Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы физики твёрдого тела. Учебное пособие
.pdf
m
= 0
= 1
= 2
()
()
nm
α
sz s
Рис. 15
(45)
=
Состояния, для которых орбитальное квантовое число
при любых значениях других квантовых чисел, называются s-состояниями; состояния с
р-состояниями, с
- d-состояниями, с - f-состояниями
называются
и т. д. Электроны, находящиеся в этих состояниях, называются соответственно s-, p-, d-, f- и т. д. электронами.
В отличие от атома водорода, энергия электрона в мно-
гоэлектронных атомах зависит не только от п, но и от :
En,
. В соответствии с тем, что п и могут принимать
лишь дискретные ряды значений, энергетический спектр
электронов в атомах является также дискретным: он со-
стоит из ряда разрешённых уровней
En,
, разделённых
областями запрещённых энергий. Эти уровни заполняются
электронами согласно принципу Паули: в одном и том же
атоме (или в какой-либо другой квантовой системе) не может быть двух электронов, обладающих одинаковой сово-
купностью четырёх квантовых чисел:
,,
m
и
.
s
51
В таблице приведена схема расположения первых трёх
m
= 1
m=− +10 1,,
−++
()
21012,,,,
групп этих уровней.
Таблица
Обозначение уровней в атоме
Все уровни s являются невырожденными. Это означает,
что каждому из них отвечает единственное состояние электрона в атоме. В соответствии с принципом Паули, в таком
состоянии могут находиться два электрона, отличающихся
друг от друга направлением своих спинов.
Уровни р являются трёхкратно вырожденными: каждому из них отвечает не одно, а три состояния, которые отличаются друг от друга магнитным квантовым числом
При
оно может принимать следующие три значения:
.
. На рис.16 показана форма электронных облаков, соответствующая этим состояниям. Так как в каждом
может находиться два электрона, то на уровне р могут разместиться 6 электронов.
Уровни d имеют пятикратное вырождение
m=−
+1, +2). На этом уровне может разместиться 10 электронов.
52
Рис.16
21
()
()
21
()
В общем случае уровень с орбитальным числом име-
+
ет
22 1 +
ся
При помещении свободного атома в сильное внешнее
поле вырождение уровней снимается: каждый из них расщепляется на
как показано в последнем столбце таблицы.
На различные уровни атома влияние внешнего поля не
одинаково. Уровни внутренних электронов, сильно взаимодействующих с ядром, испытывают настолько слабое расщепление, что им можно пренебречь; по мере же перехода
к всё более внешним электронам энергия взаимодействия
их с ядром уменьшается, и влияние внешнего поля увеличивается. Наиболее сильное изменение под влиянием поля
претерпевают уровни внешних валентных электронов, сравнительно слабо связанных с ядром.
-кратное вырождение и на нём может разместить электронов.
+
близко расположенных подуровней,
53
10. ОБОБЩЕСТВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
1223ssps,, ,
122ssp,,
ra>>
В КРИСТАЛЛЕ
В твёрдом теле расстояния между атомами настолько
малы, что каждый из них оказывается в достаточно сильном
поле соседних атомов. Для того чтобы проследить, какое
влияние оказывает это поле на энергетические уровни, рассмотрим идеализированный пример.
Расположим N атомов натрия в виде пространственной
решётки, свойственной кристаллу натрия, но на столь больших расстояниях друг от друга, чтобы взаимодействием
между ними можно было пренебречь. В этом случае энергетическое состояние электронов в каждом атоме можно
считать таким же, как и в отдельно взятом изолированном
атоме. На рис. 17а показана энергетическая диаграмма двух
таких атомов. Каждый из них изображён в виде веретенообразной потенциальной ямы, внутри которой проведены
уровни
. Уровни
у натрия укомплектованы полностью; уровень 3s – наполовину; уровни же,
расположенные выше 3s, свободны.
Из рис. 17а видно, что изолированные атомы отделены
друг от друга потенциальными барьерами толщиной
где а – постоянная решётки. Высота барьеров U для электронов, находящихся на разных уровнях, различна. Она равна
расстоянию от этих уровней до нулевого уровня.
В верхней части рис. 17а показана качественная картина распределения плотности вероятности
ρπψψ
= 42r
*
обнаружения электронов на данном расстоянии от ядра. Максимумы этих кривых соответствуют примерно положению
боровских орбит для этих электронов.
Теперь подвергнем решётку медленному однородному
сжатию. По мере сближения атомов взаимодействие между
ними растёт и на расстояниях, равных параметру решётки а, достигает значения, характерного для кристалла. На
,
54
Рис. 17
рис. 17б показана картина, соответствующая такому сближению. Из неё видно, что сближение атомов оказывает
двоякое действие на потенциальный барьер: оно уменьшает его толщину до значения порядка а и понижает высоту.
55
При этом для электронов 3s высота барьера оказывается
ниже первоначального положения уровня 3s в атоме натрия. Поэтому валентные электроны этого уровня получают
возможность практически беспрепятственно переходить от
одного атома к другому. Об этом свидетельствует и характер
электронных облаков валентных электронов, показанных на
верхней части рисунка: они перекрываются настолько сильно, что создают результирующее облако практически равномерной плотности (рис. 17б). Это соответствует состоянию
их полного обобществления в решётке. Такие обобществлённые электроны обычно называют свободными, а их со-
вокупность – электронным газом.
Вследствие резкого уменьшения толщины и высоты потенциального барьера при сближении атомов свободу перемещения по кристаллу получают и электроны, расположенные на других уровнях атомов. Их перемещение происходит
путём туннельного перехода сквозь барьеры, отделяющие
соседние атомы. Чем тоньше и ниже эти барьеры, тем полнее осуществляется обобществление электронов и тем более свободными они являются.
56
11. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР
ψψ
m
σ
U
ЭЛЕКТРОНОВ В КРИСТАЛЛЕ
Одна из основных задач теории твёрдого тела заключается в определении энергетического спектра электронов
в кристалле. Качественное представление об этом спектре
можно получить следующим образом. Движение электрона
в кристалле можно приближённо описать уравнением Шредингера:
∆
+−
EU
()
2
=20
, (46)
где U – потенциальная;
Е – полная энергия электрона;
т – его масса.
Если обобществлённые электроны сохраняют достаточно сильную связь с атомами, то их потенциальную энергию
можно представить в виде
где
=+
U
- потенциальная энергия электрона в изолированном
a
σ
a
, (47)
UU U
атоме. Для кристалла она является периодической функцией с периодом, равным параметру решётки, так как энергия электрона повторяется при переходе его от одного атома
к другому (рис. 18);
представляет собой поправочный член, учитываю-
щий влияние соседних атомов на эту энергию.
Рис.18
57
Если в (47) пренебречь поправочным членом
σ
U
ψ
()
ψ
()
aa
,,
n,
()
σ
U
21
()
21
()
10
рассматривать так называемое нулевое приближение, то
в качестве волновой функции и энергии электрона в кристал-
, т. е.
ле следует взять волновую функцию
электрона в изолированном атоме:
– главное и орбитальное квантовые числа, определяю-
щие энергию электрона в атоме.
Различие между кристаллом и отдельным атомом состоит в этом случае в следующем. В то время как в изоли-
рованном атоме данный энергетический уровень
является единственным, в кристалле, состоящем из N атомов, он повторяется N раз. Иначе говоря, каждый уровень
в кристалле оказывается N-кратно вырожденным. Такое вырождение называется перестановочным.
Учтём теперь поправочный член
энергии. По мере сближения изолированных атомов и образования из них решётки каждый атом попадает во всё
возрастающее поле своих соседей, с которыми он взаимодействует. Это поле приводит к снятию вырождения, в том
числе и перестановочного. Поэтому каждый энергетический уровень, не вырожденный в изолированном атоме, расщепляется на N близко расположенных друг от друга подуровней, образующих энергетическую зону.
Если энергетический уровень имел в атоме
-кратное вырождение, то соответствующая ему энергетическая зона будет состоять из
уровень s даёт зону S, состоящую из N подуровней и способную вместить 2N электронов; уровень р даёт зону Р, состоящую из 3N подуровней и способную вместить 6N электронов и т. д.
Расстояние между подуровнями в зоне кристалла обычных размеров очень мало. В кристалле размером 1 см3 со-
держится
22
атомов. При ширине зоны порядка 1 эВ рас-
N
и энергию
a
ψ
==
EEn
в потенциальной
подуровней. Так,
+
Ena,
, где
Ena,
+
58
стояние между подуровнями в ней равно примерно10
–22
эВ.
Это расстояние столь ничтожно, что зоны можно считать
практически непрерывными. Однако тот факт, что число
уровней в зоне является всё-таки конечным, играет важную
роль в определении характера распределения электронов по
состояниям.
Наибольшее влияние поле решётки оказывает на внешние валентные электроны атомов. Поэтому состояние этих
электронов в кристалле претерпевает наибольшее изменение, а энергетические зоны, образованные из энергетических уровней этих электронов, оказываются наиболее широкими.
Внутренние же электроны, сильно связанные с ядром,
испытывают лишь незначительное возмущение от соседних
атомов, вследствие чего их энергетические уровни в кристалле остаются практически столь же узкими, как и в изолированных атомах. На рис. 19 показана схематическая
картина образования энергетических зон в кристалле из
дискретных атомных уровней.
Рис. 19
Таким образом, каждому энергетическому уровню изолированного атома в кристалле соответствует зона разрешённых энергий. Эти зоны разделены областями запрещён-
59
ных энергий – запрещёнными зонами
E
. С увеличением
g
энергии электрона в атоме ширина разрешённых зон увеличивается, ширина запрещённых – уменьшается.
В качестве примера на рис. 20 приведены энергетические зоны лития и химических элементов, имеющих структуру алмаза (алмаз, кремний, германий). В кристалле лития
(см. рис. 20а) уровень 1s расщеплён слабо, уровень 2s –
сильнее. У элементов типа алмаза зоны, возникающие из
уровней s и р, перекрываясь, разделяются на две зоны так,
что в каждой из них содержится по четыре состояния на
атом: одно s-состояние и три р-состояния. Эти зоны разделены запрещённой зоной. Нижнюю разрешённую зону называют валентной, верхнюю – зоной проводимости.
Рис. 20
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]