Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы физики твёрдого тела. Учебное пособие
.pdf
становится отличной от нуля – в металле возникает элек-
−e
ε
F
−e
ε
..
Fr
me
т
ε
= 0
mr
ve
трический ток. Согласно закону Ома, дрейфовая скорость
является конечной и пропорциональна силе
.
Согласно механике, это возможно только в том случае,
если кроме внешней силы
, на тело действует сила сопро-
тивления среды, пропорциональная скорости.
Отсюда следует, что, кроме силы
на электроны
проводимости в металле действует сила «трения», среднее
значение которой равно
тр др
v
(94)
(r – коэффициент пропорциональности).
В этом случае уравнение движения для «среднего» элек-
трона имеет вид
где
dv
*
dt
*
- эффективная масса электрона.
, (95)
rv
.дрдр
.
Уравнение (95) позволяет найти установившееся значе-
v
ние
.
.др
Для этого найдём закон убывания дрейфовой скорости
после выключения внешнего поля. Положив в (95)
получим
dv
.
*
dt
(96)
v
.дрдр
Решение (96) имеет вид
r
где
vt
др др
..
v
- значение дрейфовой скорости в момент вы-
.0др
0
t
*
m
, (97)
ключения поля.
Из (97) следует, что за время
,
101
*
..
Fv
τ
−e
ε
еv
m
m
=⋅
**
τ
т
(98)
r
значение дрейфовой скорости уменьшается в е раз. Таким
образом, величина (98) представляет собой время релаксации. С учётом (98) получим
тр др
*
m
(99)
Установившееся значение дрейфовой скорости найдём,
приравняв нулю сумму силы
т
ε
отсюда
v
.*др
τ
и силы трения (99):
*
,
0
др
.
е
ετ
. (100)
т
Отношение скорости дрейфа к напряжённости называют подвижностью носителей:
Для электронов
U
Un< 0
v
, для дырок
е
τ
.*др
ε
. (101)
т
Up> 0
.
Установившееся значение плотности тока получим, умножив значение
v
(100) на заряд электрона – е и плот-
.др
ность электронов п:
e
j
ετ τ
=− −
()
en
ne
2
ε
. (102)
Мы получили закон Ома с учётом квантово-механической трактовки движения электронов проводимости в металле.
102
Коэффициент пропорциональности в (102) представля-
m
mv22
λν
⋅
FF
ет собой удельную электропроводность σ:
2
τ
ne
σ
=
. (103)
*
Классическая теория даёт для электропроводности металлов следующее соотношение:
λ
ne
σ
=
. (104)
Нетрудно видеть, что внешне (103) и (104) похожи, однако содержание этих формул различно.
1. В формуле (104) v представляет собой среднюю ско-
рость теплового движения, которая пропорциональна
T
В формуле (103)
τ
где
λ
– длина свободного пробега электронов, обладаю-
F
=
, (105)
v
F
щих энергией Ферми;
v
– их скорость;
F
ν
– число столкновений, в результате которых расса-
F
сывается скорость в заданном направлении.
Это означает, что в вырожденном газе в формировании
электропроводности могут участвовать не все свободные
электроны, а лишь те из них, которые располагаются непосредственно около уровня Ферми.
Действительно, при отсутствии внешнего поля состояние электронного газа в проводнике описывается симметричной относительно оси ординат функцией Ферми-Дирака (рис. 33). Из рис. 33 видно, что все квантовые состояния,
расположенные левее
v
, заняты электронами. Поэтому при
F
.
103
включении поля
ε
11
′
a
λ
≠ a
()
fT
оно может воздействовать лишь на электроны, расположенные около уровня Ферми, переводя их на
более высокие свободные уровни путём переброски из левой
области распределения в правую, как показано стрелкой
Рис. 33
2. Самое существенное различие между (103) и (104)
в том, какой смысл вкладывается в длину свободного пробега λ классической и квантовой теориями металлов.
Классическая теория, рассматривающая свободные
электроны как молекулы электронного газа, причину сопротивления металлов видит в непрерывном столкновении
электронов с узлами решётки. Полагая, что электроны сталкиваются почти со всеми узлами решётки, встречающимися
на их пути, классическая теория принимает
λ
, где а –
=
параметр решётки.
Квантовая теория рассматривает электрон как частицу,
обладающую волновыми свойствами, а движение электронов проводимости через металл как процесс распространения электронных волн, рассеивающихся на фононах, атомах
примеси и других дефектах решётки. Поэтому
, а мно-
го больше.
σ
Рассмотрим зависимость
=
. Из (101) и (102)
следует:
σ
= enU
. (106)
n
.
104
Так как металлы являются вырожденными проводника-
()
fT
()
T >
ϑ
T
()
()
()
,,
~ T
ρ
~ T
Tf
()
()
fT
ми, то концентрация электронного газа в них от температу-
σ
ры практически не зависит. Поэтому
=
полностью
определяется температурной зависимостью подвижности
электронов.
1) С ростом Т растёт число фононов и их энергия.
Теперь уже при одном столкновении
ν
=
1
F
электрон
теряет скорость направленного движения. При
(ϑ - температура Дебая) число фононов линейно растёт
с температурой, значит, линейно растёт число столкно-
вений с фононами, и, следовательно,
efTm fT vfT
≠
*
≠
≠
D
. Тогда
σ
1
~
F
−1
. При этом
, т. е.
λ
что совпадает с опытом.
2) При
ϑλ
T<< ≠
, так как при низкой температуре фононный газ очень разряжен и электроны проходят
весь путь без столкновений. Наличие сопротивления в этом
случае объясняется рассеянием электронов на примесях
и других дефектах.
σ
Зависимость
=
приведена на рис. 34.
,
~ T
const
5
Рис. 34
105
1
~ T
Т
23. СОБСТВЕННАЯ ПРОВОДИМОСТЬ
np
ii
=+
()
UU
mv
2
σσ
ПОЛУПРОВОДНИКОВ
Полупроводники высокой степени очистки в области не
слишком низких температур обладают электрической проводимостью, обусловленной наличием в них собственных
носителей тока – электронов и дырок. Эту проводимость называют собственной проводимостью полупроводника.
Так как
=
, то полная проводимость собственного
полупроводника
σσ σ
=+
np in p
en
. (107)
Концентрация электронов и дырок в собственном полупроводнике определяется соотношением
3
2
E
π
mm kT
2
n
=
2
i
np
2
h
⋅
g
−
2
kT
e
⋅
. (108)
Поскольку электронный газ в собственном полупроводнике является невырожденным, то подвижность равна
e
U
λ
=
n
. (109)
Подставив (108) и (109) в (107), получим
E
g
−
kT
где через
σσ
=⋅
σ
обозначено выражение, стоящее перед экспо-
0
2
e
0
, (110)
нентой.
Из последнего соотношения видно, что при
T →∞ →
. Следовательно, если бы закономерность
0
(110) оправдывалась при сколь угодно высоких температу-
106
рах, то
T →∞
()
fT
=−
2EkT
ln ln
σσ
−
водника при
σ
выражало бы удельную проводимость полупро-
0
Зависимость
.
σ
=
удобно представить в полулогарифмических координатах. Логарифмируя (110), будем
иметь
ln ln
σσ
g
0
. (111)
Из рис. 35 следует
tg
α
0
=
1
=
E
.
g
2kT
ln
ln
0
ln
1
0
Рис. 35
2kT
Строя такой график, можно определить ширину запрещённой зоны. В заключение отметим, что между полупроводниками и металлами существует принципиальное различие. В то время как в металлах, в которых электронный
газ является вырожденным, концентрация носителей заряда практически не зависит от температуры и температурная зависимость их проводимости целиком определяется
температурной зависимостью подвижности носителей,
107
в полупроводниках, наоборот, газ носителей является невырожденным и его концентрация весьма резко зависит от
температуры, вследствие чего температурная зависимость
их проводимости практически полностью определяется
температурной зависимостью концентрации носителей.
При данной температуре концентрация носителей тока
и проводимость собственных полупроводников определяется шириной их запрещённой зоны.
108
24. ПРИМЕСНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ
()
v
vT
ПОЛУПРОВОДНИКОВ
Температурная зависимость электропроводности невырожденных примесных полупроводников, как и собственных, определяется в основном температурной зависимостью концентрации носителей.
На рис. 36 приведена схематическая кривая зависимо-
lnσT
сти
для примесного полупроводника. На этой кри-
вой можно выделить три характерных области: ab, bc, cd.
n
d
c b
i
i
i
n
a
0
1
T
i
Рис. 36
Область ab соответствует низким температурам, а значит, примесной проводимости и простирается вверх до температуры Тs истощения примеси. Концентрация носителей
в этой области определяется формулой
2
2
nN e
Д
а подвижность может быть найдена по соотношению
νλ
U
~~~
Подставив (112) и (113) в (107), получим
109
1
T
mkT
n
2
h
3
1
s
3
E
2
2
3
2
. (113)
T
Д
kT
, (112)
σσ
ΠΠ
=⋅
−
5
kT
2
Еk
σ
где
- коэффициент, слабо зависящий от температуры.
ΠΟ
Логарифмируя (114), находим
ln ln
Е
Д
kT
2
е
Ο
, (114)
E
Д
. (115)
2
kT
Из (115) следует:
tg /2
Д
. Померив
α
, можно
Π
найти энергию активации примеси.
Область bc простирается от температуры истощения при-
меси Тs до температуры перехода к собственной проводимости Тi. В этой области все примесные атомы ионизированы,
но ещё не происходит заметного возбуждения собственных
носителей, вследствие чего концентрация носителей сохраняется приблизительно постоянной и равной концентрации
примеси n = NД. Поэтому температурная зависимость проводимости полупроводника в этой области определяется температурной зависимостью подвижности носителей. Если основным механизмом рассеяния носителей в рассматриваемой
области является рассеяние на тепловых колебаниях решётки,
для которого характерно уменьшение подвижности с ростом
температуры, то проводимость на этом участке будет падать
(см. рис. 36). Если же основным механизмом окажется рассеяние на ионизированных атомах примеси, то проводимость
в области bc будет увеличиваться с ростом температуры.
Область cd соответствует переходу к собственной проводимости полупроводника.
Термосопротивления (термисторы). Резкая зависимость сопротивления полупроводников от температуры используется в термисторах.
Они используются для измерения температуры, мощности электромагнитного излучения и т. д. Микротермисторы
применяются для изучения процессов теплообмена в растениях и живых организмах.
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]