Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы функционального анализа линейные операторы, уравнения в банаховых пространствах. Учебное пособие
.pdf
71
cos sin sin
x t C t C t C t
sin 0.
n n Z
n n Z
n n Z
sinnx t nt
X
C, :
A X X
A X
C
A
X x X Ax x N A I
X
0
0
: , ,
A C a b C a b
Ax t K t s x s ds
,
K t s
2
, ,
t s a b
K t s x s ds x t
0
0
n
0
n
0,
sin sin
kt ks
Так как необходимо найти ненулевую собственную функцию вида
, то необходимо, чтобы
1 2 2
возможно только в случае
оператор имеет собственные значения вида
ответствующих собственных векторах
5.3. Собственные значения и собственные векторы
вполне непрерывного линейного оператора
Определение 5.2. Пусть
комплексных чисел
оператор, т.е.
, а множество
странство, соответствующее собственному значению . Рассмотрим
свойства собственных подпространств линейного вполне непрерывного
оператора.
1) Собственное подпространство
оператора, отвечающее собственному значению
2) Для любого числа
. Пусть
есть собственное подпро-
:
, т.е. при
.
банахово пространство над полем
линейный вполне непрерывный
есть собственное значение оператора
вполне непрерывного линейного
вне круга
2 2
при со-
в комплексной плоскости
, конечномерно.
. Итак,
Это
(вещественной оси) может содержаться только конечное число собственных значений оператора A.
Рассмотрим интегральный оператор Фредгольма
b
ратором. Тогда задача на собственные значения имеет вид
b
a
отличных от нуля,
ных значений оператора A, т.е.
ненулевым собственным значениям, конечномерны. Рассмотрим пример,
показывающий случай 3.
ветствующие собственные векторы интегрального оператора Фредгольма
A C
с ядром
в квадрате
,
1) уравнение имеет только нулевое решение
2) существует конечное число собственных значений оператора A,
3) существует бесконечно - малая последовательность
При этом в случаях 2 и 3 собственные подпространства, отвечающие
Пример 5.5. Найти собственные значения, отличные от нуля, и соот-
,
a
с непрерывным комплекснозначным ядром
, который является вполне непрерывным опе-
. При этом могут представиться три случая:
,
K t s
x t
n
k
при
2
1
k
.
.
при
,
,
собствен-
72
Ax t x t
,
x t
ks x s ds
0
sin
x t kt
x t
sin
kt
sin sin .
k
sin sin 0
ks ls ds
k s
k s
2
2
2 2 2
2 2 2
k k k
2
2kk
0
k
H
:
A H H
,
m M
inf ,
m Ax x
sup ,
M Ax x
0
M
Составим уравнение
sin sin sin
kt ks kt
1 1
k k
0 0
k
2 2
k k
sin
kt
2
k
1
При
sin
1
k
kt
sin
2
k
0
sin sin
kt kt
2 2 2
k l k
1 1 1
k l k
sin sin
kt kt
2 2 2
k l k
1 1 1
k l k
x s ds x t ks x s ds x t
k
:
ks x s ds x t
sin sin
0
sin sin .
0
ks ls ds
ks ls ds
где обозначено
1
k
k
2
k
1
1
l
l
, т.е.
k
. Учитывая вид функции
Приравнивая коэффициенты при функции
0
, а при
sin sin
0
ks ls ds
ks ls ds
l
2
l
1
l
:
0 0
l k
2 2
l k
1
l
sin sin sin
Учитывая, что
ks ls ds ks ds
, откуда
sin
sin
0
, получаем
0
2
k
k
, получаем
.
, получаем
при
1
k
k k k
0
. Оператор имеет бесконеч-
ное множество собственных значений вида
, причем
k
при
.
5.4. Собственные значения и собственные векторы
вполне непрерывного самосопряженного линейного оператора
Пусть
гильбертово пространство и
вполне
непрерывный самосопряженный линейный оператор.
Теорема 5.1. 1) Каждый вполне непрерывный самосопряженный ли-
нейный оператор имеет по крайней мере одно собственное значение, отличное от нуля.
2) Все собственные значения вполне непрерывного самосопряженного
линейного оператора вещественны и расположены на отрезке
,
1
x
. Если
1
x
, то M является наибольшим соб-
, где
73
0
m
:
A H H
1
:
A H H
x H
Ax H
P
:
A X X
A I
R A I X
A I L X
A
:
A X X
A C A I L X
R A A I L X
A
R A
x X
Ax x y
y X
1
x A I y
P
1
A I
C
A P A
A
P
1
A I
A
P
1
A I
X
ственным значением оператора A. Если
собственным значением оператора A.
Следствие 1. Если
линейный оператор, то
ное значение оператора.
Теорема 5.2 (Гильберт - Шмидт). Если
ный самосопряженный линейный оператор, то для всякого элемента
элемент
ванной системе собственных векторов оператора A.
5.5. Понятие спектра непрерывного линейного оператора
Определение 5.3. Число
значением линейного оператора
рывно обратим, т.е.
непрерывный линейный оператор
Определение 5.4. Множество
оператора
зом,
.
раскладывается в сходящийся ряд Фурье по ортонормиро-
:
A
N A I
,
называется резольвентным множеством. Таким обра-
1
вполне непрерывный самосопряженный
, где
называется регулярным (правильным)
наибольшее по модулю собствен-
1
.
регулярных значений линейного
, то m является наименьшим
вполне непрерыв-
, если оператор
1
и существует обратный
непре-
Определение 5.5. Линейный ограниченный оператор
1
, определенный на
ным оператором (резольвентой) оператора A.
Чтобы найти резольвентный оператор
относительно элемента
элемента
тор
плексной переменной
линейные операторы.
оператора A.
собственные значения
Ax x A I x
является непрерывным оператором.
В общем случае резольвента линейного оператора есть функция ком-
Определение 5.6. Множество
Спектр
в виде
уравнение
, и выяснить, при каких
, называется резольвент-
, необходимо разрешить
для любого заданного
, значениями которой являются ограниченные
\
называется спектром
делят на три части. Во-первых, в спектр входят все
оператора, так как уравнение
имеет ненулевые решения (собственные элементы),
опера-
поэтому
не существует. Собственные значения оператора образуют дискретный
(точечный) спектр
Во-вторых, в спектр входят значения
оператор
N A I
хоть и существует на некотором всюду плотном в
и значит, обратного оператора
.
p
, при которых обратный
вообще
74
A I L X
A
A
A A A A
,
X C a b
Ax t x t
,
D A C a b
A
Ax x
x t x t
t
x t Ce
C const
x t
P
A A P
,
X C a b
Ax t x t
, : 0
множестве (
1
; множество таких точек обозначается
непрерывным спектром.
В-третьих, в спектр входят элементы, в которых резольвентный оператор определен не на всюду плотном в X множестве. Такие точки образуют
остаточный спектр
те точки, которые не являются регулярными точками, точками дискретного спектра и точками непрерывного спектра.
Таким образом,
Отметим следующие важные факты о спектре, которые опираются на
доказанные выше теоремы.
1. В конечномерном случае пространства спектр оператора дискретный
и совпадает с множеством корней характеристического многочлена соответствующей матрицы этого оператора (непрерывный и остаточный спектры оператора есть пустые множества) и существование спектральных значений является следствием теоремы о существовании корня многочлена –
основной теоремы алгебры.
2. В евклидовом (или унитарном) конечномерном пространстве размерности n всякий самосопряженный оператор имеет ровно n вещественных собственных значений с учетом их кратности, а из соответствующих
им собственных векторов в пространстве можно составить ортонормированный базис.
3. Спектр вполне непрерывного оператора в бесконечномерном банаховом пространстве состоит из не более, чем счетного множества собственных значений, единой предельной точкой которого может служить
лишь точка нуль.
Пример 5.6. Найти спектр и резольвенту дифференциального опера-
тора, действующего в пространстве
1
.
N A I
), но является неограниченным, т.е.
5.6. Примеры нахождения спектра
линейного непрерывного оператора
. Другими словами, остаточный спектр образуют
r
.
p c r
:
1
и называется
c
,
Сначала найдем дискретный спектр
т.е. уравнение
. Очевидно, что значение C можно взять так, чтобы функция
была нетривиальной. Значит, любое значение
значение оператора, т.е. спектр
Резольвентное множество
Пример 5.7. Найти спектр и резольвенту оператора, действующего в
пространстве
. Его решением является функция
1
:
A
, резольвента отсутствует.
,
p
D A x C a b x a
, решая уравнение
p
есть дискретный спектр.
,
есть собственное
1
,
.
75
Ax x
t
x t Ce
C const
0
0 0
0
P
0
Ax x y
x t x t y t
0
t
x t Ce
C const
t
x t C t e
, .
x t C t e e y s ds C e e y s ds C e C const
0
x t e y s ds
P
,
y t C a b
Ax x y
x t A I y t e y s ds
1
A I
,
a b
t s
e
A I
A P
1
R A I
,
X C a b
Ax t x t
D A x C a b x a x b
Ax x
t
x t Ce
C const
x a x b
0
a b
e e
2 ,
a b ni n
Z
z
e
Как и в примере 5.6, общее решение уравнения
,
решение:
:
x t
x a Ce C
, т.е. дискретный спектр отсутствует,
. Учитывая условие
a
,
x t
x a
. Значит, при каждом значении
, получаем тривиальное
A
p
имеет вид
.
Найдем резольвенту оператора, для чего найдем решение уравнения
, или эквивалентно задачу Коши для линейного дифференци-
ального уравнения первого порядка:
,
x a
.
Решим уравнение методом вариации. Общее решение линейного од-
нородного уравнения имеет вид
неоднородного уравнения находим в виде
(
). Общее решение
. Подставляя его в
исходное уравнение, получаем
t t t t
C t e C t e C t e y t C t e y t
C t e y s ds C C const
t
a
s
, .
1 1
В итоге получаем общее решение
t t
t s t t
Учитывая начальное условие
Итак, для каждого
a a
1 1 1
x a
и каждой функции
t s
, получаем
t
t s
1
существует
a
.
непрерывное решение уравнения
есть непрерывная на отрезке
A
Так как ядро оператора
функция
множество
, то оператор
, спектр
1
непрерывно обратим. Резольвентное
, резольвента
t
a
в виде
t s
.
A
.
Пример 5.8. Найти спектр и резольвенту оператора, действующего в
пространстве
1
:
,
1
, :
(над полем комплексных чисел).
Как в примере 5.7, общее решение уравнения
,
a b a b
Ce Ce C e e
. Учитывая условие
.
, имеем
имеет вид
Значение C отлично от нуля только в том случае, когда
при
(учли условие периодичности функции
, т.е.
для
76
a b
Z
, .
Z
Ax x y
x t x t y t
x a x b
, .
x t e y s ds Ce C const
x a x b
C e y s ds
a b
N
,
y t C a b
Ax x y
s t
x t A I y t e y s ds e y s ds e
1
A I
,
a b
t s
e
A I
C Z
Z
1
R A I
0,1
Ax t tx t
0,1
Ax x
0
0
0,1
tx t x t y t
0,1
0,1
x t t y t
0,1
\ 0,1
R y t A I y t y t
0,1
1
R A I
0,1
комплексной переменной), откуда
2
ni
спектр
Найдем резольвенту, для чего найдем решение уравнения
или эквивалентно краевую задачу для линейного дифференциального
уравнения первого порядка:
Аналогично примеру 2, получаем общее решение
Учитывая условие
A n
p
t
t s
a
a b
,
t
, получаем
2, ni
Итак, для каждого
n
2, ni
и каждой функции
n
.
. Значит, дискретный
a b
e e
e
b
b
s
a
.
1
существует непрерывное решение уравнения
1
t b
t s
a a
b
e
a b
e e
в виде
.
,
Так как ядро оператора
функция
множество
резольвента
Пример 5.9. Найти спектр и резольвенту оператора, действующего в
пространстве
ных чисел).
Уравнение
шением является только тривиальная функция
нет собственных значений и собственных функций (точечный спектр пуст).
Если
y t имеет единственное непрерывное на отрезке
. Значит, все точки
точками оператора, т.е.
A
, то оператор
2
ni
A n
A
C :
, то уравнение
1
\ ,
a b
.
,
имеет вид
1 1
.
есть непрерывная на отрезке
непрерывно обратим. Резольвентное
2
ni
,
a b
. Его ре-
R ,
, спектр
D A C (над полем веществен-
tx t x t t x t
при заданной функции
являются регулярными
A A n
x t
p
. Значит, у оператора
t решение
,
Пусть
определен не на всюду плотном в
A
. В этом случае резольвентный оператор
X C множест-
77
0,1
1
l
, ,..., ,...
1
n n
z x
n
1 2 1
x x x x l
Ax x
N
n
N
1nn
N
1
x l
N
n
N
Ax x
0,0,...0,1,0,0,...
n N
A
1 2 1
y y y y l
Ax x y
1 2 1
x x x x l
n
N
N
1
x A I y
1
x l
d
1
lim 1
n
1
0
d
n n
x x y
1
1
A I
1
A
ве. Значит, все точки
есть точки остаточного спектра.
Пример 5.10. Найти спектр и резольвенту линейного оператора, дей-
n
ствующего в
:
Ax z z z z ,
1 2
n
,
, ,..., ,...
Сначала найдем дискретный спектр оператора. Для этого решаем
уравнение
1 1
n n
x x x n
n n n
n n
система имеет только тривиальное решение. Если же
торого натурального номера
имеет вид
n
0
, остальные элементы – нули). Значит, для любого
уравнение
0,0,...0, 1 ,0,0,...
имеет нетривиальное решение (собственный вектор)
, т.е. систему уравнений
1
n
0
0,
n
0
. Если
, то нетривиальное решение системы
(единица стоит на месте с номером
nn
для неко-
, то данная
0
0
n
1
nn
.
x
Пусть
n
. Для заданного элемента
, т.е. дискретный спектр
p
шим уравнение
тему уравнений
y
x n
n
n
1
n
n
,
, т.е. пока формально
Далее, так как
x x
1 1
n n
n
y
n
1
n
n
свойству нижней грани
и
1 1 1 1
n n n n
относительно
1
n
x x y n
n n n
, то необходимо, чтобы ряд
сходился. Пусть
1n
. Так как
n
y y
n n
1
n
d d
n
A
p
, ,..., ,...
,
, откуда находим
.
n
inf
d
n
N
n
n
1
.
1
n
.
n
, ,..., ,...
n
1
, причем по
n
, то если
n
, т.е. сис-
ре-
, то
Если же
, то обратный оператор
неограниченным, значит, точка
1
.
c
будет являться
есть точка непрерывного спектра:
78
1
n
N
Ax x y
1
x l
1
y l
1
x A I y
1
R A A I L l
1
n
N
N
2
l
, , , ,..., ,...
1 2 2
x x x x l
Ax x
1 0, 1 0, 1 0,..., 1 0,...
1
, , ,..., ,...
x x x x x x x x x x
3 4 2
x c c c l
1
1 0, 1 0
1 1 0 1
i
1, , 0,0,...,0,...
1, ,0,0,...,0,...
A i
A i
Ax x y
1 , 1 , 1 ,..., 1 ,...
x x y x x y x y x y
2
x l
2
y l
, , ,..., ,...
2
R A A I L l
1
1
i
, , ,..., ,...
0,1
0 2 1 1
Ax t x t x
0,1
Ax t x t y t
0
Итак, при
разрешимо относительно
При этом
и
nn
для всякого
1
(
уравнение
и
в виде
1
nn
однозначно
.
) есть непре-
рывно обратимый линейный оператор (резольвента оператора A). Спектр
1
1
n
оператора
A
1
.
n
n
Пример 5.11. Найти спектр и резольвенту линейного оператора, дей-
ствующего в
:
Ax x x x x x x x ,
1 2 1 2 3 4
n
, ,..., ,...
n
.
Сначала найдем дискретный спектр оператора. Для этого решим урав-
нение
x x x x x x x x x x
1 2 1 1 2 2 3 3
При
и имеет бесконечное множество решений
что ряд
При
, или систему уравнений
, , ,..., ,...
x x x x x x
1 2 1 2 3
n n
n
система принимает вид
1 2 1 1 2 2 3 3
n n
0,0, , ,..., ,...
2
c
3nn
.
,
n
система имеет нетривиальное решение только в том случае,
таких,
когда определитель матрицы системы
равен нулю, т.е. при
нетривиальных решения
дискретный спектр
При
p
1 2 1 1 2 2 3 3
p
1, 1
однозначно разрешимо относительно
1 1
x x x x
1 2 3
Значит, резольвента
R A y
y y y y
1 1 1 1
1 2 2 1
2 2
1 1
y y y y
1 1 1 1
1 2 2 1
2 2
2
x i и
1, 1
.
уравнение
для всякого
1
(
1 1
y y
1 1
x x x x
1 2 1 2
. При этом система имеет два
x i . Итак,
, а значит, система
n n
в виде
y y
3
n
и
3
n
n
),
.
Пример 5.12. Найти спектр и резольвенту оператора, действующего в
пространстве
C :
,
D A C (над по-
лем комплексных чисел).
Составим уравнение
(
), т.е. уравнение
79
x t x x t y t
x t
x t x x t y t
x t x x t y t
0, 1
t t
0 , 1
x x
0 1 0 0 , 1 0 1 0 ,
0 1 1 1 0 1 1 1 .
0 1 0 1 , 1 1 1 0 ,
1 1, 1
i
0,1
i
x t x x t y t
A i
R A y t A I y t x x t y t
A i
1
i
0
0 2 1 1 1 0
x t
x t t
0 1 2 1
1 1
x x x
i i
,
i
1
i
1
x t i t
1
i
1
i
x t i t
0
0 0 2 1 1 0
0,1 : 0 1 0
A i A
0 2 1 1
, откуда формально найдем функцию
Подставив в уравнение
, получим систему уравнений для определения значений
:
x x x y x x y
где
y t C и
определена резольвента
x x x y x x y
Решая ее по формулам Крамера, получаем
x y y x y y
1 1 1
, т.е. на множестве
0 1 2 1
1 1 1
.
0 1 2 1
0 2 1 1
поочередно
1 1
2
. Таким образом, для каждой функции
.
\ 0,1
C существует функция
1
1 1 1
0 1 2 1
:
\ 0,1
C
При этом спектр
кой дискретного типа, для чего решим уравнение
уравнение
, получаем
константы. При этом
решение:
x x
Полагая
венную функцию, отвечающую собственному значению
собственная функция оператора.
2 1 2
1 1
Аналогично
x t x i x t
0 1
1 1
x
, ,
i i
, ,
i i
, получаем
0 , 1x x
и
0,1
, где
. Выясним, является ли
Ax t x t
. Выражая из этого уравнения
и функцию
1 1
. Тогда получаем систему и ее
есть собственное значение и
,
,
1
i
1
i
2
,
1 1
некоторые
C
.
точ-
, или
1
.
- собст-
При
рому удовлетворяют функции из бесконечномерного собственного подпространства
Итак, имеем точечный спектр
имеем уравнение
X x t C x x
0
Ax t x t x
.
0,1
, кото-
.
p
80
0,1
Ax t tsx s ds
0,1
Ax x y
0
0,1
0,1
t sx s ds x t y t
x t
x t t sx s ds y t
sx s ds P
x t t y t
0,1
tx t t ty t tx t dt t dt ty t dt
ty t dt ty t dt ty t dt
x t
.
x t t y t sy s ds t y t
\ 0, 1/3
R A y t A I y t sy s ds t y t
0, 1/3
1/3
3
Ax t x t
t sx s ds x t
x t t
1/3
: 0, 0,
Ax t x t
5.7. Пример нахождения спектра линейного интегрального оператора
Пример 5.14. Найти спектр и резольвенту линейного оператора Фред-
1
гольма, действующего в пространстве
x t C .
C :
0
, где
Найдем решение уравнения
x t C при заданной
1
0
Обозначая
обе части этого равенства на t и интегрируя по t на
Подставляя найденное значение в функцию
1
0
1 2 1 1 2 1
1 1 1 1 1
3 3 1 3
1 1 1
0 0 0
. Выразив формально
1 1
1 1 1
, получаем
0 0 0
1 1
1
y t C , т.е. уравнение
1
0
1 1
1 3
1
0
(
, имеем
.
1 1
. Умножая
, получаем
) относительно
, получаем
.
Из заданного представления видно, что
1
A
тора. Решим уравнение
Нетрудно убедиться, что решением этого уравнения является функция
ференциального оператора
поле – поле вещественных чисел), если:
.
Выясним, является ли значение
Задача 5.1. Найти собственные значения и собственные векторы диф-
. Значит, число
Задачи для самостоятельного изучения
A C C
1 1
1 3
1
, т.е. уравнение
есть точка дискретного типа.
1
1
0
,
A
собственным значением опера-
R , резольвента
, спектр
1
0
, (числовое
1
3
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]