Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы функционального анализа линейные операторы, уравнения в банаховых пространствах. Учебное пособие
.pdf
41
1, ,..., ,...,
1
6
,
x y c
R
f x y x y x y f x f y
f x x x x
f
1
1,1,...
ˆ
x c
1
ˆ
( ) 1
1
1
f x x y x y x y y x f
q
l
f y
Ax y x A y
Ax y Ax t y t dt K t s x s ds y t dt
( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )
K t s y t dt x s ds x t K s t y s ds dt x A y
( , ) ( )
A y t K s t y s ds
( , ) ( , )
K t s K s t
( , ) ( , )
K t s K s t
Ax x x Ax
Ax x x Ax
x Ax x Ax
1 1 1
ˆ
x
противоположного неравенства
1 1 1
ˆ
тогда
итоге
дела числовой последовательности имеем линейность данного функционала:
x
f
( ) lim( ) lim lim
Далее,
,
( ) lim sup
ˆ
( )
f x
. 2.6. Пусть
k k k
k
k k
1
k
k k k k
k k
1
k
возьмем
; согласно теореме 1.4
,
,
, что означает ограниченность
; тогда из свойств пре-
2
k
f
, а в
.
;
и справедливость оценки
ˆ
x
,
итоге
дует из того, что линейная комбинация абсолютно сходящихся рядов есть
абсолютно сходящийся ряд. Докажем его ограниченность
( )
ограничен,
2.8.
f
1 1 1 1
k k k k
, ,
b b b b
a a a a
где
тора определяется равенством
f x
,
. 2.7. Линейность функционала во всех пространствах сле-
k k k k k k
b b b
, ( , ) ( )
a a a
b
a
; согласно теореме 1.4 получаем, что
.
. Таким образом, ядро сопряженного опера-
f
. Положим
1 1
p q
p q
. Линейный интегральный
ˆ
x
l l
q p
, так что
f
,
, а в
оператор будет самосопряженным, если его ядро обладает свойством
ведения
оператора,
щественность этой квадратичной формы.
. 2.9. С одной стороны, из определения скалярного произ-
, ,
, ,
, с другой – из определения самосопряженного
, ,
; в итоге
, что и означает ве-
42
M
X
x M
x M
x M
x X
x M
G
n
E
C G
G
M C G
C G
M
M
0
c
x x t M
x t c
t G
C G
0
0
x x t M
t t G
M C G
M
,
C a b
x x t
,
a b
0
x a x
x t m
M x x t C a b x a x x t m
M
x x t M
x t x x s ds
3. Вполне непрерывные операторы
3.1. Понятие компактного множества. Теорема Арцела
Определение 3.1. Множество
пространства
называется компактным, если из каждой
линейного нормированного
последовательности
подпоследовательность
Если X банахово пространство (полное метрическое пространство),
то указанная фундаментальная подпоследовательность
ствие полноты X, сходится к некоторому элементу
зательно
Пусть
. Рассмотрим пространство
. Пусть
вия обеспечивают компактность множества
теоремой Арцела.
Определение 3.2. Функции множества
ограниченными, если существует число
множества M) такое, что для любой функции
(равномерная ограниченность функций множества M означает ограничен-
0
.
замкнутая ограниченная область в евклидовом пространстве
- некоторое множество функций из
можно выделить фундаментальную
n
.
n
k
k
, вслед-
n
k
k
0
непрерывных функций на множестве
? Этот вопрос решается
называются равномерно
(общее для всех функций из
, однако не обя-
. Какие усло-
:
(
)
ность множества M в пространстве
Определение 3.3. Функции из множества M называются равносте-
пенно непрерывными, если для любого числа
t t x t x t
было компактным, необходимо и достаточно, чтобы функции множества
ций
жем с помощью теоремы Арцела, что
E
Теорема 3.1 (Арцел). Для того чтобы множество
были равномерно ограниченными и равностепенно непрерывными.
Пример 3.1. В пространстве
Отсюда
такое, что для любой функции
n
, непрерывно дифференцируемых на
и
представима в виде
, т.е.
.
).
существует число
, для всех ,
функций
рассмотрим множество M функ-
и таких, что
1
, : ,
компактно. Всякая функция
t
0
a
.
0
. Пока-
:
43
,
x t x x s ds x x s ds x mds x m t a x m b a
M
x t x t x x s ds x x s ds x s ds x s ds
0
m
,
X Y
:
A X Y
: 1
,
X Y
:
A X Y
,
X Y
x M
x M
,
X Y
:
A X Y
t t t
т.е. функции из множества
неравенства
0 0 0 0 0
a a a
равномерно ограничены. Далее, исходя из
x t x t
t t t t
0 0
a a t t
, получим
m t t
т.е.
множества M.
3.2. Линейные вполне непрерывные операторы. Основные свойства
Операторы в конечномерном пространстве обладают рядом свойств, которые не переносятся на произвольные ограниченные операторы в бесконечномерных пространствах. В данном пункте будет изучен класс операторов,
обладающих некоторыми свойствами операторов в конечномерных пространствах. Особый интерес к этому классу операторов связан также с тем,
что в него входят многие интегральные операторы, и это позволяет получить
более детальную информацию об интегральных уравнениях.
Определение 3.4. Пусть
нейный оператор
ным), если он замкнутый единичный шар
ства X переводит в компактное множество пространства Y.
Множество всех вполне непрерывных операторов, действующих из X
,
, что доказывает равномерную ограниченность функций из
банаховы линейные пространства. Ли-
называется вполне непрерывным (компакт-
S x X x
1
простран-
в Y, будем обозначать через
Напомним, что оператор
рывным), если он ограниченное множество переводит в ограниченное
множество. Отличие класса компактных операторов от произвольных ограниченных операторов основано на том, что ограниченные множества в
бесконечномерных пространствах могут не быть компактными.
Приведем примеры вполне непрерывных линейных операторов.
Пример 3.2. Если пространства
ный оператор ограничен, значит, он переводит ограниченное множество в
ограниченное множество. Но в конечномерном линейном пространстве
любое ограниченное множество M компактно, так как из каждой ограни-
ченной последовательности
подпоследовательность
странствах все линейные операторы вполне непрерывны.
Пример 3.3. Пусть
ства. Линейный оператор
n
. Таким образом, в конечномерных про-
n
k
k
произвольные банаховы линейные простран-
.
является ограниченным (непре-
конечномерны, то любой линей-
можно выделить фундаментальную
называется оператором конечного ран-
44
R A
: 1
A S Y
R A
A S Y
:
f X P
0,1
Ax t a t b s x s ds a t b s x s ds c a t
, 0,1
1,2,...,
c b s x s ds k n
R A
L
dim
L n
a t a t a t
Ax t
x t
a t a t a t
:
I X X
Ix x
:
I X X
: 1
:
I X X
:
A X Y
,
X Y
,
L X Y
,
X Y
га, если его образ
жем, что оператор конечного ранга является вполне непрерывным. Так как
множество
1
нейного оператора A) также ограничено. Так как образ
нечномерным, то множество
В частности, если пространство Y конечномерно, то любой ограниченный (непрерывный) линейный оператор компактен. Отсюда следует,
что любой линейный непрерывный функционал
непрерывным линейным оператором.
Пример 3.4. В пространстве
интегральный оператор с вырожденным ядром
где
a b C ,
k k
S x X x
1
(образ замкнутого единичного шара в результате действия ли-
1 1
0 0
является конечномерным подпространством. Пока-
является ограниченным, то множество
является ко-
1
n n n
k k k k k k
1 1 1
k k k
1
k k
0
является компактным.
является вполне
X C рассмотрим линейный
.
,
Образ
(
данный оператор является оператором конечного ранга, а значит, и вполне
непрерывным.
Пример 3.5. Для нулевого оператора образом является одна точка,
значит, он компактен.
Примером линейного непрерывного оператора, который не является
вполне непрерывным, является единичный оператор
бесконечномерном пространстве X. Оператор
ничный шар
множеством в бесконечномерном пространстве. Таким образом, единичный оператор
нечномерного пространства X.
Сформулируем основные утверждения о линейных вполне непрерывных операторах.
1. Линейный вполне непрерывный оператор
ограниченное множество пространства X во множество, компактное в
пространстве Y.
), порожденному функциями
функции
принадлежит конечномерному подпространству
разложен по функциям
S x X x
1
является вполне непрерывным только в случае ко-
, ,...,
1 2
, ,...,
1 2
в себя, который не является компактным
[так как образ
n
переводит еди-
переводит любое
]. Значит,
n
,
в
2. Множество
подпространством пространства
3. Если хотя бы одно из пространств
линейных вполне непрерывных операторов является
.
является конечномерным, то
45
:
A X Y
, ,
X Y L X Y
n
A
, :
A B X Y
A B
:
A X Y
2
l
2 2
A l l
, ,... , 1,2,...
1 2 2
x x x l
, 1kjk j
2
kj
a
2
l
, ,...
1/ 2
Ax c x c
1
a c
2 2
A l l
1 2 2
x x x l
1 2 2
A x y y y l
n
A
n
A
0
n
n
A
1 2
A l l
, , ,..., ,...
линейный оператор
оператором, т.е.
.
4. Если последовательность
является вполне непрерывным линейным
вполне непрерывных линейных операто-
ров сходится по норме к линейному оператору A, то оператор A является
вполне непрерывным оператором.
5. Если линейные операторы
вполне непрерывны, то оператор
также является вполне непрерывным линейным оператором.
6. Линейный оператор
является вполне непрерывным тогда и
только тогда, когда сопряженный линейный оператор является вполне непрерывным.
3.3. Примеры линейных вполне непрерывных операторов
в пространствах последовательностей
Пример 3.6. В пространстве
:
где
, определенный формулой
Ax y y y y a x k
, ,...
,
a
1 2
- бесконечная матрица, для которой числовой
рассмотрим линейный оператор
k kj j
1
j
,
ряд
1 1
k j
является сходящимся. Оператор такого вида называется
матричным оператором Гильберта - Шмидта.
Покажем, что оператор является вполне непрерывным. В
x x x имеет вид
1 2
раниченным, так как
Далее, обозначим через
, ,...
дого оператора
в вектор
конечномерна, следовательно, каждый оператор
x x
при
n n
2
. Во-первых, оператор является ог-
1kk
:
n
, ,..., ,0,0,...
x
, где
k j
оператор, переводящий вектор
. Область значений каж-
1 1
2
kj
норма
.
вполне непрерывен (свойство 3 вполне непрерывного оператора). Так как
A A a
n kj
2
1 1
k n j
2
при
, то последовательность
вполне
непрерывных операторов сходится по норме к оператору A, что означает
компактность линейного оператора A.
Пример 3.7. Рассмотрим линейный оператор
x x x
формулой
Ax y x
1
2 3
2 3
n
, где
n
x x x l x x
, ,... ,
1 2 1
:
, определенный
k
k
1
.
46
x
21k
x
1
x l
2
x l
2
l
, ,...
1/ 2
2 2 2
Ax y y x x x
2
6
6 6
1
1 2
A l l
1 2
A l l
1 2 1
x x x l
1 2
A x x l
n
A
n
A
0
n
0
n
A
,
C a b
, , ,
Ax t y t K t s x s ds x x t C a b
,
K t s
, ,
D a b a b
max ,
M K t s
,
C a b
1
1
1
Ax t K t s x s ds K t s x s ds M ds M b a
Покажем, что данный оператор является компактным оператором. За-
метим сначала, что из сходимости ряда
, т.е. если
k
x x
1kk
2
.
, то
. В
норма элемента
следует сходимость ряда
1kk
x x x имеет вид
1 2
Согласно неравенству Коши - Буняковского имеем
где
:
1
k
2
k
1
ограничен.
2 2 2
k k k
1 1 1 1 1
k k k k k
. Таким образом,
2
x
k
k k k
1 1
2 2
Ax x
при
x
2
6
, т.е. оператор
,
Обозначим через
, ,...
в элемент
каждого оператора
конечномерна, следовательно, каждый оператор
:
n
n
оператор, переводящий элемент
x x
2
, ,..., ,0,0,...
2
n
. Область значений
n
вполне непрерывен (утверждение 3 предыдущего вопроса). Так как
2
x
k
k
1
при
(как остаток сходящегося ряда), то
вполне непрерывных операто-
A x Ax
n
A A
n
2
k n
, т. е. последовательность
ров сходится по норме к оператору A, что означает компактность оператора A.
3.4. Примеры линейных вполне непрерывных
интегральных операторов
Пример 3.8. В пространстве
рассмотрим линейный интеграль-
ный оператор Фредгольма
b
где функция (ядро)
a
непрерывна в квадрате
. Пусть
,
. Возьмем в
D
Покажем сначала, что множество
единичный шар
A S [образ шара
0
S .
0
тате действия оператора] равномерно ограничено:
b b b
max , max , max
, , ,
t a b t a b t a b
a a a
S в резуль-
0
.
47
1
1
y t y t K t s x s K t s x s ds K t s K t s x s ds
y t y t K t s K t s ds x t ds b a K t s K t s ds
,
K t s
0
0
, ,
t t a b
,
s a b
2
1
1
,LC a b
x x t dt
Ax t K t s x s ds
, ,
a b a b
,
K t s
0,1
0,1
Ax t x s ds
1 0,1 : max 1
1
max max max max 1
Докажем теперь равностепенную непрерывность функций из множе-
ства
любого числа
зывает равномерную непрерывность функций из множества
A S . Для любой функции
0
b b
1 2 1 2 1 2
b
, , .
K t s K t s x s ds
1 2
a
Согласно неравенству Коши - Буняковского получаем
1 2 1 2 1 2
Так как функция
и любого
1 2
, ,K t s K t s
1 2
В результате по теореме Арцела множество
a a
b b b
2 2 2 2
a a a
, , , ,
, , , ,
равномерно непрерывна в квадрате D, то для
найдется число
из неравенства
. Тогда при этом
y y t A S имеем
y t y t b a
1 2
0
такое, что для любых
t t
следует
1 2
, что и дока-
2
A S функций являет-
0
2
A S .
0
.
ся компактным, что означает компактность интегрального оператора
Фредгольма.
Пример 3.9. В пространстве
b
том (норма
b
a
Аналогично, как в примере 3.8, показывается, что данный оператор является компактным оператором.
Пример 3.10. В пространстве
рассмотрим линейный интегральный оператор
жем, что данный оператор является вполне непрерывным. Рассмотрим
замкнутый единичный шар
a
,
2
) рассмотрим линейный интегральный оператор
с непрерывным в квадрате
C функций непрерывных на отрезке
S x C x x t
0
функций непрерывных с квадра-
ядром
t
0,1
t
0
. Пока-
. Покажем
.
сначала, что множество
t t t
Ax t x s ds x s ds x ds x t x
0,1 0,1 0,1 0,1
t t t t
0 0 0
A S равномерно ограничено:
0
.
48
1
1
, 0,1
1 2
t t
1 2 2 1 1 2
y t y t x s ds x s ds x s ds x s ds t t t t
0
, 0,1
1
1
0,1
0,1
Ax t x s ds
1 0,1 : max 1
2
u s
Ax t du
1
max max max max max 1
Ax t du dsu x u t
1
1
, 0,1
du
u u u u u
2 1 2 1 1 2
t t t t t t
0
, 0,1
1
1
Докажем, что множество
но. Для любой функции
ленности
Тогда для любого числа
любых
что доказывает равномерную непрерывность функций из множества
A S .
ся компактным, что означает компактность интегрального оператора A.
кажем, что данный оператор является вполне непрерывным. Рассмотрим
t t из неравенства
1 2
0
В результате, по теореме Арцела множество
Пример 3.11. В пространстве
рассмотрим линейный интегральный оператор
) имеем
t t t t
1 2 2 2
0 0
y y t A S и любых
A S функций равностепенно непрерыв-
0
0
t t
1 1
найдется число
t t
1 2
C функций непрерывных на отрезке
1
следует
t t (для опреде-
1 2
.
такое, что для
y t y t t t
1 2 1 2
A S функций являет-
0
t
0
2
. По-
,
замкнутый единичный шар
переменной
Покажем, что множество
Докажем, что множество
но. Для любой функции
y t y t du du du du x
1 2
2
t
2
du
2
2
t
1
Тогда для любого числа
0,1 0,1 0,1 0,1 0,1
t t t t t
2 2
u
данный оператор примет вид
2 2 2
t t t
x u
2 2 2
u u u
0 0 0
2 2 2 2 2
t t t t t
1 2 2 2 2
x u x u x u
2 2 2 2 2
0 0
y y t A S и любых
S x C x x t
0
A S равномерно ограничено:
0
x u
A S функций равностепенно непрерыв-
0
0
t
du
1
t t имеем
1 2
0,1
t
2
0
x u
2
u
x u
2 2 2
t t t
1 1 1
.
найдется число
. Заменой
.
2
u t
0
u
такое, что для
.
любых
что доказывает равномерную непрерывность функций из
ся компактным, что означает компактность интегрального оператора A.
t t из неравенства
1 2
В результате по теореме Арцела множество
t t
1 2
следует
y t y t t t
1 2 1 2
A S функций являет-
0
A S .
0
,
49
0,1
Ax t x s ds
u s
Ax t ux u du
,
X Y
y y y Y
*
f f f X
f X Y
1,2,...,
k n
P X Y
P x f x y x X
P x f x y f x y f y x c x
c f y const
y y y Y
*
f f f X
P x
x X
y y y Y
n
P
0,1
0 1
Ax t x tx
1
1 0,1 : max 1
max 0 1 0 1 max 2
1
1
, 0,1
Пример 3.12. В пространстве
t
гральный оператор
оператор приводится к виду
зывается, что данный оператор является вполне непрерывным.
3.5. Другие примеры линейных вполне непрерывных операторов
Пример 3.13. Пусть даны два линейных нормированных пространства
. Зафиксируем произвольные элементы
ограниченые (непрерывные) функционалы
( :
k
деленный равенством
Данный оператор называется конечномерным линейным оператором.
Покажем, что он является компактным оператором. Во-первых, он является ограниченным (а значит, и непрерывным):
n k k k k k k
где
,
n n n
1 1 1
k k k
n
k k
1
k
0
). Рассмотрим линейный оператор :
n k k
(элементы
C рассмотрим линейный инте-
. Заменой переменной
t
2
0
n
1
k
, ,...,
1 2
. Как и в примере 3.11, пока-
, ,...,
1 2
,
n
.
и линейные ограничен-
n
данный
и линейные
, , ...,
1 2
n
,
n
, опре-
ные функционалы
Далее, так как образ
нейная комбинация векторов
конечномерна. Тогда оператор является вполне непрерывным линейным
оператором.
Пример 3.14. В пространстве
, ,...,
1 2
зафиксированы).
n
любого элемента
n
, ,...,
1 2
, то область значений оператора
n
C рассмотрим линейный оператор
есть конечная ли-
. Покажем, что данный оператор является вполне
непрерывным. Во-первых, множество
так как для каждой функции
выполняется
Во-вторых, множество
так как для любой функции
1 2 1 2 1 2 1 2
Ax t x tx x x t x x
0 1 0 1 1y t y t x t x x t x x t t t t
0,1 0,1
t t
A S функций равностепенно непрерывно,
0
y y t A S и любых
A S равномерно ограничено,
0
x S x C x x t
0
0
t t имеем
1 2
t
0,1
.
.
50
1
: 0,1 0,1
Ax t t x t
1
1 0,1 : max max 1
max ln 1 max ln 1 max ln2 ln2.
1
1
, 0,1
0,1
, 0,1
, 0,1
ln 1 , 0,1
, 0,1
1
: 0,1 0,1
dx t
dt
1
1
1 0,1 : 1
1
1
0,1
В результате по теореме Арцела множество
ся компактным, что означает компактность оператора A.
Пример 3.15. Рассмотрим линейный оператор
ln 1
. Покажем, что данный оператор является вполне не-
прерывным. Во-первых, множество
как для каждой функции
выполняется
Ax t t x t t x t x
но. Для любой функции
y t y t t x t t x t
0,1 0,1 0,1
t t t
Покажем, что множество
1 2 1 1 2 2
ln 1 ln 1 ln 1 ln 1
ln 1 ln 1 ln 1 ln 1
t x t t x t t x t t x t
1 1 1 2 2 2 1 2
t x t x t x t t t t x t x t
1 1 2 2 2 1 1 1 2
ln 1 ln 1
x S x C x x t x t
y y t A S и любых
0
A S функций равностепенно непрерыв-
A S равномерно ограничено, так
0
1
0
0
A S функций являет-
0
A C C ,
0,1 0,1
t t
t t имеем
1 2
1
x t t t
g t C , то при всех
Так как функции
y t y t t x t x t x t t t
ln2 1 ln2 .
ся компактным, что означает компактность оператора A.
A C C ,
вполне непрерывным. Для любой функции
A S единичного шара
ln 1 ln 1 .
2 2 1
Воспользуемся формулой конечных приращений. Если функция
1
t x t C , то при всех
1 2 1 1 2 2 2 1
x t t t t t t
1
В результате по теореме Арцела множество
Пример 3.16. Рассмотрим линейный оператор дифференцирования
2
0
ln 1 ln 1 ln 1
1
1 2 1 2 1 2
1
1
Ax t
t t
1 2
1
g t g t g t t
.
1 2 1 2
. Покажем, что данный оператор является
y t x t A S
из образа
2
x S x C x
0
t t
1 2
A S функций являет-
0
2
0
имеем
y t x t x
множества
так как функция
A S .
0
Далее, по формуле конечных приращений (которую можно применять,
, что означает равномерную ограниченность функций
2
x x t C , т.е. является дважды непрерывно-
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]