно сходящихся рядов есть абсолютно сходящийся ряд. Докажем ограниченность
функционалов и найдем их норму.
f
а)
f
, так как ограничен
; противоположное неравенство получается с помощью теоремы
1.4 и элемента
ˆ
x
x
( )
k
k k
1 1 1
k k k
; б)
x
k
k
f
, так как
,
1 1
2 2
1
2
k
1 1
2
k
, где
f
( )
f x
x
k
1 1
k k
k
k k
это означает, что функционал f ограничен и
k
1
2
k
1
2
; для доказательства
;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]