Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы физики твёрдого тела. Учебное пособие
.pdf
12. ЗАВИСИМОСТЬ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОНА
Ep
()
Ep
()
dx
+⋅
m
2
pk
2
2
π
/
2
π
k
m
2
ОТ ВОЛНОВОГО ВЕКТОРА
Выясним теперь, как зависит энергия Е электронов от
их импульса р внутри каждой зоны, т. е. вид кривых
Зависимость
называют законом дисперсии.
Рассмотрим сначала простейший случай движения совершенно свободного электрона вдоль оси Х, описываемого
следующим уравнением Шредингера:
2
d
где
m
2
ψ
22
E
p
E
=
0
ψ
=
, (48)
2
, (49)
так как свободный электрон обладает только кинетической
энергией.
Преобразуем (49). По формуле де Бройля
== =
, (50)
λλπ
.
где λ – длина электронной волны, а
Вектор
, по направлению совпадающий с направ-
k =
лением распространения электронной волны, называется
волновым вектором электрона. Подставляя (50) в (49), получим
E
. (51)
λ
2
2
k=
. (52)
61
Из (52) видно, что закон дисперсии для одномерного
==
=⋅
2m
UE
движения свободного электрона выражается квадратной параболой (рис. 21).
Рис. 21
Решением уравнения (48) является плоская бегущая
волна:
ψ
=⋅Ae
ikx
, (53)
где А – амплитуда волны.
Квадрат модуля волновой функции пропорционален вероятности обнаружения электрона в этой или иной области
пространства. Из (53) видно, что для свободного электрона эта вероятность не зависит от координаты электрона, так
как
2
ψψψ
2
*
. Это означает, что для свободного элек-
A
трона все точки пространства эквивалентны и вероятность
нахождения его в любой из них одинакова (см. рис. 21б).
А теперь вернёмся к обсуждению задачи о движении
свободного электрона (приближение слабой связи) в периодическом самосогласованном поле, создаваемым кристаллической решёткой. Уравнение Шредингера, учитывающее
это поле, имеет вид
2
−∇+⋅
2
ψψψ
62
, (54)
где U – функция, обладающая свойствами
()
()
()
()
ψ
()
Ur
()
()
Ux ayzUxyz
+
=
,, ,,
UxybzUxyz
Uxyz cUxyz
(a, b, c – периоды решётки вдоль осей x, y, z).
Блох доказал, что решение уравнения Шрёдингера с пе-
риодическим потенциалом имеет вид
где
ла, т. е. периодичность решётки. Решения (55) называются
функциями Блоха.
+
,, ,,
()
,, ,,
()
– функция, имеющая периодичность потенциа-
k
=
+
=
ikr
Ure=
kk
, (55)
⋅
Зависимость
Из него видно, что изображённые сплошными линиями
зоны квазинепрерывно изменяющейся энергии (разрешённые зоны) чередуются с запрещёнными зонами. При этом
каждая зона состоит из близкорасположенных дискретных
уровней. Область k-пространства, внутри которой энергия
электрона в кристалле изменяется квазинепрерывно, называется зоной Бриллюэна. На границе зон энергия терпит
Рис. 22
Ek
имеет вид, показанный на рис. 22.
63
разрыв. Рис. 22 изображает зоны Бриллюэна в случае одномерного кристалла.
Таким образом, и исходя из приближения сильной связи, и исходя из приближения слабой связи электронов в атомах, мы получили согласующийся результат: энергетический спектр электронов в кристалле должен носить зонный
характер.
64
13. ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОНОВ В ЗОНЕ
Fe
e
m
m
m
22
22 2
pk=
()
d
dk
Ev
dE
dkkm
33
== ==
−
ω
;, :
7=0G8B
1
dE
dkkm
dk m
22
РАЗРЕШЁННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЭНЕРГИЙ
Движение свободного электрона под действием электрического поля. Исследование динамики электронов раз-
решённой зоны начнём с простейшего случая движения
свободного электрона под действием электрического поля
2
напряжённости
=−
ε
. В соответствии со вторым законом Ньютона он
приобретает ускорение
ε
. Это поле действует на электрон с
a
=−
ε
. Энергия электрона, кото-
рый движется со скоростью
E
= = =
v
22
mv p
3
(групповая скорость)
3
k
, (56)
где p – импульс электрона, связанный с волновым числом k
соотношением
Графически
Ek
выражается параболой. Найдём груп-
.
повую скорость электрона:
v
Из (56) найдём
ω
2
dE
2
m
значит:
2
=
, откуда масса электрона
2
=
dE dk
/
−1
. (57)
. (58)
Движение электрона в разрешённой зоне кристалла.
Эффективная масса. Рассмотрим теперь движение элек-
трона в зоне разрешённых значений энергии под действием
внешнего электрического поля. В этом случае на электрон
будут действовать внешняя сила и внутренние силы, которые
обусловлены периодическим полем кристалла. По этой при-
65
чине движение электрона в кристалле будет более сложным,
dt
Vg
6
−⋅ ⋅
ρ
m
m
тт
ρρ
чем движение свободного электрона. Чтобы описывать движение электрона в зоне как свободное движение заряженной
частицы, без учёта в уравнениях движения периодического
поля кристалла, вводится понятие эффективной массы.
Проиллюстрируем приём введения эффективной массы
на следующем примере. Пусть в поле силы тяжести движется тело, помещённое в идеальную, невязкую жидкость.
Упрощая сложную картину, возникающую при этом движении, мы можем записать уравнение движения тела массой
m
в виде
0
m
ds
0
2
mg
=⋅
2
0
ρж ∙ g , (59)
где первый член правой части представляет силу тяжести (s – путь), а второй – силу Архимеда (V – объём тела,
ρж - плотность жидкости).
С целью упрощения этого уравнения мы можем исключить из него архимедову силу, приняв, что масса тела
имеет значение, отличное от
m
. Назовём
0
*
эффективной
*
массой. Действительно, уравнение (59) можно записать
в виде
2
ds m
mmggmg
1
mmg
где: .
00 0
2
dt
mds
ρ
ds
*
dt
2
0
dt
ж
ρ
т
2
2
*
m
2
0
0
ρ
mg
(ρт– плотность тела), или
0
,
m
0
ρ
ж
1
ρ
т
ж
66
ρ
ж
1
, или
(60)
Из (60) видно, что введённая таким образом эффектив-
m
()
dE dk*/
22
()
()
()
ная масса
по величине, но и по знаку. Действительно, при ρ
*
может отличаться от истинной массы не только
эф-
>
ж
фективная масса будет отрицательной. Физический смысл
этого результата ясен: вследствие того, что подъёмная сила
*
Архимеда, учитываемая эффективной массой
m
, превышает в этом случае силу тяжести, направление ускорения тела
противоположно направлению единственной силы, фигурирующей в упрощённом уравнении – силы тяжести.
Вернёмся теперь к движению электрона в зоне разре-
шённых значений энергии. В зависимости
Ek
включено
уже периодическое поле кристалла. Поэтому эффективную
массу электрона можно определить аналогично массе свободного электрона (58), т. е.
2
m
=
. (61)
Приписывая электрону эффективную массу, мы можем
рассматривать его движение во внешнем поле так, как описывается движение свободного электрона. Однако это движение, как будет показано ниже, не совпадает с движением
свободного электрона. Поэтому электрон в твёрдом теле –
это квазичастица с отрицательным зарядом и массой, опре-
деляемой из (61). Таким образом, зная зависимость
Ek
квазиэлектрона (в дальнейшем будем говорить об электроне для упрощения, понимая, что это квазиэлектрон), можно
определить эффективную массу и его динамику под действием внешних воздействий.
Расчёт зависимости
Ek
для конкретных кристаллических структур представляет значительные трудности. Отметим некоторые особенности в зависимости
Ek
, которые
характерны для всех кристаллов.
67
1. В области, близкой к
k = 0
()
k = 0
π
π
k = 0
()
()
Ek
практически выражается параболой, при
вогнутость.
, кривая зависимости
будет
2. В области, близкой к
максимума, так как
3. Между
На рис. 23, а показана зависимость
в кристаллической структуре. Пунктиром показана зависимость
гиба, В, В’ – границы первой зоны Бриллюэна.
Ek
для свободного электрона. А, А’ – точки пере-
vc= 0
и
. При
ka=±
ka=±
π
, кривая будет достигать
ka=±
должна быть точка перегиба.
будет выпуклость.
Ek
для электрона
Рис. 23
68
Чтобы показать характер изменения эффективной мас-
mk
()
k = 0
ε
Fe
()
dE
dk
dk
vk
()
F
m
F
*
сы
при
Приложим внешнее поле напряжённостью
трон действует сила
, рассмотрим электрон в первой зоне кристалла
.
. На элек-
=−
, которая его ускоряет, и он
ε
будет переходить на более высокие энергетические уровни.
По мере удаления от начала координат кривая
Ek
отходит
от параболы и в точке перегиба первая производная
2
стигает экстремума, а вторая производная
23 б изображена групповая скорость электрона
dE
2
0=
3
до-
. На рис.
. Групповая скорость электрона в точке перегиба достигает максимума, а эффективная масса обращается в бесконечность.
При переходе через точку перегиба А эффективная масса
меняет знак и становится отрицательной. Это означает, что
при увеличении k после точки перегиба скорость электрона
уменьшается и в точке В
v20=
. В точке В электрон испытывает отражение и появляется в точке В’. В интервале от В’
до А’ электрон ускоряется в направлении, противоположном
направлению действия силы
, и его скорость меняется от
0 до его максимального отрицательного значения, а эффек-
*
тивная масса от
-
до −∞. В точке перегиба А’ знак эффективной массы меняется с отрицательного на положительный
и в интервале от А’ до 0 электрон ускоряется в направлении
действия силы
, скорость при этом увеличивается до нуля,
а эффективная масса достигает положительного значения
*
. Таким образом, по мере увеличения энергии электрона
m
и перемещения его от дна зоны к её вершине эффективная
масса меняется не только по величине, но и по знаку.
69
14. ЗАПОЛНЕНИЕ ЗОН ЭЛЕКТРОНАМИ.
ПРОВОДНИКИ, ДИЭЛЕКТРИКИ
И ПОЛУПРОВОДНИКИ
Из предыдущего следует: каждая энергетическая зона
содержит ограниченное число энергетических уровней.
В соответствии с принципом Паули, на каждом уровне может разместиться не более двух электронов. При ограниченном числе электронов, содержащихся в твёрдом теле,
заполненными окажутся лишь несколько наиболее низких
энергетических зон.
По характеру заполнения зон электронами все тела можно разделить на две большие группы.
К первой группе относятся тела, у которых над целиком заполненными зонами располагается зона, заполненная
лишь частично (рис. 24а).
Рис. 24
Такая зона возникает в том случае, когда атомный уровень, из которого она образуется, заполнен в атоме неполностью, как это имеет место у щелочных металлов.
Частично заполненная зона может образоваться также
и вследствие наложения заполненных зон на пустые или
частично заполненные, как это имеет место у щелочно-земельных элементов (см. рис. 24б).
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]