Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.3. Развернутый конспект лекций
.pdf
101
kT
E
e
2
kT2
1
ln(n)
1/(2kT)
Рис. 10.7
E
E
C
Ed
2
E
EV
TН TС T
Рис. 10.8
E
F
Как следует из (10.17), концентрация электронов и дырок
растет с повышением температуры. Если построить график за-
Как показывают детальные расчеты, положение уровня
Ферми в примесном полупроводнике при Т = 0 К находится
посередине между энергетическим уровнем донора или акцептора и краем соответствующей зоны (Ed/2 или Ea/2), меняясь
сложным образом с повышением температуры, рис. 10.8.
водят к ещё большему снижению уровня Ферми. При этом
концентрация электронов меняется по экспоненте:
n N
C
. (10.17)
висимости n(T) в координатах
ln(n) от
, то получим пря-
мую, тангенс угла наклона которой численно равен ширине
запрещенной зоны, рис. 10.7.
При таком, обычно реализуемом на практике, способе
определения Е пренебрегают
зависимостями NС(T) и Е(T).
10.4.2 Примесный полупроводник
В частности, в полупроводнике
n-типа с повышением температу-
ры выше T0К уровень Ферми в
области низких температур (несколько кельвинов) вначале повышается до некоторого максимального значения, а потом начинает снижаться, снова проходя
через значение EF Ed/2. Дальнейшее повышение температуры
(и, соответственно, рост NC) при-
102
kT
E
e
kT
E
e
h
kTm
Ne
2
d
4
3
2
*
d
2
d
)
2
(2
kT
E
p
kT
E
e
h
kTm
Ne
2
a
4
3
2
*
a
2
a
)
2
(2
*
kT2
1
*
ln(n)
C
21kT
H
21kT
kT2
1
Рис. 10.9
n (NdNC)
1/2
; (10.18)
сходная ситуация наблюдается и в случае полупроводника p-
типа:
p (NaNC)
1/2
. (10.19)
(в этих формулах Nd и Na – значения концентрации доноров и
акцепторов соответственно).
В полупроводнике n-типа область изменения уровня Ферми
с температурой, которая описывается выражением (10.18), является областью ионизации донорной примеси. При достижении температуры TН (температура насыщения, когда EF Ed)
концентрация электронов в зоне проводимости становится
сравнимой с концентрацией доноров, n Nd, и условие (10.18)
перестаёт работать, так как практически вся донорная примесь
ионизирована. На практике условие полной ионизации наступает при понижении уровня Ферми на несколько kT ниже
уровня E
.
d
Дальнейший рост концентрации электронов наступает только при температуре TС, которая соответствует началу собствен-
ной проводимости, обусловленной тепловыми
переходами электронов в
зону проводимости непосредственно из валентной
зоны полупроводника.
Если проводить измере-
ния n(T) в широком интервале температур, то в ко-
ординатах ln(n) и
Например, в германии n-типа, легированном сурьмой в концен-
–
трации 1016 см3, для которой энергия ионизации Еd 0,0096 эВ,
насыщение поступает уже при TН 32 К.
103
см. рис. 10.9 – обычно удается получить две прямые с наклоном, соответствующим Ed (или Ea в случае полупроводника pтипа) при низких температурах и Е – при высоких: см. также
формулы (10.12), (10.18), (10.19).
Вопросы для повторения
1. Что называется эффективной массой электрона и дырки?
2. Что в физике полупроводников называется «дыркой»?
3. Охарактеризуйте основные типы энергетических уровней
электронов в кристаллах.
4. Что означают термины «донор» и «акцептор»? В чём заклю-
чается отличие между донорами и акцепторами?
5. Что называется экситоном?
6. Объясните, как электроны распределяются по энергетиче-
ским уровням в собственном и примесном полупроводниках.
7. Рассмотрите поведение уровня Ферми с изменением темпе-
ратуры в полупроводнике с n-типом проводимости.
8. Каким образом можно определить ширину запрещенной зо-
ны и энергетическое положение донорных и акцепторных уровней
в полупроводниках?
104
E
d
j
E
E
1
E
1
Лекция № 11
11.1 Электропроводность твердых тел
Возникновение электрического тока в проводнике означает
появление в нем под действием электрического поля направленного движения электронов (в отдельных случаях дырок),
которое называется дрейфом. Среднюю скорость такого дрейфа электронов обозначим через
(
, где – скорость
d
d
теплового движения).
Как известно, плотность тока в металле
j en
, (11.1)
d
где n – концентрация электронов проводимости.
Вспомним понятие подвижности носителей заряда – u, численно равной дрейфовой скорости, приобретенной носителя-
ми заряда в электрическом поле единичной напряженности
u
. (11.2)
В этом случае, объединяя выражения (11.1) и (11.2), получаем закон Ома, записанный в дифференциальной форме:
enu
, (11.3)
где и – соответственно удельная электропроводность и
удельное сопротивление материала (
).
Закон Ома (11.3) с успехом применим как к металлам, так и
к полупроводникам и диэлектрикам (у металлов
106Ом1м1, у диэлектриков 108 Ом1м1). Учёт дырочной компоненты тока в случае полупроводников требует
записи выражения для в виде
enun epup, (11.4)
где р – концентрация дырок, un и up – соответственно подвижность электронов и дырок (вообще говоря, они не равны, так,
105
me2
me2
*m
e
*m
e
например, в чистом кремнии при Т 300 К подвижность электронов un1350см2/Вс, а подвижность дырок
up400см2/Вс).
В идеальном кристалле (при отсутствии тепловых колебаний кристаллической решетки) носители заряда не встречают
сопротивления на своем пути. Наличие электрического сопротивления в реальных материалах является результатом теплового движения атомов («нулевые» колебания всегда имеют
место) и следствием образования точечных дефектов кристаллической структуры. На колебаниях и дефектах происходит
рассеяние носителей тока.
Зависимость величины плотности тока от внешних факторов
(температура, давление и т.д.) определяется, согласно (11.3 и
11.4), их влиянием на концентрацию носителей заряда и подвижность (или дрейфовую скорость).
Согласно классической теории электропроводности металлов (см. материалы 1-го семестра)
d
E
E, (11.5)
где m – масса электрона, – среднее время между столкновениями, – средняя длина свободного пробега электрона и –
тепловая скорость. В квантовомеханической теории электропроводности твердых тел соотношение (11.5) также работает,
но требует некоторых уточнений.
Во-первых, вместо действительной массы электрона (дырки
в полупроводниках р-типа) следует использовать его эффективную массу m*. Во-вторых, вместо среднего времени свободного пробега электрона надо подставлять истинное время
и проводить корректное усреднение направленной скорости.
Кроме того, для полной остановки ускоренного полем электрона может потребоваться не одно, а в среднем столкновений
электрона с рассеивающими центрами.
В результате наше уравнение (11.5) записывается в виде:
d
E
E, (11.6)
106
F
FF
*
2
m
ne
mne2
2
T
1
где под понимается время релаксации, которое характеризует
скорость установления в системе равновесного состояния.
Металлы и полупроводники
Смысл входящих в уравнение (11.6) параметров меняется и от
характеристик электронного газа: невырожденный (обычный
полупроводник) и вырожденный (металл). Для невырожденного
газа (отсутствует принцип Паули) , , и получаются усред-
нением этих величин по всему коллективу. В вырожденном коллективе внешнее электрическое поле может воздействовать
только на электроны, находящиеся у уровня Ферми, переводя их
на более высокие свободные энергетические состояния. В этом
случае вводятся новые параметры: F – средняя длина свободного пробега электронов, обладающих энергией Ферми,
– их
F
средняя скорость, F – среднее число столкновений, уничтожающих скорость в направлении движения.
В результате удельная электропроводность металлов с квантовомеханической точки зрения описывается соотношением
enu
, (11.7)
которое, в отличие от классического выражения
, (11.8)
позволяет объяснить, почему у металлов 1/Т. Действительно,
согласно классической теории электропроводности средняя ско-
рость теплового движения свободных электронов T, и тогда
согласно квантовой теории электропроводности
, что противоречит эксперименту. В то же время,
с температу-
F
рой не меняется, но зато от температуры зависит длина свободного пробега электронов. Чем выше в металле концентрация nФ
фононов (но nФ T), тем выше вероятность столкновения с ними
электронов и тем меньше длина свободного пробега (F 1/nФ).
В итоге оказывается, что F 1/Т, и, следовательно, 1/Т.
107
5
1
T
T
E
d
*m
e
T
T
T5
ОСТ
0 T
Рис. 11.1
Сказанное касалось температур, близких к комнатным и более высоким. С понижением Т, когда концентрация фононов
становится очень маленькой, основное значение приобретает
рассеяние электронов на точечных дефектах решетки. В этом
случае у металлов F const, u const, const.
Как показывает теория, у чистых металлов переходный участок между зависимостями вида 1/Т и const соответ-
ствует выражению
В области низких температур преобладает рассеяние на
ионизованных точечных дефектах. В этом случае у невырож-
денных полупроводников
качественно понятен, так как чем выше скорость электрона
(она растёт с увеличением Т), тем быстрее он проскакивает
кулоновское поле дефекта, и для уничтожения его движения в
первоначальном направлении требуется больше столкновений.
Зависимость подвижности носителей заряда в невырожденном полупроводнике от температуры представлена на рис. 11.2,
при этом при низких температурах u T
3/2
uT
. Общая зависимость удельного со-
противления чистых
металлов от температуры показана на рис.11.1.
В обычных полупро-
водниках электронный
газ не вырожден, в области высоких температур,
когда преобладает рассеяние электронов на фо-
u
нонах, 1/Т,
1, поэтому
3/2
T
. (11.9)
и
, а Т2. Последний вывод
3/2
, а при высоких
.
108
kT
E
e
2
u
u T
3/2
u T
3/2
0 T
Рис. 11.2
ln
0 1/(2kT)
Рис. 11.3
В качестве параметра, разграничивающего область низких и высоких температур, используют характеристическую
температуру Дебая ТD, определяемую из соотношения
kTDħD, где D – предельная
частота колебаний кристаллической решетки.
Температурная зависимость удельной электропроводности
невырожденных полупроводников (11.4) в основном определяется температурной зависимостью концентрации носителей
заряда (10.12, 10.13, 10.17, 10.18, 10.19). Поэтому качественно
(Т) и n(T) совпадают: сравните рис. 10.8 и 11.3, где
0 – коэффициент, который слабо зависит от температуры; Е –
энергия ионизации донора или акцептора, либо ширина запрещенной зоны. По наклону линейных участков на рис. 11.3 также можно определять Е.
Термосопротивления (термисторы)
Существенная зависимость удельного сопротивления полупроводников от температуры позволяет использовать их для
конструирования термисторов – приборов, предназначенных
для точного измерения температуры, мощности инфракрасного
, (11.10)
0
Характерной особенно-
стью зависимости ln от
1/(2kT) является наличие
максимума при переходе от
примесной проводимости к
собственной, когда n n(T),
что вызвано описанной
выше зависимостью подвижности носителей тока
от температуры (рис. 11.2).
109
B
j
Л
F
d
B
Л
F
b
d
B
Рис. 11.4
j
излучения (чувствительность до 10
ными технологическими процессами. В отдельных случаях для
изготовления термисторов используются и металлы.
11.2 Определение концентрации носителей заряда
Для определения типа носителей тока, их концентрации и
подвижности используют эффект Холла. Эффект Холла заключается в возникновении в проводнике (в нашем случае брусок
толщиной b) с током плотностью j, помещенном в магнитном
поле с индукцией В, электрического поля в направлении, пер-
пендикулярном
При показанном положении образца относительно магнитного поля и предположительно электронном характере электрического тока из-за наличия силы Лоренца
где е – заряд электрона без учета его знака, электроны будут
отклоняться к верхней грани и зарядят ее отрицательно. На
нижней грани накапливаются нескомпенсированные положительные заряды, между гранями возникает разность потенциалов VХ, получившая название э.д.с. Холла. В возникающем при
этом электрическом поле возникает сила, уравновешивающая
силу Лоренца:
где E – напряженность этого поля. С учетом того, что E VХ/b,
10
Вт) и управления различ-
и их подвижности. Эффект Холла
и
, рис. 11.4
e[
e
B eE, (11.12)
d
VХ
], (11.11)
bB, (11.13)
d
110
en
1
а так как
j/en, получаем:
d
VХ
Bbj, (11.14)
что и наблюдается экспериментально.
Коэффициент RX 1/en (более точно RX А/en, где А – постоянная, зависящая от механизма рассеяния носителей тока)
получил название постоянной Холла. У электронных полупроводников постоянная RX отрицательна, у дырочных – положительна. Таким образом, измеряя B, j, b и VХ, по формуле (11.14)
можно определить концентрацию и знак носителей тока в проводнике.
Определив, кроме того, удельную электропроводность проводника enu, можно рассчитать подвижность носителей
RX enu(1/en) u. (11.15)
Датчики Холл-эффекта
Рассмотренный эффект лежит в основе датчиков, применяемых для измерения индукции магнитного поля, а также величины воздействий, влияющих на электрофизические парамет-
11.3 Электропроводность кристаллов в сильных
электрических полях
В сильных электрических полях (E104 В/см) значение
дрейфовой скорости
может оказаться сопоставимым с зна-
d
чением тепловой скорости , и результирующая скорость в
уравнении (11.9) начинает зависеть от E, поэтому функцией
напряженности электрического поля становятся подвижность u
u(E) и ( E). Закон Ома в виде (11.3) нарушается, пропа-
дает линейная зависимость j от E, рис. 11.5.
Расчет показывает, что если рассеяние носителей тока происходит на фононах, то u E
1/2
, E
1/2
и j E
1/2
, рис. 11.5 (II).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]