Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.3. Развернутый конспект лекций
.pdf
11
Лекция № 2
(x)
x
Рис. 2.1
2.1 Соотношения неопределённостей Гейзенберга
2.1.1 Соотношения неопределённостей
В классической механике можно было одновременно точно
определить координаты и импульс движущейся частицы и тем
самым вычислить её траекторию. В квантовой механике такой
подход неправомерен, и это обусловлено тем, что микрочастицы обладают волновыми свойствами, причём длина волны
микрочастицы и её импульс связаны друг с другом соотношением де Бройля (1.4).
Любая волна, какова бы не была её природа, характеризуется некоторой волновой функцией , которая зависит от координат и времени. Так, например, в случае волны, распространяющейся вдоль оси x, (x, t), рис. 2.1. Но длина волны
не является функцией координаты x (выражение «длина волны
в точке x равна » не имеет смысла, так как есть характеристика формы волны, а не функция координаты x). Согласно
формуле де Бройля (1.4) это означает, что не является функцией координаты и импульс микрочастицы p. Сказанное позволяет сделать вывод: при рассмотрении движения микрочастиц,
то есть в квантовой механике, нельзя одновременно точно
определить значение координаты и импульса частицы.
Так для бегущей волны, которая представлена на рис. 2.1,
можно точно указать значение импульса px, но неопределён-
12
ность в определении её координаты x , так как монохро-
2
2
2
z
y
x
pz
py
px
матическая волна заполняет всё бесконечное пространство. Вы
можете предложить локализовать волну в некотором очень
малом интервале x, однако в этом случае, как показывают
теория и опыт, для того, чтобы волновая функция оказалась
отличной от нуля внутри заданного интервала, но равнялась
нулю вне его, эта функция должна определяться суперпозицией
монохроматических волн с различными . Но в этом варианте
теряется определённость в , а, значит, и в импульсе микрочастицы. При x 0, имеем p .
Кто знаком с радиотехникой, тот знает, что если мы хотим
послать короткий радиосигнал (с малым x), то в нём будут
присутствовать монохроматические волны с различной . Если
же мы хотим, чтобы нас принимали приёмники, настроенные
лишь на определённую длину волны, то посылаемые монохроматические сигналы должны быть достаточно длинными.
Количественная связь между неопределённостями в определении координаты и соответствующей этой координате составляющей импульса микрочастицы была дана немецким учёным
В. Гейзенбергом в 1927 году (Нобелевская премия 1932 года):
, (2.1)
где, например, x и px представляют собой среднеквадратичные отклонения координаты и составляющей импульса от их
средних значений.
Получим одно из соотношений (2.1), рассмотрев результат
следующего эксперимента. Попытаемся определить значение
координаты x электрона, вылетевшего из электронной пушки в
положительном направлении оси y. Для этого поместим на его
пути щель ширины d, расположенную перпендикулярно к
направлению движения электрона (рис. 2.2.). До взаимодействия
со щелью px 0, а координата x электрона является полностью
13
неопределённой. При прохождении электроном щели вследствие
p
pxx
*
y
x
d
Рис.2.2
y
p
p
x
p
px 0
py 0
I
дифракции появляется неопределённость по импульсу:
px psin (2.2)
Условие первого минимума при дифракции на одной щели
dsin . (2.3)
С учётом, что d x, имеем:
, (2.4)
откуда воспользовавшись формулой де Бройля (1.4) получаем
соотношение
xpx h, (2.5)
согласующееся с (2.1)*.
Если учесть также побочные дифракционные максимумы,
то вместо условия (2.5) будем иметь
xpx h. (2.6)
Почему же электрон, пройдя щель, отклоняется? Неопределённость в координату и импульс вносит щель! Другими сло-
Иногда полагают px 2psin, имея в виду отклонение по обе
стороны от оси x. Но тогда по этой же причине следует принять
xd/2, и результат – формула (2.5) окажется тем же.
14
вами, сами измерения в микромире вносят неопределённость в
2
t
hth
hE
hE
1
поведение объекта, и этот факт никак не связан с особенностями измерительных приборов, а является сугубо физическим
принципом.
Соотношение вида (2.1) можно записать также и для неопределённостей E в значении энергии E какой-либо микросистемы и времени t существования этой системы в состоянии с данной энергией:
Et
Этим соотношением объясняется некоторое размытие спектральных линий излучения атомов, которое происходит по
схеме
где t – время жизни атома в возбуждённом состоянии (примерно 108 с).
2.1.2 Следствия из соотношения неопределённостей
1) Микрочастицы не могут покоиться (например, электроны
движутся вокруг ядра, а при их появлении внутри ядра вследствие некоторых внутриядерных процессов для их удержания в
столь малом объёме не хватает энергии: происходит -распад).
2) Для микрочастиц отсутствует понятие траектории (обыч-
но избегают понятия скорости, ускорения, силы – нет точки её
приложения).
. (2.7)
, (2.8)
2.1.3 Принцип дополнительности
В 1928 году Нильс Бор расширил принцип неопределённости, придав ему более общий характер. В результате был сформулирован принцип дополнительности. Его суть заключается в
15
том, что существуют пары дополняющих друг друга независи-
m2
мых переменных, каждая из которых может быть лучше определена только в результате соответствующей потери степени
определённости другой.
К таким парам можно отнести: волновые и корпускулярные
свойства частиц, непрерывность и дискретность, архивные
документы и исторический роман, чувство и его анализ,
например, безрассудная любовь и размышления о её последствиях и т.д.
Принцип неопределённости применим и к анализу общественных явлений. В этом плане вспомним высказывание академика С.П. Капицы: «как в квантовой механике измерение
системы воздействует на саму систему, так и в обществе результаты социологического опроса влияют на общественное
мнение».
2.1.4 Принцип соответствия
Соотношение неопределённости, записанное в виде
x
x
, (2.9)
показывает, что понятия классической механики применимы с
тем большей точностью, чем больше масса частицы. При выполнении условия ћ/m 0 представления о траектории вполне
справедливы. Это является иллюстрацией общего важного
принципа соответствия: при переходе к предельному случаю
законы квантовой механики переходят в законы классической
механики.
2.2 Волновая функция. Уравнение Шредингера
Так как распространение волны описывается волновым
уравнением, то напрашивается предположение о наличии такого уравнения и при движении микрочастиц. Это уравнение
было найдено впервые в 1926 году австрийским физиком Э.
Шредингером и носит его имя (Нобелевская премия 1933 года).
16
Подобно второму уравнению динамики Ньютона, оно не выво-
V
dW
),,,()
(
2
2
2
2
2
2
22
tzyxU
zyx
mt
i
дится теоретически, а представляет собой обобщение большого
числа опытных данных.
Решением уравнения Шредингера является функция (x, y, z,
t), которая называется волновой и характеризует волну де Бройля. Было установлено, что уравнение Шредингера удовлетворяется только комплексными волновыми функциями, поэтому
сама волновая функция физического смысла не имеет. Он
возникает, если умножить на комплексно сопряжённую с
ней функцию *(x, y, z, t). В этом случае имеем так называемую плотность вероятности
*=2, (2.10)
нахождения частицы в соответствующем месте пространства
(вероятность, отнесённая к единице объёма) в момент времени
t. Если нас интересует вероятность dW обнаружения микроча-
стицы в данный момент времени в элементе объёма dV, взятом
в окрестности заданной точки пространства, то тогда
dW *dV. (2.11)
Если микрочастица определённо находится в известном
объёме V, то в этом случае, как для вероятности достоверного
события, можно записать:
1. (2.12)
Это так называемое условие нормировки, то есть добавочное
условие, налагаемое на функцию .
В соответствии с вероятностным смыслом волновой функции на неё можно наложить ещё ряд ограничений. Волновая
функция должна быть непрерывной и гладкой (иметь непрерывную первую производную), кроме того, она должна быть
однозначной и конечной во всех точках пространства.
Запишем теперь само уравнение Шредингера в общем виде
(для нерелятивистской области скоростей):
, (2.13)
17
где i
1
tU
),()(
2
2
22
txxU
x
mt
i
dt
d
t
i
)(
1
2
22
)(
1
2
dx
dxm
dt
d
t
i
)
d
ι
E
ι
E
E
– мнимая единица, m – масса частицы. U(x,y, z, t) –
некоторая функция, описывающая внешние воздействия на
частицу: в случае, если эти воздействия не меняются со временем, то есть U U(x, y, z,), она имеет смысл потенциальной
энергии частицы. Рассматривая для простоты одномерный слу-
чай при стационарности поля внешних сил (
0) имеем:
. (2.14)
Дифференциальное уравнение данного вида аналитического
решения в общем виде не имеет. Однако в теории дифференциальных уравнений показано, что решением уравнения этого
типа является произведение двух функций, одна из которых
зависит только от координат, а вторая – только от времени:
(x, t) (t)(x). (2.15)
Подставляем (x, t) в уравнение (2.14) и делим обе его части на произведение (t)(x):
U(x). (2.16)
Левая часть этого равенства является функцией только t, а
правая только x. Они могут быть равны друг другу при равенстве одной и той же постоянной величине, которую обозначим
E. Из соображений размерности видно, что это энергия. При
этом речь идёт о полной энергии, так как только она остаётся
всегда постоянной в механике.
Приравняем постоянной E левую часть формулы (2.16):
Решим это уравнение, для чего разделим переменные:
В итоге получаем гармоническую функцию
E. (2.17)
dt или, интегрируя, ln
t ln0 i
t ln0.
18
)()(
2
22
2
xUE
m
dx
d
2
2
dx
d
2
2m
m
k
mp22
222
2
2
dx
d
mE2
t
0e
i
, (2.18)
где E/ћ, а 0 – значение функции при t 0.
Приравняв постоянной E правую часть уравнения (2.16), получаем так называемое уравнение Шредингера для стационарных состояний:
0. (2.19)
В релятивистской области скоростей уравнение Шредингера
заменяется уравнением Дирака (Нобелевская премия 1933 года), которое является частью принципиально более сложной
теории.
2.3 Движение свободной микрочастицы
Для свободной микрочастицы (U 0), движущейся вдоль
оси x, уравнение (2.19) приобретает вид
С учётом, что в этом случае E
мулы (1.4) и (1.5)), получаем:
E(x) 0, (2.20)
(см. также фор-
k2 0, (2.21)
где k
– волновое число.
Общим решением этого уравнения будет сумма частных
решений
1 2 Ae
ikx
Be
ikx
, (2.22)
где A и B – постоянные коэффициенты.
Умножая (2.22) на (2.18), получаем общее решение уравнения Шредингера (2.14) для свободной микрочастицы
19
mk2
22
i(kx
(x, t) 1 2 Ae
t)
Be
i(kx t)
, (2.23)
где множитель 0 вошёл в коэффициенты A и B.
Уравнение (2.23) представляет собой суперпозицию двух
плоских волн одинаковой частоты, движущихся в противоположных направлениях вдоль оси x.
Пусть, например, мы описываем волну, распространяющуюся в положительном направлении оси x (ей соответствует
первое слагаемое 1). Тогда
11* 2 A2, (2.24)
то есть вероятность найти свободную микрочастицу в любой
точке оси x оказывается одинаковой. Тот же вывод можно сделать на основании соотношения неопределённостей, так как мы
задали точное значение волнового числа k (при котором px
0). Отсутствуют у свободной микрочастицы и ограничения на
величину энергии: E
.
Вопросы для повторения
1. Сформулируете принцип неопределённостей Гейзенберга.
2. Рассмотрите дифракцию электронов на одной щели, связав
наблюдаемые явления с принципом неопределённостей.
3. Приведите примеры проявления принципа неопределённо-
стей.
4. Перечислите некоторые следствия, вытекающие из соотно-
шений неопределённостей.
5. Сформулируйте принцип дополнительности, приведите
примеры его проявления.
6. Для чего используется уравнение Шредингера? Каков смысл
волновой функции?
7. Из уравнения Шредингера, записанного в общем виде, вы-
ведите уравнение Шредингера для стационарных состояний.
8. Рассмотрев движение свободной микрочастицы, получите
выражение для её волновой функции.
20
I II III
U U 0 U
0 0
E
0 a x
Рис. 3.2
U
U
0
U
0
E
0 x
1
x2 x
Рис. 3.1
Лекция № 3
3.1 Решение уравнения Шредингера для частицы
в потенциальной яме. Квантование энергии (основы
наноэлектроники)
Потенциальной ямой называется ограниченная область пространства, в которой потенциальная энергия рассматриваемой
частицы меньше, чем вне этого пространства. Одномерная модель прямоугольной потенциальной ямы высотой U0 показана
на рис. 3.1. При этом интерес представляют два состояния:
когда частица находится внутри ямы, или, преодолев потенциальный барьер, вышла из неё. С подобной ситуацией мы сталкиваемся, например, при рассмотрении выхода электрона из
металла (явление термоэлектронной эмиссии и внешний фотоэффект).
В качестве полезного частного случая рассмотрим поведение микрочастицы в одномерном прямоугольном бесконечно
глубоком потенциальном ящике (рис. 3.2), где
при x 0 (область I)
U(x) 0 при 0 x a (область II) (3.1)
при x a (область III)
Заметим, что с точки зрения классической механики частица
может находиться в таком ящике с вероятностью, которая не
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]