Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы физики твёрдого тела. Учебное пособие
.pdf
Температура
шi
EE
()
Д
, (20)
k
(k – постоянная Больцмана) называется характеристической температурой Дебая.
При ней в твёрдом теле возбуждается весь спектр нормальных колебаний, включая и колебание с максимальной
частотой
ωД . Поэтому дальнейшее повышение температуры
(выше Q) не может вызывать появление новых нормальных
колебаний. Действие температуры в этом случае сводится
лишь к увеличению степени возбуждения каждого нормального колебания, приводящего к возрастанию их средней энергии.
Понятие о фононах. Можно показать, что энергия нормального колебания решётки равна энергии осциллятора,
имеющего массу, равную массе колеблющихся атомов, и колеблющегося с частотой, равной частоте нормального колебания. Такие осцилляторы называются нормальными. Тогда
полная энергия кристалла Е
, в котором возбуждены все
реш.
3N нормальных колебаний, равна
3
N
.
ре
1
,
но
где
E
i
но
об определении средней энергии кристалла сводится к более простой задаче об определении средней энергии нормальных осцилляторов.
Напомним: энергия квантового осциллятора определяется соотношением:
где ω – частота колебаний осциллятора;
п – квантовое число.
- энергия i-го нормального осциллятора, и задача
1
En n
=+
n
ω
2
31
=
012
,, ,...
, (21)
На рис. 11 показан энергетический спектр линейного
ω
гармонического осциллятора. Он состоит из совокупности
дискретных уровней, отстоящих друг от друга на расстоянии, равном
Так как энергия нормального колебания Е
.
н.к.
= Е
н.о.
, то
энергия нормальных колебаний решётки должна определяться выражением (21), а их энергетический спектр должен совпадать со спектром, показанным на рис. 11.
Рис. 11
Минимальная порция энергии, которую может поглотить или испустить решётка при тепловых колебаниях,
соответствует переходу возбуждаемого нормального колебания с данного энергетического уровня на близлежащий
соседний уровень и равна
εФ = . (22)
Эту порцию, или квант энергии, тепловых колебаний
решётки называют фононом.
Для пояснения приведём следующую аналогию. Полость абсолютно чёрного тела заполнена равновесным
тепловым излучением. С квантовой точки зрения это излучение трактуется как газ, образованный квантами света –
фотонами.
32
Точно так же поле упругих волн, заполняющих кристалл,
1
можно трактовать как газ, образованный квантами нормальных колебаний решётки – фононами, обладающими энергией
2
εФ = и импульсом
волновое числоpkk
Отсюда, нагретый кристалл можно уподобить ящику,
заполненному фононным газом.
Фонон во многих отношениях ведёт себя так, как если
бы он был частицей. Однако в отличие от обычных частиц
фонон не может возникнуть в вакууме – для своего воз-
никновения и существования фонон нуждается в некоторой
среде. Таким образом, фонон является квазичастицей.
Фононы описываются функцией распределения БозеЭйнштейна
fE
=
()
, (23)
ω
kT
1
e
−
которая выражает среднее число фононов, обладающих
энергией εФ = .
График функции представлен на рис.12 а.
.
Рис. 12
33
В зависимости от степени возбуждения нормального
ωkT
ω> kT
34
42
==
4
kT
T <Θ
ω≈ kT
fE
()
ω
Ee
колебания оно может «испускать» то или иное число одинаковых фононов. Так, при данной температуре Т в решётке возбуждаются все нормальные колебания вплоть до колебаний с энергией
; колебания с более высокими
частотами, которым отвечают кванты энергий
практически почти не возбуждаются. Это наглядно видно
из рис.12б. Горизонтальными чёрточками здесь изображены
энергетические спектры нормальных колебаний, имеющие
,
частоты
kT kT kT kT
ωωωω
==
12
,,,
2
; пунктиром
показан уровень, отвечающий энергии kT. Из рис. 12 б следует, что при данной температуре Т колебание с частотой
ω, возбуждено примерно до 4-го уровня. Это означает, что
такое нормальное колебание «порождает» в среднем четыре
ω
одинаковых фонона с энергией
3
ω
возбуждено примерно до 2-го
2
= kT
- до 1-го уровня; колебание же
ное колебание с частотой
уровня; с частотой
с частотой
кой энергии
ω
4
ω
требует для своего возбуждения столь высо-
ω
, что при температуре Т оно возбуждается
4
=
1
каждый. Нормаль-
лишь очень слабо. Ещё слабее возбуждаются более высокие частоты. Поэтому приближённо можно считать, что при
данной температуре
в твёрдом теле возбуждаются
нормальные колебания вплоть до частоты ω, которой соответствует энергия
.
Как отмечено выше, функция распределения
выражает среднее число фононов, обладающих энергией
εФ =
энергию
. Поэтому, умножая (23) на
E
возбуждённого нормального колебания, име-
.нк
, получим среднюю
ющего частоту ω:
kT
нк
. (24)
34
5. ТЕПЛОЁМКОСТЬ ТВЁРДОГО ТЕЛА
d
ω
gd
ωω
()
d
ω
gd
CT
()
T >Θ
Тепловая энергия твёрдого тела Е
складывается из
реш.
энергии нормальных колебаний решётки. Число нормальных
колебаний, приходящихся на спектральный участок
но
E
нормального колебания (24), получим суммарную энер-
.нк
(15). Умножая это число на среднюю энергию
гию нормальных колебаний, заключённых в интервале
dE Eg dω
...решнк
.
, рав-
:
Проинтегрировав это выражение по всему спектру нормальных колебаний, т. е. в пределах от 0 до ωД, получим
энергию тепловых колебаний решётки твёрдого тела:
Д
ЕЕ
Теплоёмкость
...
решнк
0
C
твёрдого тела при постоянном объ-
V
. (25)
ёме выражает изменение тепловой энергии при изменении
температуры тела на
Е
по Т:
реш.
и находится дифференцированием
1C
dE
.реш
CdT
V
. (26)
Ограничимся качественным рассмотрением зависимости
для двух областей температур: для области тем-
V
ператур Т, значительно меньших температуры Дебая Q,
Т
,
которую называют областью низких температур, и для области температур выше температуры Дебая
,
которую называют областью высоких температур.
35
Область низких температур. В этой области возбуж-
ω< kT
kT
dd
~~
23
zT~
даются в основном низкочастотные нормальные колебания,
кванты энергии которых
. В этом случае приближённое значение средней энергии нормальных колебаний
можно определить, разлагая экспоненту в ряд и ограничиваясь вторым членом разложения. Тогда получим
ω
E
ωω
.нк
kT
11 1
≈++−
kT
ω
...=−
≈
kT
.
Следовательно, в области низких температур средняя
энергия каждого нормального колебания растёт пропорционально абсолютной температуре Т:
E
.нк
. (27)
~
Этот рост обусловлен тем, что с повышением температуры происходит увеличение степени возбуждения нормального колебания, которое и приводит к росту его средней энергии.
Помимо этого в области низких температур повышение
температуры вызывает возбуждение новых нормальных колебаний с более высокими частотами. Приближённое значение их z можно вычислить, используя (15). Считая, что при
температуре Т возбуждаются все нормальные колебания
ω
вплоть до частоты
≈
zg
=
ωω ωω
()
, найдём:
kTkT
∫∫
00
T
.
Как видно, с повышением температуры число возбуждённых нормальных колебаний растёт пропорционально
кубу абсолютной температуры Т:
3
. (28)
36
Таким образом, в области низких температур энер-
ЕT
гия кристалла с повышением температуры увеличивается
вследствие действия двух механизмов:
1) роста средней энергии
E
каждого нормального
.нк
колебания из-за повышения степени его возбуждения;
2) роста числа возбуждённых нормальных колебаний
решётки.
Первый механизм вызывает рост энергии, пропорциональный Т, второй – пропорциональный Т 3.
Поэтому в целом с повышением температуры энергия
растёт пропорционально Т 4:
Е
реш.
4
, (29)
~
а теплоёмкость – пропорционально Т 3:
C
~ Т 3. (30)
V
Соотношение (30) выражает закон Дебая, хорошо выполняющийся в области низких температур.
Область высоких температур. При температуре Дебая
возбуждаются все нормальные колебания решётки, и дальнейшее повышение температуры не может привести к увеличению их числа. Поэтому в области высоких температур
изменение энергии твёрдого тела может происходить только за счёт повышения степени возбуждения нормальных
колебаний, приводящего к увеличению их средней энергии
E
. Так как
.нк
~ Т, то и изменение энергии тела в целом
E
.нк
с ростом температуры должно происходить пропорционально Т:
, (31)
.~реш
а теплоёмкость не должна зависеть от Т:
dE
CdT
V
.реш
= const. (32)
37
Рис. 13
CT
()
Соотношение (32) выражает закон Дюлонга и Пти, хорошо оправдывающийся на опыте.
Между областями низких и высоких температур лежит
достаточно широкая область так называемых средних температур, в которой происходит постепенный переход от закона Дебая к закону Дюлонга и Пти. Это наиболее сложная для расчёта область температур. График зависимости
представлен на рис. 13. Теплоёмкость электронного
V
газа будет рассмотрена ниже.
38
6. ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ
()
35 10
,
;
′
m
a
a
Природа носителей тока в металлах. Для выяснения
природы носителей тока в металлах был поставлен ряд опытов. Прежде всего, отметим опыт Рикке. Он взял три цилиндра – два медных и один алюминиевый – с тщательно отшлифованными торцами. Через такой составной проводник
Cu-Al-Cu
непрерывно в течение года пропускался ток од-
ного и того же направления. За всё время через цилиндры
6
прошёл заряд, равный
⋅
Кл. Взвешивание показало,
что пропускание тока не оказало на вес цилиндров никакого влияния. При исследовании соприкасавшихся торцов под
микроскопом не было обнаружено проникновения одного
металла в другой. Отсюда следовало, что перенос заряда
в металлах осуществляется не атомами, а какими-то частицами, входящими в состав всех металлов. Такими частицами
могли быть открытые в 1897 г. Томсоном электроны.
Чтобы отождествить носители тока в металлах с элек-
тронами, нужно было определить знак и числовое значе-
e
ние удельного заряда носителей
. Опыты, поставленные
с этой целью, основывались на следующих соображениях.
Если в металлах имеются способные перемещаться заряженные частицы, то при торможении металлического проводника эти частицы должны некоторое время продолжать
двигаться по инерции, в результате чего в проводнике возникает импульс тока и будет перенесён некоторый заряд.
Пусть проводник движется вначале со скоростью
(рис. 14). Начнём тормозить его с ускорением
двигаться по инерции, носители тока относительно проводника приобретут ускорение –
но сообщить носителям в неподвижном проводнике, если
. Продолжая
. Такое же ускорение мож-
39
v
0
ma
e
()
ϕϕ
12
ma
eR
m
eR
ε
создать в нём электрическое поле напряжённости
=−
′
т. е. приложить к концам проводника разность потенциалов
2
ϕϕ ε
−= =−
12
de
1
2
ma
de
∫∫
′
e
1
=−
ma
e
,
′
где т и е’ – масса и заряд носителя;
ℓ – длина проводника.
v
a
0
Рис.14
В этом случае по проводнику потечёт ток силы
−
IR=
положительной, если ток течёт в направлении движения проводника). Следовательно, за время dt через каждое сечение
, где R – сопротивление проводника (I считается
,
проводника пройдёт заряд
Заряд, прошедший за время торможения, равен
(заряд положителен, если он переносится в направлении
движения проводника).
Таким образом, измерив
ходящий по цепи при торможении проводника, можно найти удельный заряд носителей.
0
q
=−
∫
v
0
dq Idt
m
dv
′
eR
,v
40
dt
=−′⋅
dv==−
′
mev
=′⋅
0
R
и R, а также заряд q, про-
0
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]