Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.3. Развернутый конспект лекций
.pdf
21
2
2
dx
d
a
n
a
n
*
зависит от координаты x, имея при этом любое значение кинетической энергии.
В рамках квантовой механики ситуация изменяется. Запишем уравнение Шредингера для свободной микрочастицы – см.
одномерную модель, формулу (2.21) – применительно к микрочастице, находящейся в бесконечно глубоком потенциальном
ящике, где U 0 (рис. 3.2, область II):
k2 0. (3.2)
Общее решение данного дифференциального уравнения
имеет вид
Asin(kx) Bcos(kx). (3.3)
С учётом граничных условий для -функции, согласно которым
(0) (a) 0, (3.4)
можно записать:
– при x 0 (0) Asin(0) Bcos(0) 0, или
Отсюда следует, что Asin(kx)
B 0. (3.5)
– при x a (a) Asin(ka) 0. Это означает, что волновое
число k может иметь лишь следующие значения:
k
, (3.6)
где n – целое число (n 1, 2, 3, …)*.
Таким образом, волновая функция микрочастицы, заключенной в потенциальный ящик с бесконечно глубокими стенками, описывается формулой:
(x) Asin (
x). (3.7)
Очевидно A 0 и n 0, так как выполнение этих условий означало бы, что 0 при любых значениях x, то есть частицы в потенциальном ящике нет вовсе.
22
2
a
n
2/
a
mk2
22
2
222
2ma
n
2
22
8ma
nh
n 1 * n 2 * * n 4
*
0 a x
*
0 a x 0 a x
Рис. 3.3 Рис. 3.4 Рис. 3.5
В качестве примера графики волновых функций и плотно-
сти вероятности обнаружения микрочастицы на различных
расстояниях от стенок ящика * представлены на рис. 3.3 –
3.5.
Условие (3.6) можно записать в виде
, (3.8)
откуда
n, (3.9)
то есть на ширине ящика укладывается целое число полуволн
де Бройля (возникает стоячая волна).
При n 1 наиболее вероятным будет пребывание частицы в
центре потенциального ящика, при n 2 на расстоянии a/4 от
его краёв. При устремлении n к бесконечности мы приближаемся к классическому случаю равной вероятности местонахождения микрочастицы во всех точках внутри ящика.
Рассмотрим теперь энергию микрочастицы с учётом соотношения (3.6):
Таким образом, энергия микрочастицы, помещённой в по-
тенциальную яму, квантуется (принимает дискретный ряд
E
. (3.10)
23
mp2
2
2
2
8ma
h
E
. . .
*
9E1 n 3
*
4E1 n 2
*
E1 n 1
0 a x
Рис. 3.6
px 2p (она может двигаться лишь вдоль или против оси x). В
результате оказывается, что
то есть, с учётом того, что
E
, получаем:
что полностью соответствует условию (3.10) при n 1. Число
n, характеризующее энергетическое (в целом пространственное) положение микрочастицы в потенциальной яме получило
название главного квантового числа.
значений). Схема уровней
энергии микрочастицы в
потенциальном ящике и
вид функции * показаны на рис. 3.6. Минимальное значение энергии
микрочастицы в потенциальной яме не равно нулю, то есть она находится
в постоянном движении.
Поскольку уравнение
Шредингера обусловлено
принципом неопределённости, можно показать,
что наличие минимальной
энергии E1 у микрочастицы предсказывается этим
соотношением. Так, на
рис. 3.2, неопределённость в координате микрочастицы равна ширине
ящика (x a), а неопределённость в её импульсе
xpx a2p h, (3.11)
E
. (3.12)
24
2
22
2ma
xdx
a
n
sin
a
0
2
a
2
a
2
a
n
rki
e
)( zkykxki
zyx
e
x
a
y
a
z
a
m2
22
2
2
2
2
2
2
z
z
y
y
x
x
a
n
a
n
a
n
(3.15)
Согласно (3.10) расстояние между соседними энергетиче-
скими уровнями для частиц различной массы m в потенциальном ящике шириной a составляет
En E
En
n1
(2n 1). (3.13)
Если параметры a или m устремить в бесконечность (a ,
m ), то расстояние между энергетическими уровнями ста-
новится бесконечно малым, что будет соответствовать случаю
свободной микрочастицы.
Для лёгких частиц, а также для малых областей их локали-
зации (m и a невелики) минимальное значение энергии, которое могут иметь такие частицы, увеличивается, резко растёт и
расстояние между соседними уровнями. Этим, в частности,
объясняется отсутствие электронов внутри или в непосредственной близости от атомного ядра.
Для нахождения коэффициента A в выражении (3.7) вос-
пользуемся условием нормировки для волновой функции :
2
откуда A
A
, и, следовательно,
n(x)
1, (3.14)
sin (
x). (3.15)
Результаты, полученные для одномерного движения, могут
быть обобщены для трёхмерного потенциального ящика. Волновая функция в этом случае имеет вид
kx n
x
; ky n
(x, y, z) С
; kz n
y
z
С
; (3.16)
; nx 1, 2,...; ny 1, 2,...; nz 1, 2,…
Энергия микрочастицы в этом случае также квантуется:
E
. (3.17)
25
2
2
dx
d
2
2m
2
2
dx
d
xik
e
1
xik
e
1
2
2mE
U
E > U
E < U
0 x I
II
Рис. 3.7
U
Заметим, что современные нанотехнологии используют
возможность перехода электронов между энергетическими
уровнями квантовых ям для создания разнообразных приборов
оптоэлектроники.
3.2 Прохождение микрочастицы через потенциальный барьер
Пусть микрочастица, имеющая энергию E, движется в пространстве вдоль оси x, приближаясь к прямоугольному потенциальному барьеру высотой U, рис. 3.7. При этом возможны
два варианта: 1) E < U и 2) E > U. В рамках представлений
классической физики в первом случае микрочастица будет
только отражаться от барьера, во втором – проходить над ним.
Как мы увидим далее, квантовая механика говорит о том, что
микрочастица в первом варианте имеет некоторую вероятность
зайти в область барьера (переход из области I в область II, рис.
3.7), а во втором – отразиться от него.
Движение микрочастицы описывается уравнением Шредингера. Запишем его сначала для области I:
E 0, или
2
k
0, (3.18)
1
Тогда
где k1
I A
. Если домножить 1 на (t), то получим выра-
B
1
, (3.19)
1
жение для двух плоских волн, распространяющихся в противо-
26
2
1
2
1
A
B
2
2
dx
d
2
2m
2
2
dx
d
2
)(2
UEm
2
)(2
UEm
2
)(2
EUm
xik
e
2
xik
e
2
kxe
*
(3.21)
положных направлениях вдоль оси x. При этом A1 – амплитуда
падающей и B1 – отражённой от барьера волн.
Так как вероятность нахождения микрочастицы в какойлибо точке пространства пропорциональна квадрату амплитуды волны де Бройля, то отношение
R
(3.20)
представляет собой коэффициент отражения микрочастицы от
потенциального барьера*.
В области II потенциальная энергия U 0, и уравнение
Шредингера приобретает вид:
2
k
0, (3.21)
2
где k2
(E U) 0, или
.
Таким образом, k1 k2, что указывает на отличие длины
волны микрочастицы в первой и второй областях. Переход от
одной области к другой можно интерпретировать как проникновение частицы из одной среды в другую, при этом на границе раздела возможны явления отражения и преломления (подобно тому, как это происходит со светом).
В случае, когда E < U, параметр k2 становится мнимым:
k2
i
ik. (3.22)
Волновую функцию для области II запишем в виде
kx
II A
B
2
A
2
B
2
.
e
(3.23)
2
Второе слагаемое соответствует неограниченному возрастанию II, чего быть не может; это означает, что B2 0, то есть
По определению коэффициент отражения R равен отношению
интенсивностей отражённой и падающей волн, причём в однородной среде интенсивности волн пропорциональны квадратам
модулей амплитуд.
27
xik
e
2
kxe
dx
d )0(I
dx
d )0(II
xik
e
1
xik
e
1
xik
e
2
II
I II
Рис. 3.8
x
IIII*
II A
A
2
. (3.24)
2
Мы видим: в области II волновая функция (3.24) уже не соответствует плоским волнам (показатель степени – действительный), то есть колебательный режим сменяется затухающим. Тем не менее, из условия непрерывности волновой функции вероятность нахождения микрочастицы вблизи границы
барьера можно условно описать как
kx
IIII* A22e
2
. (3.25)
Общая ситуация показана на рис. 3.8: микрочастица характеризуется отличной от нуля функцией даже внутри потенциального барьера.
Если рассмотреть случай 2), когда E > U, то, согласно классическим представлениям, отражения на границе раздела уже нет.
В квантовой механике для -функции должны выполняться
условия непрерывности её самой и её первой производной:
Однако если I A
отражением, нет, B1 0), а II A
должны одновременно выполняться два условия: A1 A2 – согласно (3.26) – и A1k1 A2k2 – согласно (3.27), причём k1 k2.
Эти равенства противоречат друг другу, а, значит B1 0, то
есть, в отличие от классической ситуации, частица-волна
I(0) II(0), (3.26)
(компоненты B
1
. (3.27)
, связанной с
1
, то на границе x 0
2
28
xik
e
I
xik
e
I
mE2
2
I
2
I
A
B
U * U
n 1
0 a x
Рис. 3.9
U0 * U0
n 1
0 a x
Рис. 3.10
имеет вероятность как пройти над барьером, так и отразиться
от него.
Итак, принципиальным отличием потенциальной ямы (ящика) конечной глубины от бесконечно глубокой потенциальной
ямы является возможность проникновения микрочастицы на
небольшое расстояние за границу барьеров, рис. 3.9, 3.10.
Характерной особенностью этого процесса является «просачивание» микрочастицы сквозь тонкую потенциальную
стенку (квантовомеханический эффект), а не её надбарьерный
переход, что можно было бы ожидать из классических соображений.
3.3 Туннельный эффект
Если потенциальный барьер имеет конечную толщину d (то
есть за областью II располагается область III, в которой опять,
как и в области I, U 0), то, аналогично тому, как мы это делали ранее, можно записать следующие уравнения:
Случай 1: E U0:
– В области I существуют и падающая и отражённая волны,
I A
B
I
I
, kI 2/I
/ħ; коэффициент отра-
жения от первой границы раздела R1
– В области II также существуют не только падающая, но и
отражённая волны,
.
29
xik
e
II
xik
e
II
)(2
0
U-Em
2
II
2
II
A
B
xik
e
III
mE2
*
I U II III
I II I
0 X
U0
I I
0 X
0 d X
Рис. 3.11
AI
AII
A
III
AI
A
III
′
E
E
II A
ент отражения от второй границы барьера R2
B
II
II
, kII 2/II
/ħ; коэффици-
.
– В области III волна распространяется лишь вдоль оси Х:
A
III
III
, причём k
kI
III
/ħ, длина волны де
Бройля микрочастицы в этой области оказывается такой же,
как и области I. Очевидно, что из-за отражений на границах
барьера выполняется неравенство AI AII A
.
III
Рассматриваемому случаю* соответствует верхняя кривая на
графике итоговой зависимости (x) – см. рис. 3.11.
Случай 2: E U0:
– Вновь в области I существуют и падающая и отражённая
Заметим: отражение на границах происходит даже в том случае,
если частица пролетает не над барьером – «возвышением», а над
барьером – «ямой» конечной глубины. В оптике этим вариантам
соответствует прохождение световой волны сквозь систему слоёв с
показателями преломления n1 → n2 → n1 при n1 n2 или n1 → n2′ → n1
при n1 n2′.
30
xik
e
I
xik
e
I
mE2
2
I
2
I
A
B
xik
e
III
mE2
xEUm
e
)(2
0
1
*
волны, I A
отражения от первой границы раздела R1
B
I
I
, kI 2/I
/ħ; коэффициент
.
– Мы видим, что так же, как и раньше, в области III у уравнения Шредингера имеется решение, и это говорит о том, что в
этой области можно обнаружит микрочастицу – волну, распространяющуюся вдоль оси Х:
A
′
III
III
, причём k
kI
III
/ħ,
и длина волны де Бройля микрочастицы в этой области оказывается такой же, как и области I.
Данный эффект невозможен с точки зрения классической
физики: если полная энергия тела меньше потенциальной энергии барьера, оно оказывается неспособным преодолеть этой
барьер и отражается от него. В квантовой физике частица имеет отличную от нуля вероятность проникнуть в область пространства за барьером, даже если барьер достаточно высок.
Явление проникновения частицы сквозь потенциальный барьер
в случае, когда полная энергия частицы меньше потенциальной
энергии барьера, носит название туннельного эффекта.*
– Как мы уже говорили ранее, в области II, где E U0, физического смысла ни сама функция II, ни квадрат её модуля не
имеют. Само решение уравнения Шредингера для этой области
нам уже известно – см. формулу (3.24), полученную ранее для
микрочастицы, взаимодействующей с потенциальной ступень-
кой: II A
II
. И этой формулой (с учётом того, что
на границе с координатой x d для плотности вероятности
должно выполняться соотношение IIII*
воспользоваться для расчёта амплитудного множителя A
С точки зрения квантовой механики рассматривать полную
IIIIII
*) можно
′:
III
энергию системы как обычную сумму потенциальной и кинетической энергий нельзя, так как это противоречит принципу неопределённости
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]