Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.3. Развернутый конспект лекций
.pdf
81
kT
E
i
eNN
21
Шотки. Равновесное число дефектов Френкеля описывается
соотношением
Ni
, (8.15)
где N2 – число междоузельных позиций в исследуемом объеме.
Точечные дефекты образует также примесь внедрения и замещения. Дефекты основного вещества могут перемещаться,
такой процесс называется самодиффузией. Введение примеси
путем диффузии называется легированием, путем облучения
материала ионами – ионной имплантацией.
Вопросы для повторения
1. Какой физический смысл имеет функция распределения
Максвелла-Больцмана?
2. Выведите выражение для химического потенциала невыро-
жденного газа.
3. Дайте характеристику химическим видам связи атомов.
4. Какие виды физических связей вам известны?
5. Объясните, как образуются энергетические уровни молекул.
6. Что называется элементарной ячейкой кристаллической ре-
шетки, и какие кристаллические структуры вам знакомы?
7. В чём заключается явление полиморфизма?
8. Какие типы точечных дефектов кристаллической решетки
вам известны?
82
Рис. 9.1
Рис. 9.2
Лекция № 9
9.1 Дислокации
Дислокациями являются линейные и протяженные дефекты, они
делятся на краевые и винтовые. На
рис. 9.1 в качестве примера, показано расположение атомов, характерное для краевой дислокации. В данном случае искажение кристаллической решетки вызвано тем, что в
часть объема кристалла введена
лишняя атомная плоскость.
Для объяснения свойств винтовой
дислокации можно воспользоваться
моделью, изображенной на рис. 9.2.
Возьмем совершенный кристалл и
сделаем в нем тонкий разрез, затем
сдвинем материал по одну сторону
разреза вверх на несколько межатомных расстояний относительно
материала с другой стороны разреза.
Линия искажения, образованная
вдоль края разреза, называется винтовой дислокацией.
9.2 Колебания кристаллической решетки
Атомы твердых тел совершают тепловые колебания около
положений равновесия.
Вследствие взаимного влияния атомов друг на друга, харак-
тер этих тепловых колебаний очень сложный и для их описания прибегают к некоторым допущениям:
1) Прежде всего, считают, что колебания атомов описыва-
ются гармоническим законом (гармоническое приближение).
83
MAX
см
см/c
10
10
5
L
a
Рис. 9.3
2) Вместо описания индивидуальных колебаний многих частиц рассматривают их коллективное движение в пространственно упорядоченной системе, которой является кристалл.
Такое упрощение обосновывается тем, что вследствие действия
мощных сил связи колебание, возникшее у конкретной частицы, немедленно передается соседним частицам и в кристалле
возбуждается коллективное движение в форме упругой волны,
охватывающей все атомы кристалла. Такое коллективное движение можно рассматривать как совокупность упругих стоячих
волн и называется нормальным колебанием решетки. Так как
каждый атом кристаллической решетки имеет три колебательных степени свободы, число атомов – получаем 3N нормальных колебаний в кристалле.
В качестве примера покажем несколько нормальных коле-
баний, которые могут возникнуть в линейной цепочке, состоящей из одинаковых атомов, колеблющихся в направлении,
перпендикулярном к длине цепочки, рис. 9.3 (модель струны с
закрепленными концами).
Такой системе отвечает
большое множество
обертонов (колебаний),
которым соответствуют
стоячие волны с длинами,
лежащими в диапазоне от
2L до
MAX
2a (L –
MIN
длина цепочки атомов, a
– межатомное расстояние, рис. 9.3).
Оценим интервал воз-
MIN
можных частот:
104 Гц, (9.1)
где – фазовая скорость распространения упругих волн в кристалле;
84
MIN
см 105
см/c10
8-
5
Оптическая ветвь
Акустическая
ветвь
1/2a 0 1/2a 1/
/a 0 /a k
Рис. 9.4
MAX
Таким образом, даже для одномерной модели спектр частот
очень разнообразен, а его верхний предел определяется параметрами материала.
На рис. 9.4 изображена дисперсионная кривая – зависимость
возможных частот колебаний атомов от длины волны или
от волнового числа k 2/. При малых длинах волн имеет
место отклонение зависимости (1/) от линейной, так как в
этом диапазоне сильно проявляется зависимость скорости от
(явление дисперсии). Данная дисперсионная ветвь получила
название акустической, так как соответствует частотам звукового диапазона. Поскольку число атомов N велико, то изменения k можно рассматривать как квазинепрерывные.
В общем случае рассмотренная колеблющаяся цепочка может состоять из атомов разного сорта. В такой системе разви-
сортов, колеблются в противоположных фазах. Дисперсионная
кривая оптических нормальных колебаний атомов кристалла
также показана на рис. 9.4.
До сих пор мы рассматривали поперечные колебания, но в
кристалле существуют и продольные колебания, которые ха-
21012 Гц, (9.2)
ваются не только аку-
стические, но и так
называемые оптиче-
ские колебания (играют основную роль в
процессах взаимодействия света с кристаллом). Примером оптических колебаний является случай, когда
соседние атомы цепочки, состоящей из
последовательно чередующихся атомов двух
85
h
рактеризуются своими дисперсионными кривыми. Если же
учесть, что постоянная решетки, как правило, неодинакова в
разных направлениях, то понятно, что число дисперсионных
ветвей на графике (1/) должно быть ещё большим.
9.3 Фононы
Ранее мы показали, что энергия квантового осциллятора
квантуется:
E ( ½)ħ, где 0, 1, 2, … (9.3)
Естественно, что квантоваться должна и энергия нормальных колебаний решетки. Минимальным квантом энергии этих
колебаний является
E ħ h, (9.4)
такой квант называется фононом.
Фононы, которые соответствуют набору частот на нижней
ветви дисперсионной кривой, называются акустическими, на
верхней ветви – оптическими. Фонон – это квазичастица и его
нельзя представить отдельно от кристалла. Подобно тому, как
электромагнитное поле равновесного излучения можно моделировать как фотонный газ, поле упругих колебаний, развивающихся в кристалле, можно трактовать как фононный газ. Как
и фотон фонон обладает не только энергией, но и импульсом:
p
ħk. (9.5)
Спин фонона равен нулю, и фононный газ подчиняется статистике Бозе-Эйнштейна. Электроны могут взаимодействовать
с фононами путем передачи импульса. В гармоническом приближении фононы между собой не взаимодействуют.
С увеличением температуры общее число фононов растет,
так как увеличивается размах колебаний. Теоретические оценки дают, что концентрация фононов n зависит от температуры
T следующим образом:
n T3 в области низких температур,
n T в области высоких температур. (9.6)
86
E r r0
r r
0
2s1
1s2 Литий:
1s22s1
E r r0
R
0
r0 510
10
м
1s2
Рис. 9.5
Разграничительным фактором является температура Дебая
– характеристическая температура твердого тела, определяемая из соотношения k ħ*, где * – предельная частота
упругих колебаний кристаллической решетки.
9.4 Энергия электронов в кристаллах. Зонная теория
Основы зонной теории были заложены немецким физиком
Ф.Блохом в 1928 году (Нобелевская премия 1952 года).
Рассмотрим качественно, что происходит с электронами атомов при их сближении. Взаимодействие атомов приводит к изменению положения энергетических уровней, в отдельных случаях появляются полосы (зоны) разрешенных и запрещенных
энергий, рис. 9.5. Как это происходит?.
87
E
E3
E2
E1
0 r0 r
Рис. 9.6
Возьмем два изолированных атома (допустим лития) и будем
их сближать до расстояния, соответствующего расстоянию между атомами в кристалле.
В результате потенциальный барьер снизится, и верхние
энергетические уровни становятся общими, то есть электроны,
которые на них попадают, становятся свободными внутри кристалла. Однако, электроны, попавшие на свободные уровни, не
могут находиться в одном состоянии, так как это противоречит
принципу Паули, поэтому вместо свободного энергетического
уровня при сближении двух атомов лития появятся два подуровня, а в кристалле целая зона, состоящая из (2l 1)N подуровней, где N – число атомов кристалла.
Например, если кристалл имеет объем 1 см3, то в нем содержится примерно 1022 атомов. При типичной ширине зоны в 1эВ,
расстояние между подуровнями составит 10
гия «тепловых» электронов kT 0,025 эВ (при 300 К), то электроны практически не чувствуют дискретности энергетических
уровней в зоне.
Расщепление в нашем примере с литием наблюдается и для
уровня 2s, что связано с туннельным эффектом.
Рассмотрим общую картину, наблюдаемую при переходе от
изолированных атомов к кристаллу, рис. 9.6.
22
эВ. Так как энер-
Внутренние электроны атомов сильно
связаны с ядром и почти не «чувствуют»
возмущающего действия соседей в кристалле (уровень Е1).
Валентные электроны
атомов (уровень Е2) при
образовании кристалла
(усредненное равновесное расстояние между
атомами в кристалле
обозначим r0) форми-
88
E
E3 Свободная зона
Запрещённая зона
E2 Валентная зона
Рис. 9.7
E
C
E
V
руют, согласно предыдущим рассуждениям, зону, которая получила название валентной. Следующая за ней, образованная
из энергетических уровней Е3, свободная зона, в зависимости
от r0 и структуры атомов, может перекрываться с валентной
зоной или отделиться от нее запрещенной зоной (энергетический зазор, где отсутствуют электроны).
Наибольшее влияние поле решетки оказывает на внешние
электронные оболочки, поэтому энергетические зоны им соответствующие, оказываются наиболее широкими.
Обычно для описания разнообразных энергетических про-
цессов в твердых телах используют сечение диаграммы
(рис.9.6) при r r0, что приводит к образованию зонной энергетической схемы материала, которую для удобства на рисунках растягивают по горизонтали, рис. 9.7.
кие переходы, однако, наблюдаются, если в энергетической
зоне, к которой принадлежат данные электроны, имеются не
занятые квантовые состояния. Подобные зоны создаются у
металлов. Например, у лития валентная зона, образованная из
2s1- электронов, заполнена лишь на половину, а у щелочноземельных металлов она хотя и заполнена полностью, но перекрывается со свободной зоной (гибридизация зон). Металлы
хорошо проводят электрический ток.
У полупроводников и диэлектриков валентные зоны заполне-
ны целиком и отделены от близлежащей свободной зоны широ-
Рассмотрим качественно отличие между металлами, диэлектриками и полупроводниками. Если приложить к образцу
внешнее электрическое поле, то электроны смогут изменять
свою энергию и переходить в новое квантовое состояние. Та-
89
Тип полупроводника
Ge
Si
GaAs
GaP
ZnS
Ширина запрещенной
зоны, E (эВ)
0,7
1,1
1,4
2,3
3,7
a
ким энергетическим интервалом. Внутри такой зоны внешнее
электрическое поле может лишь вызвать перестановку электронов местами, но не электрический ток. С повышением температуры электроны смогут перейти в свободную зону (полупроводники), что приведет к увеличению их электропроводности.
Пример:
Одной из основных задач теории твердого тела является
определение зависимости энергии электрона от его импульса.
Ее решают только с помощью ряда упрощений:
- пренебрегают тепловым движением ионов (адиабатиче-
ское приближение);
- рассматривают движение электрона в результирующем по-
ле других электронов и атомов (одноэлектронное приближе-
ние);
- в приближении слабой связи внешних электронов атома
потенциальную функцию электрона U(r) считают периодической, с периодом равным постоянной кристаллической решетки (модель кристалла в виде трехмерного потенциального
ящика со слабо рифленым дном).
Решением уравнения Шредингера в этом случае будет вол-
новая функция (функция Блоха)
(r) u(r)e
ikr
, (9.7)
где u(r) – пространственно периодическая функция с периодом,
равным постоянной решетки. Таким образом, волновая функция свободного электрона в кристалле является модулированной плоской волной.
В этой ситуации зависимость Е E(k), в частности, приоб-
ретает следующий вид (рис. 9.8). В кристалле внутри каждой
зоны энергия свободного электрона растет с увеличением волнового числа k, а при значениях
k n
, (9.8)
90
2
E E
E k2 …
0 k 2/a /a 0 /a 2/a k
Рис. 9.8
Свободный электрон Электрон внутри кристалла
где n 1, 2, ..., энергия претерпевает разрыв, приводящий к
образованию запрещенных зон.
Если подставить в выражение (9.8) соотношение k
получим
2a n, (9.9)
что хорошо соотносится с известной формулой Вульфа-Брэгга
2asin n, выражающей условие отражения волн от плоско-
стей решетки для случая, когда угол скольжения 90.
То есть электроны с такой длиной волны, двигаясь перпен-
дикулярно плоскостям решетки, испытывают полное внутреннее отражение и распространяться в кристалле не могут.
Области значений k, в пределах которых энергия электрона
изменяется непрерывно, а на границах претерпевает разрыв,
называются зонами Бриллюэна.
1. Что называется краевыми и винтовыми дислокациями?
2. Что означает термин «нормальные колебания кристалличе-
ской решетки»?
Вопросы для повторения
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]