Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.3. Развернутый конспект лекций
.pdf
31
dEUm
e
)(2
0
2
2
I
2
III
)'(AA
2
I
2
III
)'(AA
2
I
)(2
2
2
II
0
)'(
A
eA
dEUm
dEUm
e
)(2
2
0
dEUm
e
)(2
2
0
2
A
II
(A
III
′)2.
Для количественной оценки вероятности проникновения частицы сквозь барьер при туннельном эффекте вводится параметр D, который называется коэффициентом прозрачности
барьера:
D
. (3.28)
В случае прямоугольного потенциального барьера
D
D
0
. (3.29)
Часто D0 1, и тогда формулу (3.28) можно переписать так:
D
. (3.30)
Поскольку число частиц, падающих на границу барьера,
должно быть равно общему числу отраженных и проникших в
барьер частиц, то
R D 1. (3.31)
Коэффициент прозрачности, согласно (3.30), сильно зависит
от величины параметров m и d, а также от разности U0 E.
Обычно туннельный эффект реализуется для микрочастиц,
сталкивающихся с барьером шириной d 0,1 – 0,2 нм (соответствующие расчёты проведём на практических занятиях).
Туннельный эффект играет большую роль в электронике.
Примерами его проявления могут служить эмиссия электронов
из металла под действием сильного электрического поля, прохождение тока через тонкие диэлектрические слои, пробой p-n–
перехода, работа туннельного диода и туннельного микроскопа
(основа нанотехнологий), эффект Джозефсона и т. д. К рассмотрению туннельного эффекта мы вернёмся и в ядерной физике.
32
Вопросы для повторения
1. Получите решение уравнения Шредингера для частицы в
бесконечно глубокой потенциальной яме.
2. В каких случаях наблюдается квантование энергии микроча-
стицы?
3. В каких случаях возможно прохождение микрочастицы че-
рез потенциальный барьер?
4. Что называется коэффициентом прозрачности потенциаль-
ного барьера?
5. В чём заключается парадокс туннельного эффекта с точки
зрения классической физики?
33
dx
x
x
EUm
2
1
)(2
2
E, U dx
U(x)
E
0 x1 x2 x
Рис. 4.1
Лекция № 4
4.1 Барьер произвольного профиля
В случае барьера произвольного профиля для расчета коэф-
фициента прозрачности можно воспользоваться выражением для
прямоугольного барьера, раздробив наш барьер на узкие прямоугольные барьеры шириной dx. Тогда общая
вероятность прохождения
D D1·D2·D3... (4.1)
В результате имеем:
D D*exp
4.2 «Холодная» эмиссия электронов из металла
Если металл поместить в сильное электрическое поле
напряженностью E 106 В/см, и при этом он будет катодом, то
из него могут начать вырываться электроны. Это явление
называется «холодной» эмиссией, и в его основе лежит туннельный эффект. Схема опыта показана на рис. 4.2.
На этом рисунке символами М1 и М2 обозначены потенциальные ямы, являющиеся моделью двух металлов; энергетические уровни этих ям заполнены электронами. ЕF – самый верхний из заполненных электронами энергетических уровней потенциальной ямы. Если расстояние между металлами – электродами обозначить буквой l, а поданное на них напряжение –
. (4.2)
34
E
Const
2
2
x
0
U
a
a x
Рис. 4.3
EF
eV
M2
M1
l
E
F
T = 0 K
Рис. 4.2
буквой V, то для напряжённости электрического
поля в межэлектродном
пространстве можно записать выражение
E V/l.
При этом электриче-
ский ток, связанный с
туннелированием электронов из металла в металл сквозь треугольный
потенциальный барьер,
описывается формулой
i
ТУН
exp
. (4.3)
4.3 Линейный гармонический осциллятор
Линейный гармонический осциллятор – частица, соверша-
ющая линейные гармонические колебания около положения
равновесия.
Пусть такие колебания происходят
вдоль оси х между точками с координатами
а и а. В этом случае на частицу действует
возвращающая сила
где – постоянная упругой силы.
F x, (4.4)
Рассмотренный осциллятор имеет по-
тенциальную энергию (рис. 4.3):
U
. (4.5)
У классического осциллятора нет ограничений на величину
энергии. В случае колебания микрочастиц, то есть квантового
35
2
2
dx
d
2
2m
2
2
x
2
1
n
E
0
E0 /2
E1 3/2
E2 5/2
En
Рис.4.4
осциллятора, мы имеем дело со своеобразным потенциальным
ящиком с отражающими стенками. В этом случае энергия микрочастиц принимает дискретные значения (т. е. энергия квантуется), и из-за туннельного эффекта существует вероятность
захода микрочастицы за границы предела а.
Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора
имеет вид:
(E
) 0. (4.6)
Как следует из теории решения дифференциальных уравне-
ний, уравнение (4.6) имеет конечные, однозначные и непрерывные решения только при дискретных значениях энергии:
En
ћ, (4.7)
где n 0, 1, 2, 3, ...
Наименьшая энергия Е0 называется нулевой энергией, т.к.
она не исчезает даже при температуре абсолютного нуля. Су-
ществование E0 является прямым следствием
соотношения неопределенностей Гейзенберга. Если бы при Т 0 К колебания квантового
осциллятора исчезли, то оказалось бы реальным одновременно точно определить координату и импульс частицы.
Пример. Колебания атомов в узлах кристаллической решетки происходят вплоть до
Т 0 К. Энергия этих колебаний может оказаться столь большой, что не даст веществу
перейти из жидкого в твёрдое агрегатное состояние. Именно
это наблюдается в случае гелия, который переходит в жидкое
состояние при 4,2 К, а твёрдым при нормальном атмосферном
давлении стать не может.
Квантовая механика позволяет рассчитать вероятность пе-
реходов между различными состояниями квантовой системы. В
частности, для квантового осциллятора оказываются возмож-
36
2
2m
r
ze
0
2
4
r
ze
0
2
4
r
N x z y
Рис. 4.5
ными только переходы между соседними энергетическими
уровнями (n 1). Данное условие называется правилом от-
бора.
4.4 Уравнение Шредингера для водородоподобного атома
Водородоподобным называется
атом, который можно представить в
виде положительно заряженной центральной области (имеющей сферическую симметрию) и одного электрона,
взаимодействующего с этой областью
по закону Кулона.
Поскольку энергия атомов, находящихся в основном состоянии, со временем не меняется, поведение электронов
можно описывать уравнением Шредингера для стационарных состояний. Для
решения это уравнение удобно записывать в сферической системе координат. Связь между декартовыми координатами x, y,
z и сферическими r, , поясняется рисунком 4.5.
В декартовых координатах уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае водородоподобного атома имеет следующий вид:
(E
) 0. (4.8)
Здесь учтено, что потенциальная энергия электрона
U
, (4.9)
где z – коэффициент, зависящий от размера центральной положительно заряженной области, с которой взаимодействует
электрон.
Записав оператор Лапласа в сферической системе координат, уравнение (4.8) можно переписать в виде
37
0
4
211
0
2
2
22
2
r
ze
Er
m
sin
sin
sinr
r
r
222
0
42
8 nh
mez
b
r
e
*
. (4.10)
В общем случае уравнение (4.10) представляет собой из-
вестное в математике трехмерное дифференциальное уравнение Гельмгольца, которое можно решить методом разделения
переменных. При этом оказывается, что решение имеет следующий вид:
(r, , ) R(r)()(). (4.11)
Подробнее решение уравнения (4.9) рассмотрим на практи-
ческих занятиях*.
Образующиеся обыкновенные дифференциальные уравне-
ния для каждой переменной r, и имеют решения, если энергия электрона, связанного с ядром, принимает дискретные значения
En
, (4.12)
где n 1, 2, 3, ..., а параметры разделения равны q l(l + 1), где
l= 0, 1, 2, ..., n 1 и s m2, причём m l, l + 1, ..., 1, 0, 1, ..., l 1,
l (всего 2l + 1 значение). Заметим, что уравнение (4.12) было
получено нами ранее на основе теории Бора.
В целом решением уравнения Шредингера в сферической
системе координат является волновая функция
n, l, m
(r, , ),
зависящая от квантовых чисел n, l, m и являющаяся произведением трёх функций R(r), () и (), каждая из которых зависит лишь от одной переменной. В частности, радиальная функция R
(r) описывается следующей формулой:
n,l
R
(r) g(r)
n,l
. (4.13)
Для атома водорода, находящегося в основном состоянии
(n 1), g(r) const C, а b имеет смысл радиуса первой боровской орбиты:
См. также задачи № 47.1, 47.13 из задачника [9].
38
2
2
0
4me
1
2rr
e
dr
dW
1
2rr
e
(r)
0 r1 r
Рис. 4.6
Согласно (2.11) вероятность обнаружить частицу в элементе
объема dV равна
откуда, с учетом того, что при n 1 волновая функция не
зависит от и , запишем, чему равна вероятность нахождения
электрона в объеме шарового слоя с радиусами r и r + dr:
или
В этом случае радиальная
плотность вероятности (r) определяется выражением вида:
(r)
C
которому соответствует рис. 4.6.
Таким образом, с квантово-
механической точки зрения радиус первой боровской орбиты
имеет смысл расстояния от ядра, на котором плотность вероятности найти частицу имеет наибольшее значение.
Как показывают детальные расчеты для водородоподобных
атомов волновые функции
ко от r, и плотность электронного облака вокруг ядра имеет
сферическую симметрию. В других случаях функция зависит
от углов и , и сферическая симметрия электронного облака
нарушается, так, например, при l 1, оно приобретает вид
своеобразных гантелей.
2
4r2, (4.18)
b r1
. (4.14)
dW 2dV, (4.15)
dW R24r2dr, (4.16)
dW C
2
4r2dr. (4.17)
,
200
и т. д. (l 0) зависят толь-
300
39
)1( ll
r
0
L
][
mr
О
r
Рис. 4.7
4.5 Квантовые числа, характеризующие состояние
электронов в атоме
Поведение электрона в атоме описывается волновой функ-
цией, вид которой зависит от квантовых чисел n, l и m. Поскольку n определяет энергию электрона, его назвали главным
квантовым числом (n 1, 2, 3, ...).
Естественно предположить, что и два других квантовых
числа l и m характеризуют определенные физические величины. Действительно, анализ решения уравнения Шредингера
для водородоподобного атома приводит к заключению, что
квантовое число l определяет величину орбитального момента
импульса электрона в атоме (называется орбитальным), а
квантовое число m (магнитное квантовое число) задает величину проекции этого момента на заданное направление в пространстве. Под заданным направлением в данном случае понимают направление, выделенное путем создания в системе,
например, электрического или магнитного поля.
В этом случае величина орбитального момента импульса
электрона L0 (рис. 4.7) может быть рассчитана
по формуле
L0 ћ
, (4.19)
а его проекция на заданное направление Н –
формулой
L0H mћ. (4.20)
Определенному значению энергии Еn могут соответствовать
несколько волновых функций, отличающихся значениями
квантовых чисел m и l. Это означает, что атом водорода может
иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких
различных квантовых состояниях. Состояния с одинаковой
энергией называются вырожденными, а число различных состояний с одинаковым значением энергии называется кратностью вырождения соответствующего энергетического уровня.
Можно показать, что каждый уровень энергии водородоподобного атома имеет вырождение кратности n2, причём
40
1
0
)12(
n
l
l
l 0 l 1 l 2
... ... ...
4s 4p 4d
3s 3p 3d
2s 2p
E
0
n 4 E4
n 3 E3
n 2 E2
n 1 E1
(13,6 эВ)
1s
Серия Бальмера
Рис. 4.8
В атомной физике применяются условные обозначения со-
стояний электрона с различными значениями момента импульса. Так, электрон, находящийся в состоянии с l 0, называют s-
электроном, в состоянии с l 1 – p-электроном, с l 2 – dэлектроном, с l 3 – f-электроном и т.д. в соответствии с латинским алфавитом. Значение n указывается перед условным
обозначением квантового числа l. Так, например, электрон в
состоянии n 4, l 1 обозначается символом 4p. Поскольку l
всегда меньше n, то возможны следующие состояния электрона:
n=1: 1s
n=2: 2s, 2p
n=3: 3s, 3p, 3d
n=4: 4s, 4p, 4d, 4f и т.д.
n2
.
4.6 Спектр излучения атома водорода
Рассмотрим схему,
отображающую систему энергетических
уровней в атоме водорода (рис. 4.8). Испускание и поглощение
света происходит при
переходах электронов с
одного уровня на другой. В квантовой механике при этом работает,
упомянутое выше, правило отбора (при переходах выполняется закон сохранения энергии
и импульса), которое в
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]